初中数学讲座-中考数学命题的研究

中考数学命题的研究

中考是义务教育阶段的终结性考试，其目的能全面、准确评价初中毕业生达到【课标】所规定的数学毕业水平的程度，考试的结果既是确定学生是否达到义务教育阶段的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据之一．一、命题的原则

二、命题的类型

三、命题的技术

四、命题的布局

一、命题的原则

1．命题应突出体现知识的基础性2．命题应突出体现知识的发展性3．命题应突出体现知识的导向性4．命题应突出体现知识的技术性1．命题应突出体现知识的基础性

命题要突出对学生基本数学素养的评价，试题应首先关注【课标】中最基础、最核心的内容，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题过程中最为重要的，必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，所有试题的求解过程中所涉及的知识与技能应以【课标】为依据，不能随意扩展考试范围与提高考试要求．2．命题应突出体现知识的发展性

命题要从学生的不同认知、不同思维出发，可设计一些层次不同的问题，让不同学生得到不同的发展，使学生有机会参与到结果的形成过程中来，并为每一个学生都提供一个发展的平台．

3．命题应突出体现知识的导向性

命题要“依标治本”，体现以学生为本的人文精神．试题尽量源于课本，有利学生摆脱“题海战术”，减轻学生过重负担，引导学生重视课堂教学，充分发挥主导地位．命制的试题要有梯度，让更多学生通过努力能达到合格水平，更好体现“人人学有价值的数学，从而获得必需的数学”的理念．

4．命题应突出体现知识的技术性

命题要从学生获取知识为主导，可采取情境创新、设问多样，三度（效度、信度、区分度）合适，既要利用各种传统题型，又要扩充新颖题型，使“知识与技能、过程与方法、情感与态度”得以体现．

二、命题的类型

数学学业考试的命题应以【课标】为基本依据，充分发挥各种已有题型的功能，积极开发形式新颖的试题，使得所编制的试题满足数学学业考试的基本需要，以更好地适应与推进新课程的实施．命制试题仍从选择题、填空题、解答题（计算题、证明题、阅读题、开放题、探究题）入手，以江西中考为例：2000年前以常规的传统题为主，2001年至2009年融入了开放与评价新题型，2010年至2017年加大了压轴题力度与自定义元素，难度明显高于前二段．

1．选择题

选择题由题干和多个备用选项组成，题干包含题设（已知条件）和提问（定量或定性），题干一般用精炼的、明确的语言把题设和问题陈述清楚，常用肯定语气陈述题干，避免否定陈述．当必须用否定陈述，则一定对否定词加重标记．而每一选项的表述必须明确、清楚，与题干连接在一起，读起来应顺畅，并且成为一个完整语气或一个完整命题．正确选项与错误选项之间，在内容上是同质的，在形式上应尽量协调，力求使之具备同类性（类型相同或相近）或匀称性（彼此相称、长短一致），在设计上，正确选项可多一些隐蔽性，错误选项多一些迷惑性，少用“以上答案都正确，或以上答案都不正确，或无法判断”作为选项．

选择题适合考查概念理解，性质运用，公式变形，数值计算，思维切换．其优点是：题目小，题型活，解法巧、速度快，评分简单，客观正确、省时省字、便于机改．不足是：难于考查学生组织材料和文字表达能力，对于问题不了解而蒙对答案的结果会影响试题的效度．

填空题一般形式是给出若干个条件，要求推断出一个结论或计算一个结果，或根据一个命题要求补充一个命题的条件或结论，使之成为完整的命题．其编制可借鉴选择题的设计方法，利用文字、图象与代数符号陈述，注意陈述的语言简洁、精炼、确切，答案简明、完整．又由于填空题没有选项的参照，试题没有选择题丰富，难度略高于选择题，低于解答题．填空题的空格长短尽量一致，以免产生暗示作用，且空格的位置一般不放在题首，而是放在题中或题尾．

填空题是简单推理运算问题，不需要考查获得结果的过程．容易由基本的概念、性质、图形作出判断而演绎出结果，或揭示其中的数量关系，进一步发展，会出现填空答案不唯一，或具有开放性的多值结论，这是对传统填空题的继承和发展．

