江苏省南京秦淮区南航附中2024届八年级下册数学期末统考试题含解析

江苏省南京秦淮区南航附中2024届八年级下册数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列说法正确的是（）A．若两个向量相等则起点相同，终点相同B．零向量只有大小，没有方向C．如果四边形ABCD是平行四边形，那么＝D．在平行四边形ABCD中，﹣＝2．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是A．B．C．D．3．下列事件中是不可能事件的是()A．任意画一个四边形，它的内角和是360°B．若，则C．一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1、2、3，从中摸出一个小球，标号是“5”D．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上4．下列各式中，是二次根式的是（）A． B． C． D．5．一天早上小华步行上学，他离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开．为了不迟到，小华跑步到了学校，则小华离学校的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．6．在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，BC=4，△ABC的面积为（）A．2 B．125 C．4 D．7．如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）A．2 B．2 C．2 D．8．一次函数y=2x﹣1的图象大致是()A． B． C． D．9．若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜ B．m＜且m≠C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣10．在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（）A．正五边形B．正六边形C．等腰梯形D．平行四边形11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范为是（）A．x≥－2 B．x＞－2 C．x≥2 D．x≤212．如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE，设，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）（提示：过点E、C、D作AB的垂线）A．线段PD B．线段PC C．线段DE D．线段PE二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB且E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE＝____.14．如图所示，小明从坡角为30°的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度BC为米．15．关于x的方程=3有增根，则m的值为___________．16．如图，菱形ABCD中，点O为对角线AC的三等分点且AO＝2OC，连接OB，OD，OB＝OC＝OD，已知AC＝3，那么菱形的边长为_____．17．小刚和小丽从家到运动场的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走上坡路和的下坡路，在上坡路上的骑车速度是，在下坡路上的骑车速度是．如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用_________．（结果化为最简）18．设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，若a＝6，c＝10，则b＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义:若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形，当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点.(1)当原点正方形边长为4时，①在点P1(0，0)，P2(-1，1)，P3(3，2)中，原点正方形的友好点是__________；②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；(2)乙次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围.20．（8分）解不等式组，把解集在所给数轴上表示出来，并写出其整数解．21．（8分）先化简，再求值：（+a﹣2）÷，其中a＝+1．22．（10分）已知一次函数y=1x-4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1,d1．（1）求点A,B的坐标；（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d1的值；（3）直接写出d1+d1的范围，并求当d1+d1=3时点P的坐标；（4）若在线段AB上存在无数个点P，使d1+ad1=4（a为常数），求a的值．23．（10分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）A，B两城相距多少千米？（2）分别求甲、乙两车离开A城的距离y与x的关系式．（3）求乙车出发后几小时追上甲车？（4）求甲车出发几小时的时候，甲、乙两车相距50千米？24．（10分）解下列不等式，并把解集表示在数轴上．(1)(2)25．（12分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）26．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】

根据平面向量的性质即可判断．【详解】A、错误．两个向量相等还可以平行的；B、错误．向量是有方向的；C、正确．平行四边形的对边平行且相等；D、错误．应该是，+＝；故选：C．【点睛】本题考查平面向量、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2、C【解析】

根据旋转的性质可得，可判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再计算角的和差即可得出答案．【详解】解：绕直角顶点C顺时针旋转得到，，，是等腰直角三角形，，，，.故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识.熟记各性质并准确识图是解题的关键．3、C【解析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、任意画一个四边形，它的内角和是360°是必然事件，故A不符合题意；B、若a=b，则a2=b2是必然事件，故B不符合题意；C、一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1、2、3，从中摸出一个小球，标号是“5”是不可能事件，故C符合题意；D、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上是随机事件，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4、A【解析】

根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A、是二次根式，故此选项正确；B、，根号下不能是负数，故不是二次根式；C、是立方根，故不是二次根式；D、，根号下不能是负数，故不是二次根式；故选A．【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．5、B【解析】

