上海市崇明区2024届高三下学期学业质量调研数学试题

2023学年第二学期学业质量调研高三数学考生注意：本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．若集合，或，则．2．不等式的解为．3．已知向量，若，则．4．若复数z满足（为虚数单位），则．5．若等差数列的首项，前5项和，则．6．已知幂函数的图像经过点，则．7．若的二项式展开式中的系数为10，则．8．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则．9．已知函数为奇函数，则．10．某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）11．已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是．12．已知实数满足：，则的最大值是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．若，，则下列不等式成立的是 A． B． C． D．A部门B部门频率14．分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是A部门B部门频率0.70.60.50.40.30.20.10A0.70.60.50.40.30.20.10B．，C．，得分D得分15．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为A． B． C． D．16．已知函数的定义域为．命题：若当时，都有，则函数是D上奇函数．命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．下列说法正确的是 A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．（1）证明：平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面的距离．

18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若为在方向上的投影向量，且满足．（1）求的值；（2）若，，求的周长．19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者120160280患慢性气管炎者154560总计135205340（1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值；（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望．附：，．

20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知椭圆，A为的上顶点，P、Q是上不同于点A的两点．（1）求椭圆的离心率；（2）若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若△有一个内角为，求点的坐标；（3）作，垂足为H．若直线AP与直线AQ的斜率之和为2，是否存在x轴上的点M，使得为定值？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，，数列满足，．求证：当时，．

参考答案及评分标准一、填空题1.；2.；3.；4.；5.9；6.9；7.1；8.；9.；10.0.996；11.；12.6.二、选择题13.D；14.C；15.B；16.C.三、解答题17.解（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，，所以△ABC为等腰直角三角形，故OB⊥AC，OB==2．因为，所以．......................4分因为，，所以PO⊥平面ABC．........................................................7分（2）方法一：作CH⊥OM，垂足为H．因为平面，所以OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．..................4分由题意，OC==2，CM=，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．.......................................7分方法二：设C到平面的距离为h，由（1）知即为P到平面的距离，且．.......................................1分又，在中，，则由余弦定理得，.......................................1分因为，即，故．即点C到平面POM的距离为．..................................7分18.解（1）由题意，得，又，所以，由正弦定理，得，又，所以，..................................4分因为为锐角，所以...................................6分（2）由，得，由余弦定理得，所以，得①..............3分由由余弦定理得，得②............................5分联立①②，解得，故的周长为................8分19.解(1)假设：患慢性气管炎与吸烟无关.由，而，从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.....................................................4分（2）............................4分（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，....................................................1分X的可能值为0，1，2，3，其分布是....................................................5分所以....................................................6分20.解（1）由题意，，所以离心率.....................4分由题意，，，所以直线的方程为：，设显然...................................................................................2分①当时，，由，得：，解得（舍去）或...........................................4分②当时，，由，得：，解得（舍去）或综上所述，点的坐标是或.....................6分（3）假设存在定点满足题意，当的斜率存在时，设直线的方程为，，由得，由题意，，即①．，，所以，代入①，得：，所以或，即存在直线使得直线AP与直线AQ的斜率之和为2.....................................................................3分直线的方程为，直线的方程为由，得：，即.................5分所以所以当时，为定值，...........................................................7分当直线斜率不存在时，设，，则，，此时，满足题意．所以存在定点，使得为定值且定值为．.................8分21.解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为.................4分（2）由，得：，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得.................3分所以因为，所以，所以