2．填空题

3．解答题

解答题一般是在一个大前提下，提出若干个并列的问题或递进的问题，要求学生写出完整的解题过程，其特点是容量大，考查知识点多，综合考查学生数学思想方法和数学能力，考查学生的解题思路和解题思维过程，更好地对不同思维水平的学生进行区分．

解答题常见的呈现形式，是从一个基本数学事实出发，研究其变形、推广、发展，形成一系列的问题值，再从中选取合适的题目，编制解答题．

三、命题的技术

命题是一项集知识与能力并有着高技巧性的活动，也是一项有着创造力的艰辛工作．命制试题除要符合课程标准外，还必须体现基础性、实效性、科学性，同时兼顾公平性、发展性、评价性，命题要体现“依标用本”的原则，试题尽量源于课本，有利于学生摆脱“题海”，减轻过重学生负担，利用课本原型、阅读材料进行整合改编，使试题赋于一种新的生命．

（一）利用陈题，改编试题

利用已有题目，在呈现方式上、或在思维角度上进行改编，使新问题陈述的方式更加灵活、解答的途径更加宽广，这类试题在操作中较为常见，是命题中主要品种．1．由“传统”变“开放”

原型：（2004年·北京）如图，在⊙O中，

AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若AO=5，

OC=3，则弦AB的长为（

）A．10B．8C．6D．4

改编：（2006年·南昌）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于点E，交

于点D．

（1）请写出三个不同类型的正确结论；

（2）连接CD，设∠CDB=，∠ABC=，

试找出

与

之间的一种关系式，并给予证明．2．由“常规”变“趣味”

原型：先化简，再求值：

，其中a=3．

改编：（2002年·江西）请你先化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代

入求值

．

3．由“定点”变“动点”

原型：如图，D、E分别在△ABC边AB、

AC上，若AB=5，AC=4，AD=2，

且DE∥BC时，求AE的长．

改编：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，

D从A出发向AB方向以每秒1个单位速度运动，

E从C出发向CA方向以每秒2个单位速度运动，

当△ABC与△AED相似时，求AE的长．

4．由“单一”变“多值”

原型：如图，E为边长为6的正方形

ABCD边AB的中点，则CE的长是

．

改编：（2016·江西）如图是一张长方形

纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB

上的一点，AE=5，现要剪下一张等腰

三角形纸片（△AEP），使点P落在

长方形ABCD的某一条边上，则等腰

三角形AEP的底边长是

．

5．由“小题”变“大题”

原型：（2004年·南昌）欣赏下面各等式：

，请写出一个有7个连续正整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为______．

改编：观察下列等式，然后解答下列问题：

等式1：

，等式2：

，

等式3：

，…．

（1）由上述等式可知，每个等式中紧靠等号“=”左边的数分别是42，122，242，…，这些数存在规律是：（4×1）2，[4×（1＋2）]2，[4×（1＋2＋3）]2，…请你根据这个规律直接写出等式4；

（2）如果紧靠等号“=”左边的数是2202，那么这个等式是由多少个连续正整数平方和组成的？请你通过计算的方式说明．

6．由“抽象”变“具体”

原型：（北师大03版八年级上册128页）如左图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口．如果用（3，5）→

（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方式写出由A到B的其他几条路径吗？

改编：（2003年·南昌）如右图，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→

（3，3）→（2，3）→（1，3）表示由A到B的一条路径，用同样的方式写出另外一条由A到B的路径：（3，1）→（

）→（

）→（

）→（1，3）．

（二）利用素材，联想试题

利用给定的素材、或某个问题部分要素进行联想加工，使试题的呈现形式给人耳目一新之感，这类试题是命题在创作过程中不可缺少，也是命题中需要的一个亮点．1．由“情境”置换而联想试题

