柱锥体台体的体积

关于柱锥体台体的体积思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？知识探究：柱体、锥体、台体的体积第2页,共27页，2024年2月25日，星期天

取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等吗？。例如第3页,共27页，2024年2月25日，星期天高h底面积S

知识探究：柱体、锥体、台体的体积第4页,共27页，2024年2月25日，星期天关于体积有如下几个原理：（1）相同的几何体的体积相等；（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；（3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；（4）体积相等的两个几何体叫做等积体.

第5页,共27页，2024年2月25日，星期天将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？

123123第6页,共27页，2024年2月25日，星期天思考4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？高h底面积S

第7页,共27页，2024年2月25日，星期天思考5:根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？

第8页,共27页，2024年2月25日，星期天讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高为h

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如何计算台体的体积？解:设切割前的锥体的高为x,则:第9页,共27页，2024年2月25日，星期天设台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么台体的体积公式是什么？高h下底面积S上底面积S′

第10页,共27页，2024年2月25日，星期天思考6:在台体的体积公式中，若S′=S，S′=0，则公式分别变形为什么？S′=SS′=0第11页,共27页，2024年2月25日，星期天例1：埃及的胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥，金字塔高约为146.6m底面边长约230.4m。问：这座金字塔的侧面积和体积各是多少？ACB第12页,共27页，2024年2月25日，星期天S1祖暅原理

夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积S1=S2，那么这两个几何体的体积一定相等。祖暅S2αβ第13页,共27页，2024年2月25日，星期天柱体的体积公式

设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α内（右图）

其中S是柱体的底面积，h是柱体的高sss

根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式V柱体=S·h第14页,共27页，2024年2月25日，星期天锥体的体积公式

设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体，使它们的底面在同一个平面α内。α为了求锥体的体积公式,我们先研究等底等高的任意两个锥体体积之间的关系!

根据祖暅原理，可推导出定理。等底面积等高的两个锥体的体积相等。S1S2S1=S2定理：第15页,共27页，2024年2月25日，星期天将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？

锥体BAB1CC1A1B1CC1A1BB1CA1BACA1第16页,共27页，2024年2月25日，星期天

对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。ShShV三棱锥=⅓

·S·hV圆锥=⅓

·S·h如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体=⅓

·S·h定理：第17页,共27页，2024年2月25日，星期天例1：埃及的胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥，金字塔高约为146.6m底面边长约230.4m。问：这座金字塔的侧面积和体积各是多少？ACB第18页,共27页，2024年2月25日，星期天练习：1一个长方体，表面积是168，底面面积是24，底面周长是20cm，长方体的体积是多少？

2、一个圆台的母线长为5cm，两底面面积分别为4π和25π

．求圆台的体积3、正四棱锥的底面积和侧面积分别为16和32，求它的体积4、设棱锥的底面面积是8，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行底面的截面）的面积是————

第19页,共27页，2024年2月25日，星期天柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体知识小结:第20页,共27页，2024年2月25日，星期天柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和知识小结:展开图

圆台

圆柱圆锥第21页,共27页，2024年2月25日，星期天作业：第22页,共27页，2024年2月25日，星期天理论迁移例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.第23页,共27页，2024年2月25日，星期天例2已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为a2，求球O的表面积和体积.oAC′第24页,共27页，2024年2月25日，星期天例3蜜蜂爬行的最短路线问题.易拉罐的底面直径为8cm,高25cm.分析:可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转化为平面几何的问题.

AB第25页,共27页，2024年2月25日，星期天巩固练习：1.

把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。2、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80ｃm2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。

（答案：2325cm3）3.

已