杆件的内力、强度、刚度及稳定性-扭转（建筑力学）

9.3剪切胡克定理9.3剪切胡克定理9.3剪切胡克定理一、剪应变如图所示，当某构件在两个大小相等，方向相反，作用线相距很近的平行外力作用下产生剪切变形时，截面将沿外力的方向产生相对错动。构件内的微立方体abcd则变成了平行六面体a/b/cd。9.3剪切胡克定理线段aa/（或bb/）是所在的侧面ab相对于侧面cd的滑移量，称为绝对剪切变形。而将滑移量aa/与六面体长度dx的比值，即称为相对剪切变形或剪应变。由图可见，剪应变γ是直角的改变量，故又称角应变。它的单位是rad（弧度）。剪应变γ与线应变ε是度量变形程度的两个基本量9.3剪切胡克定理二、剪切胡克定理 实验表明，当剪应力τ不超过材料的剪切比例极限τP时，剪应力τ与剪应变γ成正比（如图）。即

τ=Gγ(9-2)式（9-2）称为剪切胡克定理。式中的比例常数G称为切变模量，它反映了材料抵抗剪切变形的能力。它的单位与应力的单位相同。各种材料的G值可由实验测定，也可从有关手册中查得。钢材的切变模量G

=80～84GPa.9.3剪切胡克定理可以证明，对于各向同性材料，弹性模量E、切变模量G和泊松比μ，这三者之间存在以下关系：（9-3）由此可见，E、G和μ是三个互相关联的弹性常数，若己知其中的任意两个，则可由上式求得第三个。9.6剪应力互等定理9.6剪应力互等定理一、单元体的概念在受力物体中，可以围绕任意一点，截取一个边长为dx、dy、dz的微小正六面体，该六面体称为单元体。如图所示。单元体有三对平面，如果建立图示坐标系，则与某轴垂直的一对面就称为该轴的面。如左右平面为x面，前后平面为z面，上下平面为y面。9.6剪应力互等定理在单元体的每一个平面上，都可能有两种应力分量，即垂直于平面的正应力，平行于截面的剪应力。其中正应力以拉应力为正，如x平面上的正应力，即命名为σx；由于一个平面上的剪应力，还可能有两种形式，所以用三个符号命名，如τxy，即为x面上y方向的剪应力，其正负规定顺时针为正。9.6剪应力互等定理若单元体中有某一对相互平行的平面上（如z平面），既无正应力，又无剪应力，则可把单元体简化成图所示的平面形式。由于单元体的边长是微量，可以认为应力在平面上均匀分布。设在此单元体的左右两侧面上，作用有由剪应力τxy和τ‘xy构成的剪力τxydydz和τ’xydydz。这对大小相等、方向相反的力将构成力偶，其矩为(τxydydz)dx。然而由于单元体处于平衡状态，因此，在单元体的顶面和底面上，必然有剪应力τyx和τ‘yx存在，组成逆时针转动的力偶(τyxdxdz)dy以保持单元体的平衡，即：

∑Mz=0,(τxydydz)dx=(τyxdxdz)dy由此得：

τxy=τyx9.6剪应力互等定理

τxy=τyx式（9—22）表明，在单元体的两个互相垂直的截面上，垂直于该两截面交线的剪应力，大小相等、方向为共同指向或共同背离这一交线。这一关系称为剪应力互等定理。上述单元体的四个侧面上只有剪应力，没有正应力，这种受力状态称为纯剪切状态。9.1扭转的概念建筑力学扭转【学习目标】【学习目标】1.了解圆轴受扭时的受力与变形特点；2.理解剪切胡克定理、剪应力互等定理；3.掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；4.掌握圆轴受扭时的强度条件、刚度条件及其计算；5.理解矩形截面受扭转时的计算。9.1扭转的概念9.1扭转的概念扭转是生活与工程实践中常遇到的现象，也是构件的四种基本变形之一。我们用螺钉旋具拧螺丝钉时，在螺钉旋具上用手指作用一个力偶，螺丝钉的阻力就在螺钉旋具的刀口上构成了一个转动方向相反的力偶，这两个力偶都是作用于在垂直于杆轴的平面内的，此时，螺钉旋具杆就产生了扭转变形（如图所示）9.1扭转的概念扭转这种受力形式在机械传动部分也经常发生，如图所示，机器的传动轴，汽车方向盘操纵杆等等，都是受扭转的具体例子。各种产生扭转变形的构件,虽然外力作用在构件上的方式有所不同,但是有两个共同的特点：在受力方面,构件为直杆,并在垂直于杆件轴线的两个平面内,作用着一对大小相等、转向相反的力偶;在变形方面,受扭转构件的各横截面都绕杆轴线发生相对转动。杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角,右图中的