原型：（2006年·江西）计算2－3=____．

改编：如果某天中午的气温是2℃，到傍晚下降了3℃，那么傍晚的气温是（

）A．5℃B．1℃C．－1℃D．－3℃

2．由“经济”数据而联想试题

原型：新华网南昌6月14日电（吴亚芬）2016年江西省旅游接待4.7亿人次，旅游总收入4993亿元．本网从6月13日召开的2017年江西省旅游产业发展大会上获悉，近年来江西省旅游产业取得长足发展，各项旅游经济指标在全国排名大幅前移．

江西生态环境质量全国领先，旅游资源丰富多样，星罗棋布．这几年，江西省旅游接待人次、旅游总收入连续保持“两位数、二字头或三字头”的增长．2016年，全省旅游接待4.7亿人次，比2013年的2.48亿人次翻了近一番；旅游总收入4993亿元，比2013年的1896亿元翻了一番多．各项旅游经济指标在全国排名大幅前移．与此同时，会上也提到，江西省旅游业发展还存在许多不足，主要是“山强水弱、景强文弱、村强城弱、点强面弱”；同时，区域发展不平衡、投入不足、“门票经济”、“季节依赖”也困扰着全省旅游的发展．

会上提出，“全域旅游”正是破解这些矛盾和问题的有效之策．通过推进全域旅游，将有效完善全社会共建共管共享机制，拓展旅游发展空间，提升旅游发展水平．据悉，目前江西已有18个市、县（区）正在创建国家全域旅游示范区．

改编：据统计，2016年江西省旅游总收入约为4993亿元，将4993亿用科学记数法表示是

．

3.由“游戏”玩乐而联想试题

原型：北师大01版七年级上册132页有趣的七巧板

改编：下列是由七巧板拼出的四幅动物造型，其中阴影部分面积最大的造型是（

）

4．由“格点”变通而联想试题

原型：（2005年·南昌）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC

中，边长为无理数的边数是（

）A．0B．1C．2D．3

改编：（2006年·南昌）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．

5.由“公式”评价而联想试题

原型：沪科版教材阅读材料中的内容：标准分=（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．改编：在一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示（单位：分）：

（1）将这五位同学在本次考试中，数学成绩的平均分和英语成绩的标准差填在表格中；（2）请提出一个对A同学能区分数学与英语成绩好与坏的方案，然后写出合理的解释；（3）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分的计

算公式是：标准分=（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．

从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问B同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？6.由“工具”造型而联想试题

原型：北师大01版七年级上册137页改编：（2006年·南昌）一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（

）A．B.C.D.

（三）利用类比，改编试题

利用已有的条件，借助图案相近、材料雷同、方法一致、创作模仿等进行加工改造，再现一种新的面孔，使试题的艺术更有活力，更具特色，这类试题是命题中很常见的一种改造．

1.由“图片”相近类比改编试题

原型：（2003年·江西）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干

个图案：

第1个第2个第3个（1）第4个图案中有白色地面砖

块；（2）第n个图案中有白色地面砖

块.改编：（2006年·江西）如图，有黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：

（1）第4个图案中有白色纸片

张；（2）第n个图案中有白色纸片

张．2.由“弦图”同类类比改编试题

原型：（2003年·江西）设将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）

A

B

C

D

改编：人教13版八年级下册36页数学活动2

3．由“材料”延伸类比改编试题

原型：人教05版八年级下册122页观察与思考3．由“材料”延伸类比改编试题

改编：（2007年·南昌）实验与探究（1）在图①、②、③中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），写出图①、②、③

中顶点C的坐标，它们分别是

、

、

．（2）在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标．

（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）归纳与发现（3）通过对图①、②、③、④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中的哪个位置，当其顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f）（如图④）时，四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为

；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为

．（不必证明）运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x2－(5c－3)x－c和三个点G

、

S

、

H

（其中c＞0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G、S、H、P为顶点的四边形是平行四边形？请求出所有符合条件的P点坐标．

4.由“教材”同图类比改编试题

原型：北师大01版七年级上册146页解方程

改编：（2004年·江西）仔细观察如图，认真阅读对话：根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？5．由“剪裁”同法类比改编试题