根据题意可得小华步行上学时小华离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小华离学校的距离增大，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开距离不变，小华跑步到了学校时小华离学校的距离减小直至为1．【详解】解：根据题意可得小华步行上学时小华离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现数学书忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小华离学校的距离增大，到家后发现弟弟把牛奶洒在了地上，就放下手中的东西，收拾好后才离开距离不变，小华跑步到了学校时小华离学校的距离减小直至为1．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象，关键是根据题意得出距离先减小再增大，然后不变后减小为1进行判断．6、D【解析】

根据比例设∠A=k，∠B=k，∠C=2k，然后根据三角形的内角和等于180°列方程求出k的值，从而得到三个内角的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，利用勾股定理列式求出AC，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：设∠A=k，∠B=k，∠C=2k，

由三角形的内角和定理得，k+k+2k=180°，

解得k=45°，

所以，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，

∴AC=BC=4，，

所以，△ABC的面积=12故选：D.【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质和三角形的内角和定理，解题关键是利用“设k法”求解三个内角的度数．7、A【解析】如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则S△BCE=S△BCP+S△BEP,即BE⋅h=BC⋅PQ+BE⋅PR，∵BE=BC，∴h=PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为4，∴h=4×=.故答案为.8、B【解析】

根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．【详解】由题意知，k=2＞0，b=﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．故选B．【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b图象所过象限与k，b的关系，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限．9、B【解析】

解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，已知关于x的方程=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜，当x=3时，x==3，解得：m=，所以m的取值范围是：m＜且m≠．故答案选B．10、D【解析】A.正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错；B.正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B错；C.等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错；D.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D正确；故选D.11、C【解析】试题分析：根据二次根式的意义，x-2≥0,解得x≥2.故选C.考点：二次根式的意义.12、D【解析】

先设等边三角形的边长为1个单位长度，再根据等边三角形的性质确定各线段取最小值时x的取值，再结合函数图像得到结论.【详解】设等边三角形的边长为1，则0≤x≤1，如图1，分别过点E,C,D作垂线，垂足分别为F,G,H，∵点E、D分别是AC，BC边的中点，根据等边三角形的性质可得，当x=时，线段PE有最小值；当x=时，线段PC有最小值；当x=时，线段PD有最小值；又DE是△ABC的中位线为定值，由图2可知，当x=时,函数有最小值，故这条线段为PE，故选D.【点睛】此题主要考查函数图像，解题的关键是熟知等边三角形、三角形中位线的性质.二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解析】分析：根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．详解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=180°-125°=55°，∵CE⊥AB，∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°-∠B=90°-55°=1°．故答案为1．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．14、1【解析】试题分析：直接利用坡角的定义以及结合直角三角中30°所对的边与斜边的关系得出答案．解：由题意可得：AB=200m，∠A=30°，则BC=AB=1（m）．故答案为：1．15、m=－1．【解析】

方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．【详解】方程两边都乘以(x−2)得，∵分式方程有增根，∴x−2=0，解得x=2，∴4−3+m=3(2−2)，解得故答案为【点睛】考查分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值．16、.【解析】

如图，连接BD交AC于E，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，AE=EC，在Rt△EOD中，利用勾股定理求出DE，在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD即可．【详解】如图，连接BD交AC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE＝EC，∵OA＝2OC，AC＝3，∴CO＝DO＝2EO＝1，AE＝，∴EO＝，DE＝EB＝，∴AD＝．故答案为．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理解决问题.17、【解析】

先分别求出小刚和小丽用的时间，然后比较即可得出答案.【详解】解：小丽用的时间为=，

小刚用的时间为+=，

>，

∴-=，

故答案为.【点睛】本题考查列代数式以及分式的加减．正确的列出代数式是解决问题的关键.18、8【解析】

根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可.据此解答即可.【详解】解：由勾股定理的变形公式可得b＝＝8,故答案为：8.【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题.本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理，可以根据直角三角形中两条边求出另一条边的长度.三、解答题（共78分）19、（1）①P2，P3，②1≤x≤或≤x≤-1；（2）2-≤a≤1.【解析】

