第03讲矩形（3个知识点5类热点题型讲练习题巩固）（原卷版）

第03讲矩形课程标准学习目标①矩形的定义及其性质②直角三角形斜边上的中线的性质③矩形的判定理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用。理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。知识点01矩形的定义及其性质矩形的定义：有一个角是的平行四边形是矩形。矩形的性质：①矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。特殊性质：②边的特殊性：邻边。③角的特殊性：四个角都是。④对角线的特殊性：对角线。即对角线。即：ACBD，OAOBOCOD。由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是。⑤面积：等于任意一组的乘积。⑥对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。【即学即练1】1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行【即学即练2】2．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（）A． B．2 C． D．3【即学即练3】3．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．67.5°知识点02直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边的中线的性质：由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的。【即学即练1】4．如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm知识点03矩形的判定直接判定：有三个角（四个角）是的四边形是矩形。符号语言：∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC∴四边形ABCD是矩形利用平行四边形判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形。符号语言：∵在▱ABCD中，∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形。符号语言：∵在▱ABCD中，AD=BC∴四边形ABCD是矩形【即学即练1】5．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD【即学即练2】6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形．题型01利用矩形的性质求线段或周长【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（）A．2 B． C． D．3【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（）A．6cm B． C．12cm D．【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为（）A．12 B．16 C． D．【变式4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．题型02利用矩形的性质求角度【典例1】如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝50°，则∠ACD的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD交BD于点E，∠AOB＝110°，则∠DAE的度数为（）A．40° B．35° C．30° D．25°【变式2】翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°【变式3】如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（）A． B． C．α﹣45° D．【变式4】如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，则∠EFC的度数为（）A．α B．45°+ C．45°﹣ D．90°﹣α题型03利用矩形的性质求点的坐标【典例1】在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），则第四个顶点的坐标是．【变式1】如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）【变式2】在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），则点D的坐标为（）A．（﹣6，3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣3，﹣6）【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴的正半轴和负半轴上．若BO＝DO＝4，∠ABO＝60°，则点C的坐标为（） B．（﹣2，﹣2） C． D．【变式4】在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为．题型04直角三角形斜边上的中线的性质的应用【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若BD＝8，则AD＝．【变式1】如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AB的中点E处，已知AB＝6m，则点C到点E的距离是（）A．6m B．2.5m C．4m D．3m【变式2】如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（）A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为．【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为．【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（）A．7 B．8 C． D．题型05矩形的判定与性质【典例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为（填一个即可）．【变式2】如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．【变式3】如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．（1）求证：四边形AEBF是矩形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四边形AEBF的面积．【变式4】如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为．【变式5】如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连接DE，若矩形ADCE的周长是28，DE＝10，求四边形ABDE的面积．1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO3．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（）A．四边形ABCD由矩形变为菱形 B．对角线AC的长度不变 C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变4．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（）A．12 B．10 C．7.5 D．55．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等 B．四个角都是是直角 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，连接AD，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP的长为（）A．8 B．6 C．4 D．27．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（）A．10 B．8+2 C．8+2 D．148．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（）A． B．9 C． D．129．如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝70°，则∠DEC的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；③当CD＝PM时，t＝4或5s；④当CD＝PM时，t＝4或6s．其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，公路AC与BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，M两点间的距离为km．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为．15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为．16．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形．17．课本在线想一想我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．定理：有三个角是直角的四边形是矩形．定理证明为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．已知：如图，四边形ABCD中