原型：如图将标号为A、B、C的正三角形沿图中虚线剪开后得到标号为P、Q、M

的三组图形，试按照“哪个正三角形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：

A

B

C

PQM

A与

对应，B与

对应，C与

对应.改编：（2001年·南昌）如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的四组图形，请按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：

A与

对应；B与

对应；C与

对应；D与

对应．

6.由“艺术”传承类比改编试题

原型：下图是用纸叠成的生活图案，其中是轴对称图形和中心对称图形的个数分别是（）

A．1，3B．2，2C．3，1 D．4，0改编：（2005年·江西）如图，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（

）

四、命题的布局

“命题有规律，中考有方向”，只要潜心研究，提炼精华，不难发现命题中的特点，从近几年试卷来看，每年都涉及到50多个知识点，其中有20多个重要知识点一直作为主流贯穿在试卷中，根据考查的方向，填空的多值性题、无刻度作图题、自定义的抛物线系题、拓展变换的课题学习题都是保留的经典，但每年在命制试题过程中会根据试卷的突发情况作些调整，个别小题和大题会与预设略有一点不同，有时会在位置上或内容上发生一些微调，但整卷的设计风格，预定的基调不会发生很大的变化，估计会保持前几年的现状，但又会有一点点的不同．年份平均分难度区分度优秀率及格率低分率南昌2013（55858）61.250.510.486.64%44.09%21.48%南昌2014（55233）63.670.530.537.48%46.35%27.32%南昌2015（56534）61.030.510.6110.47%43.86%37.02%南昌2016（56452）65.930.550.5819.17%50.81%30.09%南昌2017（56128）67.580.560.6219.66%52.60%27.47%

高频考点1：实数中有关概念与大小比较

作为数学的急先锋，试卷的第1题一直以实数的概念有关，主要考查相反数、倒数、绝对值等概念及数值的大小比较或简单数的计算．一般来说，知识会单一，文字会较少，主要是给考生增加一种自信，也有意象征性的送分，难度系数一般控制在0.90左右．

例1（2013T1难度0.76区分0.77均分2.27）

－1的倒数是（

）A．1B．－1C．±1D．0

例2（2014T1难度0.92区分0.18均分2.77）

下列四个数中，最小的数是（

）A．B．0C．－2D．2

例3（2015T1难度0.83均分2.47）

计算（－1）0的结果为（

）A．1B．－1C．0D．无意义

例4（2016T1难度0.95区分0.17均分2.84）

下列四个数中，最大的一个数是（

）A．2B．C．0D．－2

高频考点2：幂的意义与运算性质

幂的运算与性质，一直以第3考题的出现，偶而也以第2考题身份展示，考题主要围绕“合并同类项、幂的四则运算”而进行，近年添加了“整式运算、分式运算”等元素，使选择支的内含更为丰富，要求也更高，难度系数0.78．

例5（2013T2难度0.79区分0.80均分2.36）

下列运算正确的是（

）A．B．C．D．

例6（2014T4难度0.74区分0.67均分2.22）

下列运算正确的是（

）A．B．C．D．

例7（2015T3难度0.71区分0.65均分2.14）

下列运算正确的是（

）A．B．C．D．

例8（2016T3难度0.77区分0.62均分2.31）

下列运算正确的是（

）A．B．C．D．(m－n)2=m2－n2

高频考点3：一次方程组与不等式组的表示

二元一次方程组大多是以应用的方式考查，而不等式组大多以解法的方式考查，主要都以填空题或选择题的面目出现，由于近几年第13考题有两个3分题，估计方程组作为选择题第3题，不等式组作为解答题第13（1）题或第14题出现的可能性更大，难度系数在0.84．