（1）由已知结合图象，找到点P所在的区域；

（2）分别求出点A与B的坐标，由线段AB的位置，通过做圆确定正方形的位置．【详解】解：（1）①∵原点正方形边长为4，

当P1（0，0）时，正方形上与P1的最小距离是2，故不存在Q使P1Q≤1；

当P2（-1，1）时，存在Q（-2，1），使P2Q≤1；

当P3（3，2）时，存在Q（2，2），使P3Q≤1；

故答案为P₂、P₃；

②如图所示：阴影部分就是原点正方形友好点P的范围，

由计算可得，点P横坐标的取值范围是：

1≤x≤2+或-2-≤x≤-1；（2）一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，

∴A（0，2），B（2，0），

∵线段AB上存在原点正方形的友好点，

如图所示：

原点正方形边长a的取值范围2-≤a≤1．【点睛】本题考查一次函数的性质，新定义；能够将新定义的内容转化为线段，圆，正方形之间的关系，并能准确画出图形是解题的关键．20、不等式组的整数解为0、1、2、1．【解析】

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，从而得出答案．【详解】解不等式2（x﹣4）≤﹣2，得：x≤1，解不等式，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，将解集表示在数轴上如下：所以不等式组的整数解为0、1、2、1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21、，2﹣．【解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【详解】解：原式＝＝＝，当a＝+1时，原式＝＝2﹣．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22、（1）A(1,0)B(0,-4)；（1）d1+d1=3；（3）当d1+d1=3时点的坐标为点p1(1,1)、p1(,)；（4）在线段上存在无数个p点，a=1.【解析】

（1）对于一次函数解析式，分别令y=0求出x的值，令x=0，求出y的值，即可求出A与B的坐标，（1）求出P点坐标，即可求出d1+d1的值；.（3）根据题意确定出d1+d1的范围，设P（m，1m-4），表示出d1+d1，分类讨论m的范围，根据d1+d1=3求出m的值，即可确定出P的坐标；.（4）设P（m，1m-4），表示出d1与d1，由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d1，代入d1+ad1=4，根据存在无数个点P求出a的值即可．【详解】（1）如图所示，令y=0时，x=1,x=0时，y=-4,∴A(1,0)B(0,-4)（1）当为线段的中点时，P(,)即P(1，-1)∴d1+d1=3（3）d1+d1≥1∵P点在一次函数y=1x-4的图象上，故设点P(m,1m-4)，∴d1+d1=︱xp︱+︱yp︱=︱m︱+︱1m-4︱.由题当d1+d1=3时，根据1m-4=1(m-1)可分析，当0≤m≤1时，d1+d1=m+4-1m=3，此时解得，m=1∴得点p1(1,1).当m＞1时，同理，d1+d1=m+1m-4=3，解得m=，所以得点p1(,).当m＜0时，d1+d1=-m+4-1m=3，解得m=，即不符合m＜0，故此时不存在点p.综上所述，当d1+d1=3时点的坐标为点p1(1,1)、p1(,).（4）设点P(m,1m-4)，∴d1=︱1m-4︱，d1=︱m︱，∵P在线段AB上，且点A(1,0)，B(0,-4)，∴0≤m≤1.即d1=4-1m，d1=m.∵使d1+ad1=4（a为常数），∴代入数值得4-1m+am=4，即(a-1)m=0，根据题意在线段上存在无数个p点，所以a=1.【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．23、（1）300千米；（2）甲对应的函数解析式为：y＝60x，乙对应的函数解析式为y＝100x−100；（3）1.5；（4）小时、1.25小时、3.75小时、小时时，甲、乙两车相距50千米【解析】

（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据图象中的信息分别求出甲乙两车对应的函数解析式，（3）根据（2）甲乙两车对应的函数解析式，然后令它们相等即可解答本题；（4）根据（2）中的函数解析式，可知它们相遇前和相遇后两种情况相距50千米，从而可以解答本题．【详解】（1）由图可知，A、B两城相距300千米；（2）设甲对应的函数解析式为：y＝kx，300＝5k解得，k＝60，即甲对应的函数解析式为：y＝60x，设乙对应的函数解析式为y＝mx＋n，，解得，，即乙对应的函数解析式为y＝100x−100，（3）解，解得2