角就是B截面相对于A截面的扭转角。本章主要研究圆截面轴的扭转问题，包括轴的外力、内力、应力与变形，并在此基础上讨论轴的强度与刚度计算。在工程上，常把以扭转变形为主的杆件称为轴。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩9.2扭转时的

外力偶矩与扭矩9.2扭转时的外力偶矩与扭矩一、功率、转速与扭转时的外力偶矩在工程实际中，传动轴等转动构件，作用在轴上的外力偶矩往往不直接给出，通常只知道它们的转速与所传递的功率。因此，在分析传动轴等转动类构件的内力之前，首先需要根据转速与功率换算该轴所承受的外力偶矩。由动力学可知,力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于该力偶之矩M与相应角速度

的乘积,即：

P

=M

(9-1a)9.2扭转时的外力偶矩与扭矩在工程实际中,功率P的常用单位为kW,力偶矩M与转速n的常用单位分别N·m为与r/min(转/分),此外,又由于1W=(1N·m)×

(1rad/s)于是式（9-1a）变为由此可得式中，M为外力偶矩，单位是牛顿米（N·m）；P为轴的传递功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩二、扭矩圆轴在外力偶矩的作用下，横截面上将产生内力，求内力的方法仍为截面法。如图所示，设有一轴在一对外力偶矩M的作用下发生扭转变形，现欲求任一截面C处的内力。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩应用截面法用一个垂直于杆轴的平面m-m在截面C处将轴截开，并取左段为研究对象（如图所示）。为了保持平衡，横截面上分布的内力，必然合成为一个内力偶Mn与外力偶M相互平衡。由平衡条件∑Mx=0，可得这个内力偶的内力偶矩的大小：Mn

=M9.2扭转时的外力偶矩与扭矩杆件产生扭转变形时，横截面上产生的内力偶矩Mn称为扭矩,其常用单位为N·m或kN·m。如果取右段为研究对象,也可求得该截面上的内力偶,且与左段的内力偶矩大小相等、转向相反。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩为了使无论取哪一部分作为研究对象时，所求得的同一截面上的扭矩有相同的正负号，对扭矩Mn的正负号按右手螺旋法则作如下规定：以右手四指代表扭矩的转向，若此时大拇指的指向离开截面，即与横截面的外法线方向相同时，扭矩为正；反之为负，如图所示。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩三、扭矩图当一根轴上有多个外力偶作用时，轴内各横截面或各轴段的扭矩不尽相同，所以扭矩需分段计算。为了清楚表明沿杆轴线各截面上扭矩的变化情况，类似轴力图的作法，可绘制扭矩图。扭矩图是表示扭矩沿杆轴线变化的图形，扭矩图的绘制是以平行于轴线的横坐标代表截面位置，以垂直于轴线的纵坐标表示扭矩的数值，正扭矩画在横坐标上方，负扭矩画在横坐标下方。在扭矩图上，还必须要注明正负。下面举例说明扭矩的计算和扭矩图的绘制。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩例9-1

传动轴如图所示，主动轮A的输入功率P

A=50kW，从动轮B、C输出功率PB=30kW，PC=20kW，轴的转速为n=300r/min，试画出轴的扭矩图。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩解:(1)外力分析按式（9-1）求出作用于各轮上的外力偶矩9.2扭转时的外力偶矩与扭矩(2)内力分析。该轴需分成BA、AC两段来求其扭矩。现在用截面法，根据平衡条件计算各段内的扭矩。求BA段的内力时，可在该段的任一截面Ⅰ-Ⅰ处将轴截开，现取左部分为研究对象（如图），截面上的扭矩先设为正向，由平衡条件ΣMx=0得：MB+M

n1=0所以

Mn1=－MB=－955N·m式中负号表示实际扭矩的转向与所假设的相反，为负扭矩。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩同理，为求AC段的内力，在该段的任一截面Ⅱ-Ⅱ处将轴截开，取右部分为研究对象（如图）由平衡条件：ΣMx=0得

MC

－Mn2=0所以Mn2

=MC=637N·m9.2扭转时的外力偶矩与扭矩(3)作扭矩图。根据各段轴的扭矩值及其正负号，按一定比例尺量取后作出扭矩图。如图所示。从图中可以看出，在集中力偶作用处，其左右截面扭矩不同，发生突变，突变值等于该处集中力偶的大小；且最大扭矩发生在BA段内。9.2扭转时的外力偶矩与扭矩对同一根轴来说,若调换主动轮和从动轮的位置,把主动轮A置于轴的一端,如右端,则轴的扭矩图将如左下图所示。这时轴的最大扭矩的绝对值是：Mnmax=1592N·m。由此可见,传动轴上主动轮和从动轮布置的位置不同,轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比,显然以前面图所示布置比较合理，此时，传动轴所承受的最大扭矩较小，在同等条件下，其强度与刚度容易得到保证。9.5圆轴扭转时的强度与刚度9.5圆轴扭转时的强度与刚度9.5圆轴扭转时的强度与刚度一、强度计算为了保证圆轴在扭转时不致因强度不足而破坏，应使轴内的最大工作剪应力不超过材料的许用剪应力。因此，等截面圆轴的强度条件为