例9（2013T3难度0.84区分0.86均分2.53）

某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，下面所列的方程组正确的是（

）A．B．C．D．

例10（2013T8难度0.85区分0.86均分2.54）

将不等式组

的解集在数轴上表示出来，正确的是（

）

例11（2014T6难度0.92区分0.18均分2.76）

小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据题意所列方程组正确的是（

）A．B．C．D．

例12（2016T2难度0.77区分0.59均分2.31）

将不等式3x－2<1的解集表示在数轴上，正确的是（

）

ABCD

高频考点4：物体的三视图

三视图是每年必考的一个3分题，主要考查主视图与左视图，但试题构造常与虚、实线有关，考查力度远高于教材的要求，试题看起来比较简单，但事实上失分不少，需要细心对待，但近两年分数有好转，难度系数0.70．

例13（2013T7难度0.64区分0.65均分1.93）

一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是（

）

例14（2014T5难度0.23区分0.01均分0.69）

如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适．以下裁剪示意图中，正确的是（

）

例15（2015T4难度0.63区分0.55均分1.88）

如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（

）

例16（2016T4难度0.86区分0.29均分2.57）

有两个完全相同的长方体，按下面右图方式摆放，其主视图是（

）

ABCD

高频考点5：热点的几何演变问题

多边形变化，组合热点的网格、剪纸、对称，构造美丽的图案亮化试卷的版面，主要考查几何知识的简单应用，以及基本的思想方法，难度系数0.60．

例17（2013T11难度0.50区分0.51均分1.51）

如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（

）A．B．4C．D．

例18（2014T11难度0.62区分0.61均分1.86）

如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“S”

图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（

）A．2a－3bB．4a－8bC．2a－4bD．4a－10b

例19（2015T5难度0.57区分0.51均分1.71）

如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（

）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形

B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变

D．四边形ABCD的周长不变

例20（2016T6难度0.42区分0.42均分1.65）

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（

）A．只有②B．只有③C．②③D．①②③

高频考点6：函数的有关问题

函数是初中最重要的知识，也是高中极值的基础，在中考中，其龙头老大的地位无法撼动．因此不论在客观题还是主观题上都应有它的一席之位，甚至作为各类题的压轴题出现，在选择题或填空题中主要考查函数中字母的含义，以及函数的性质，难度系数0.48．

例21（2013T6难度0.74区分0.75均分2.22）

如图，直线y=x+a-2与双曲线

交于A、B两点，则当

线段AB的长度取最小值时，a的值为（

）A．0B．1C．2D．5

例22（2013T12难度0.45区分0.46均分1.35）

若二次函数y=ax2＋bx＋c（

a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1<x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（

）A．a>0B．b2－4ac

C．x1<x0<x2D．a(x0－x1)(x0－x2)<0

例23（2014T12难度0.40区分0.50均分1.21）

已知反比例函数

的图象如图所示，则二次函数

的图象大致为（

）

例24（2015T6难度0.47区分0.42均分1.42）

已知抛物线

过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（

）A．只能是x=－1C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧

B．可能是y轴D．在y轴左侧且在直线x=－2的右侧

高频考点7：科学记数法的表示或简单的整式运算

科学记数法作为数的表示，在前几年基本上是放到第2、3小题位置上，选用的数据大多来源于当年报纸或网络的新闻材料，但后几年选择题只有6道，需要在选择题位置排队的又太多，出现了僧多粥少的局面，作为填空第1题也是一个开门红送分题，有时也有可能涉及因式分解、或简单的数、整式、根式的运算，难度系数0.88．

例25（2013T5难度0.80区分0.81均分2.40）

某机构对30万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生大约占7%，则这部分沉迷手机上网的初中生人数，可用科学记数法表示为（

）A．2.1×105B

．21×103

C．0.21×105D．2.1×104

例26A（2014T13难度0.81区分0.25均分2.44）

计算：=

．

例26B（2014T2难度0.89区分0.28均分2.68）

据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务．5.78万可用科学记数法表示为（

）A．5.78×103B．57.8×103

C．0.578×103D．5.78×104

例27（2015T2难度0.87均分2.60）2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将300000用科学记数法表示为（

）A．3×106B．3×105

C．0.3×106D．30×104

例28A(2016T7难度0.95区分0.18均分2.84)

计算－3＋2=

．

例28B(2016T8难度0.70区分0.88均分2.11)

分解因式：ax2－ay2=

．

高频考点8：一元二次方程中根与系数的关系

一元二次方程中根与系数的关系尽管是选学内容，但由于命题人的偏爱和喜好，这几年虽然相对十年前没有在解答题中出现，但在选择题或填空题中仍有其不可缺的位置．主要是考查两根和、两根积、两根平方和的关系，难度系数0.72．

例29（2013T15难度0.34区分0.69均分1.01）

若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程

．

例30（2014T9难度0.74区分0.64均分2.23）

若

，

是方程

的两个实数根，则

的值为（

）A．10B．9C．7D．5

例31（2015T11难度0.49均分1.47）

已知一元二次方程

的两根为m，n，则

=

．

例32（2016T5难度0.71区分0.63均分2.14）

设

，

是一元二次方程

的两个根，则

的值是（

）

A．2B．1C．－2D．－1

高频考点9：平均数、中位数、众数及计算

统计中三个数据代表，与人们生活息息相关，是统计中最重要的基本概念之一，作为解答题中“统计与概率”知识的补充，一般也会有一道选择题或填空题，尽管2016年没有考查，让统计与概率的17分有所欠缺，但后几年仍应重视，难度系数为0.82．

例33（2013T4难度0.86区分0.87均分2.57）

下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：

则这组数据的中位数和众数分别是（

）A．164和163B．105和163C．105和164D．163和164城市北京合肥南京哈尔滨成都南昌污染指数34216316545227163

例34（2014T3难度0.88区分0.31均分2.64）

某市6月份某周气温（单位：℃）为23，25，28，25，28，31，28，则这组数据的众数和中位数分别是（

）A．25，25B．28，28C．25，28D．28，31

例35（2015T13难度0.49均分1.47）

两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都

是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组

新数据的中位数为

．高频考点10：圆心角与圆周角的关系

作为曲线的代表——圆，受宠程度不值其它省市，虽然2013年与2016年在客观题中没有踪迹，但其地位仍不可轻视．涉及圆的问题，无外乎角或线，角最主要是圆心角与圆周角，以及它们之间的关系，内线主要是垂径定理，外线主要是切线．在客观题中主要涉及角与内线的组合，在主观题中往往与外线密切相关，难度系数为0.72．

例36（2014T8难度0.76区分0.58均分2.27）

如图，A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（

）A．40°B．45°C．50°D．55°

例37（2015T10难度0.74均分2.22）

如图，点A，B，C，在⊙O上，CO的

延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为

．

高频考点11：旋转的性质与应用

作为平移、旋转、翻折三大变换之一，命题人还是更偏爱旋转，除2015年外，直线几何有关的填空题或选择题中多能留下旋转有关的痕迹，难度系数0.68．

例38（2013T10难度0.66区分0.67均分1.98）

如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（

）A．60°B．75°C．85°D．90°

例39（2014T10难度0.83区分0.43均分2.48）

如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（

）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°

例40（2014T15难度0.25区分0.56均分0.75）

如左图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为

．

例41（2016T9难度0.72区分0.69均分2.15）

如右图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为

．

高频考点12：答案多值性的三角形

填空的压轴题，每5年将会设计一种新的模型，先后经历了“规律性的探究、无刻度直尺的作图、填写正确的序号、答案多值性”的演变过程，就像一幅美丽的长卷令人难忘．这几年考查的方向多以“直角三角形或等腰三角形”构图有关，涉及的内容多以无与伦比的“勾股定理”有关，但对于坐标系的点坐标同样要加以重视，难度系数0.48．

例42（2013T16难度0.31区分0.32均分0.92零分率31.64%）

平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是

．

例43（2014T16难度0.23区分0.52均分0.70零分率28%）

在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为

．

例44（2015T14难度0.49均分1.47零分率25%）

如左图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为

．

例45（2016T12难度0.57区分0.80均分1.70零分率22%）

如右图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，

E为AB上的一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是

．

高频考点13（1）：解不等式或解方程组

作为减少客观题，增加主观题，目的是把不要书写过程的客观题演变成要详细解题过程的主观题，但作为3分题的解答题，难度自然不能过大，否则会影响考生的情绪，影响整张的难度，因此考查的任务就必须落在简单运算的“方程组或不等式组”或实数的计算或因式分解的身上了，难度系数0.80．