式中Mnmax为整个圆轴的最大扭矩。因此，在进行扭转强度计算时，必须先画出扭矩图。9.5圆轴扭转时的强度与刚度对于阶梯轴，由于各段轴的WP不同，τmax不一定发生在Mnmax所在的截面上，因此需综合考虑WP和Mn两个因素来确定τmax。上面[τ]称为材料的许用剪应力，可以由试验并考虑安全系数，也可按照材料的许用拉应力［σ］的大小，按下式确定：塑性材料：［τ］=（0.5～0.6）［σ］脆性材料：［τ］=（0.8～1.0）［σ］9.5圆轴扭转时的强度与刚度二、刚度计算圆轴扭转时，不仅要满足其强度条件，同时还需满足刚度条件，特别是机械传动轴对刚度的要求比较高。如机床的主轴扭转变形过大，就会影响工件的加工精度和光洁度。因此工程上常要求圆轴的最大单位长度扭转角θmax不超过轴的单位长度许用扭转角［θ］，即

式（9-21）就是圆轴扭转时的刚度条件。9.5圆轴扭转时的强度与刚度许用扭转角［θ］的数值可根据工件的加工精度和轴的工作条件，从有关手册中查得。一般规定如下：精密机器的轴［θ］=0.25°/m～0.5°/m一般传动轴［θ］=0.5°/m～1.0°/m精度较低的轴［θ］=1.0°/m～2.5°/m圆轴扭转的强度条件和刚度条件也可以解决三类问题，即校核轴的强度和刚度、设计截面尺寸和确定许可传递的功率或力偶矩。例9-3某汽车传动轴由无缝钢管制成,已知钢管外径D=90mm,内径d=85mm。轴传递的最大力偶矩M=1.5kN·m,轴的许用剪应力［τ］=60MPa,许用单位长度扭转角［θ］=1°/m,材料的切变模量G=80GPa。试计算以下问题：（1）试校核此轴的强度和刚度；（2）若改用强度相同的实心轴，试设计轴的直径；（3）求空心轴与实心轴的重量的比值。解：(1)校核强度和刚度因传动轴所受的外力偶矩M=1.5kN·m，故圆轴各横截面上的扭矩也均为:

Mn=M=1.5kN·m轴的内外径比：d/D=0.944截面的极惯性矩和抗扭截面系数分别为将以上结果代入公式（9-20）和（9-21）。得轴的最大剪应力为故轴满足强度要求。轴的最大单位长度扭转角θmax为故轴也满足刚度要求。（2）求改为实心轴时的直径：为保证两轴有相等的强度，应使两轴的抗扭截面系数相等，即：所以实心轴的直径为：（3）求两轴的重量比当两轴的材料相同、长度相等时，它们的重量比将等于横截面面积之比。设空心轴与实心轴的重量分别为G1和G2，则：以上结果表明，在扭转强度相等的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%，其减轻重量和节约材料是非常明显的。这是因为横截面上的剪应力沿半径按线性分布，轴心附近的剪应力很小，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近的材料向边缘移置，便可增大IP和WP，充分利用了材料，提高了轴的强度。因此，工程中对于大尺寸的轴常采用空心轴。9.5圆轴扭转时的强度与刚度例9-4某传动轴如图a所示。己知轮B输入的功率NB=30kW，轮A、C、D分别输出功率为NA=15kW、NC=10kW、ND=5kW。轴的转速n=500r/min，［τ］=60MPa，［θ］=1.5°/m，G=80GPa。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。解：(1)计算外力偶矩(2)作扭矩图：用截面法求出各段轴的扭矩，并作扭矩图如图b所示。由扭矩图可知，AB段与BC段轴有最大扭矩，其绝对值为（3）按强度条件选择轴的直径：由强度条件（4）按刚度条件选择轴的直径：由刚度条件为使轴既满足强度条件满足又刚度条件，应选取直径d=35mm。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形9.4圆轴扭转时