例46（2013T9难度0.62区分0.63均分1.87）

下列因式分解正确的是（

）A．B．

C．D．

例47（2014T14难度0.47区分0.78均分1.42）

不等式组

的解集是

．

例48（2015T8难度0.74均分2.22）

不等式组

的解集是

．

例49（2016T13难度0.77区分0.70均分2.30）

解方程组

高频考点13（2）直线型几何简单计算或证明

作为平行线中的关系，三角形中的全等，原来一直作为客观题，但由于增添了2个3分主观题，一个给了代数，一个自然就是几何，因此考查简单的重点，不外乎是线段的位置关系与数量关系、或角的计算或等量的关系、或三角形的全等证明等等，难度系数0.72．

例50（2013T13难度0.82区分0.47均分2.46）

如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为

．

例51（2014T7难度0.51区分0.68均分1.53）

如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列

条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DEB．∠B=∠E

C．EF=BCD．EF∥BC

例52（2015T9难度0.74均分2.22）

如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON

于F，OA=OB，则图中有

对全等三角形．

例53A（2016T10难度0.81区分0.59均分2.43）

如图所示，在

ABCD中，∠C=40°，过点D作

AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，

则∠BEF的度数为

．

例53B（2016T13难度0.67区分0.77均分2.00）

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，

折痕为DE，求证：DE∥BC．

高频考点14：整式与分式化简及求值

整式或分式化简与求值，一直是中考解答题的最爱，虽然被更简单“2道3分题”强了先，位置后延，但考查的力度没有增加，主要涉及多项式的因式分解，乘法公式的应用，以及通分与约分的运算，难度系数0.64．

例54（2013T18难度0.53区分0.73均分3.16）

先化简，再求值：

，在0，1，2三个数中选一

个合适的，代入求值．

例55（2014T17难度0.72区分0.82均分4.33）

计算

．

例56（2015T15难度0.64均分3.84）

先化简，再求值：

，其中

例57（2016T14难度0.54区分0.86均分3.26）

先化简，再求值：

，其中x=6．

高频考点15：不用刻度直尺作图或拼图

不用刻度直尺作图，作为江西经典题之一，一直沿用了好几年，每年花样翻新，给人耳目一新之感．虽然试题难度不太，但由于缺少这一方面的训练，对于基本功不扎实的学生来说，还是有一定的压力，难度系数0.50．

例58（2013T17难度0.59区分0.45均分3.56零分率11%）

如图AB是半圆的直径．图1中，点C在半圆外；

图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按

要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

例59（2014T18难度0.66区分0.69均分3.94零分率20%）

已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．

（1）在图1中画一个与梯形ABCD面积相等，

且以CD为边的三角形；

（2）在图2中画一个与梯形ABCD面积相等，

且以AB为边的平行四边形．

例60（2015T17难度0.40均分2.38零分率14.66%）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在

图1、图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分

（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）如图1，AC=BC；

（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．

例61（2016T17难度0.43区分0.69均分2.59零分率29.28%）

如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，

AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，

要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．

（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B

是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；

（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．

高频考点16：改换中的新题

每年中考中有一些题型是固定不变的，有些是在命题中根据试卷结构的需要临时要改变的，这就会出现某一种题型在某一年“为什么”考得多，在另一年又没有出现考题，甚至会出现某些知识点过多重复的问题，对于这类题有直线型的、有坐标系的、有生活情境的，例如2013年、2014年没有考查直线型的几何、2015年没有考查曲线型的圆，2016年没有考查反比例函数的求值，这类题难度系数0.62.