横截面上的应力与变形9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形通过前面的讨论，我们己解决了轴的内力计算问题，本节将进一步研究圆轴扭转时横截面上的应力和变形。一、圆轴扭转时横截面上的应力分析圆轴扭转横截面上的应力时，需要从几何、物理和静力学三个方面来讨论。（一）变形几何关系为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解应力在横截面上的分布规律。为此，首先可通过试验观察其表面的变形现象。取一根圆轴，实验前先在它的表面上划两条圆周线和两条与轴线平行的纵向线。实验时，在圆轴两端施加一对力偶矩为M的外力偶，使其产生扭转变形，如图所示。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形在变形微小的情况下，可以观察到如下现象：⒈两条纵向线均倾斜了相同的角度，使原来轴表面上的小方格变成了平行四边形。⒉各圆周线均绕圆轴的轴线转动了一个角度，但其大小、形状和相邻圆周线的距离均保持不变。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形根据观察到的这些现象，我们可以作出如下假设：各横截面在圆轴扭转变形后仍保持为平面,形状、大小都不变,半径仍为直线,只是绕轴线转动了一个角度，横截面间的距离均保持不变（称为平面假设）。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形根据平面假设推论，可得到以下结论：1）由于相邻截面间相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故截面上有剪应力存在。2）由于半径的长度不变，故圆轴无径向应力，且剪应力方向必与半径垂直。3）由于相邻截面的间距不变，所以横截面上没有正应力。为了分析剪应力在横截面上的分布规律，我们从轴中取出长为dx微段来研究。在力偶的作用下,截面n-n与m-m的相对转角为d

,圆轴表面所画的矩形ABCD变为平行四边形ABC/D/,其变形程度可用原矩形直角的改变量γ表示,称为剪应变（也称为切应变）。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形现再用过轴线的两径向平面OO/AD和OO/BC切出如图所示楔形块，从图中可见，在小变形下，圆轴表面层的剪应变为

同样离圆心为ρ处的剪应变为

(a)

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形上式中，表示扭转角

沿轴线

x

的变化率，称为单位长度的扭转角。（或简称单位扭转角）对某一个给定平面来说，是常量，所以剪应变γρ与ρ成正比，即剪应变的大小与该点到圆心的距离成正比。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形（二）物理关系根据剪切胡克定理，当剪应力τ不超过材料的剪切比例极限τP时，横截面上距圆心为ρ处的剪应力τP与该处的剪应变γρ成正比，即τρ=Gγρ将(a)式代入上式，得(b)9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形上式表明：横截面上任一点处的剪应力的大小,与该点到圆心的距离ρ成正比。也就是说,在截面的圆心处剪应力为零,在周边上剪应力最大。在半径都等于ρ的圆周上各点处的剪应力τρ的数值均相等。横截面的剪应力沿着半径按直线规律分布。剪应力的分布规律如右图所示，剪应力的方向与半径垂直。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形（三）静力学关系式(b)虽然表明了剪应力在截面上的分布规律，但其中尚未知，因此必须根据静力平衡条件，建立剪应力与扭矩的关系，才能求出剪应力。在上面圆轴的截面上距圆心为ρ的点处，取一微面积dA，此面积上的微剪力为τρdA，它对圆心的力矩为ρτρdA，整个截面上各处的微剪力对圆心的力矩的总和应等于该截面上的扭矩Mn，即9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形即有关系式上式中，积分号下的A表示对整个横截面的面积进行积分。将(b)式代入上式，得9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形有关系式上式中，由于G、均为常量，故可写成

（d）上式中：积分为截面对圆心O的极惯性矩，已经在介绍。它与横截面的几何形状和尺寸有关，表示截面的一种几何性质，其常用单位为mm4或m4，用IP表示，即9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形于是(d)式可写成或（e）将(e)式代入(b)式，即得横截面上任一点处的剪应力的计算公式为

(9—4)式中：

Mn

——横截面上的扭矩；

ρ——横截面上任一点到圆心的距离；

IP——横截面对圆心的极惯性矩。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形在式（9-4）中，如取ρ=ρmax=R，则可得圆轴横截面周边上的最大剪应力为若令则最大剪应力可写成(9—5)

WP称为抗扭截面系数，常用单位为mm3或m3。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形归纳圆轴受扭转时横截面上的应力要点1.横截面上只有剪应力，没有正应力；2.剪应力的作用线与截面的半径垂直，指向与扭矩方向对应。3.剪应力的大小与扭矩成正比，与应力点到圆心的距离成正比，与截面的极惯性矩成反比；4.剪应力的计算公式为：5.剪应力的分布图如图。9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形下面介绍截面的极惯性矩IP和抗扭截面系数WP的计算。1）圆形截面对于直径为D的圆形截面，可取一距圆心为ρ

、厚度为dρ的圆环作为微面积dA（如图）则dA=2πρdρ

圆形截面的抗扭截面系数为9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形2）圆环形截面对于内径为d,外径为D的空心圆截面,如图,其惯性矩可以采用和圆形截面相同的方法求出：若取内外径比

=d/D,则上式可写成圆环形截面的抗扭截面系数为9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形例9-2如图所示，某实心圆轴，直径D=50mm，传递的扭矩Mn=2kN