例62（2015T16难度0.75均分4.50零分率12.17%）

如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中

心对称．已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．

（1）求对称中心的坐标；

（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．

例63（2015T20难度0.61区分0.80均分4.89零分率12.33%）

（1）如图1，纸片

ABCD中，AD=5，SABCD=15，过点A作

AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′

的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为（

）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．

例64（2016T19难度0.54区分0.67均分4.28零分率20.17%）

如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而

成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节管的长度（如图1所示）；使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所

示）．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．

已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，依此类推，每一节套管均

比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，

每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．

高频考点17：事件的概率及常用求法

概率是中考试卷中固定的传统题之一，一般要求用列表法或画树状图法求值，但最近几年添加了事件分类的元素，使考查的知识点增多了，题型的覆盖面更广，相对前几年更加难于得到高分，难度系数0.58．

例65（2013T19难度0.74区分0.28均分4.44零分率4%）

甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全

相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在

一起，每人从中随机抽取一件．

（1）下列事件是必然事件的是（

）A．乙抽到一件礼物

B．乙恰好抽到自己带来的礼物C．乙没有抽到自己带来的礼物

D．只有乙抽到自己带来的礼物

（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事

件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．

例66（2014T19难度0.63区分0.73均分3.78零分率10%）

有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分

别画上“√，×，√”，B组的卡片上分别画上“√，×，×”，如图1所示．

（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各

抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率．

（请用“树形图法”或“列表法”求解）

（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其

正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住

标记．①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，

求猜对的概率．

例67（2015T18难度0.59均分3.46零分率19.74%）

在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中

红球4个，黑球6个．（1）先从袋子中取出m（m>1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．

请完成下列表格：（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等于

，求m的值．事件A必然事件随机事件m的值

例68（2016T20难度0.53区分0.69均分4.24零分率15.62%）

甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏，游戏规则如下：

①

将牌面数字作为“点数”，如红桃6的“点数”就是6（牌面点数与牌的花色无关）；

②

两人摸牌结束时，将所摸牌的“点数”相加，若“点数”之和小于或等于10，此时

“点数”之和就是“最终点数”；若“点数”之和大于10，则“最终点数”是0.

③

游戏结束前双方均不知道对方“点数”；

④

判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不分胜负．

现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4，5，6，7.

（1）若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为

；

（2）若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后

双方不再摸牌．请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表

呈现甲、乙的“最终点数”，并求乙获胜的概率．

高频考点18：统计图及有关计算

统计图、统计表作为生活中不可缺少的形式，曾经是江西三大特色题之一，现其光辉已全能失去，基本上以条形统计题的方式出现，每年考查的知识点也大致相同，变化不太，只要多加训练，高分还是比较容易得到，难度系数0.66．

例69（2013T21难度0.62区分0.62均分4.97零分率11%）

生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的

同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，

每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为

四种：A．全部喝完；B．喝剩约

；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．

同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图．根据统计图提供的信息，解答下

列问题：

（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补

全条形统计图；

（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多

少毫升？（计算结果请保留整数）

（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人

之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉

水（500ml／瓶）约有多少瓶？

例70（2014T21难度0.75区分0.61均分6.04零分率10%）

某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部

分初中学生进行了调查．依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请

根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；

（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的

初中生人数；

（3）①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现

状的看法及建议；②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何

进行抽样？

例71（2015T19难度0.72区分0.68均分5.76零分率12.66%）

某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进

行问卷调查，发出问卷140份，每位学生的家长1份，每份问卷仅表明一种态度．

将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如下两幅不完整的

统计图．

根据以上信息解答下列问题：（1）回收的问卷数为

份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为

；（2）把条形统计图补充完整；（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请

估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？

例72（2016T16难度0.59区分0.92均分5.28零分率4.77%）

为了了解家长关注孩子成长方面的状况，学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”、“日常学习”、

“习惯养成”、“情感品质”四个项目，并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如下不完整的条形统计图．

（1）补全条形统计图；

（2）若全校共有3600位学生家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感

品质”方面的成长？

（3）综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪

方面的关注和指导？

高频考点19：反比例函数与其它图形的组合

反比例函数是从2011年开始得到重视的，而且每年以几何图形组合的方式出现，偶尔也以直线组合在一起，作为评价的经典题之一，其地位发生了变化，2016年只有一个填空题，