专题18特殊的平行四边形（讲义）

专题18特殊的平行四边形核心知识点精讲理解掌握矩形的概念、性质、判定方法、面积计算方法；理解掌握菱形的概念、性质、判定方法、面积计算方法；理解掌握正方形的概念、性质、判定方法、面积计算方法；掌握矩形、菱形、正方形的综合运用。考点1矩形的概念与性质1.矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3.矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4.矩形的面积S矩形=长×宽=ab考点2菱形1.菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半考点3正方形1.正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3.正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4.正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=【题型1：矩形的概念和性质】【典例1】（2024•深圳模拟）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：AO＝CO，使得OE＝OF，并说明理由；（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长．【答案】（1）AO＝CO；（2）EF=15【分析】（1）利用三角形全等可以说明；（2）根据勾股定理先求出AC的长度，再根据三角形全等得出AO＝CO＝5，然后根据三角函数得出关于EO的方程，最后即可求得EF．【解答】解：（1）AO＝CO；理由如下：∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，∵EF⊥AC，∴∠AOF＝∠COE，又∵AO＝CO，∴△AOF≌COE（ASA），∴OE＝OF．（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB∵EF⊥AC，∴∠AOF＝∠COE，∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，又∵EO＝FO，∴△AOF≌COE（AAS），∴AO＝CO＝5，在Rt△COE中，tan∠OCE=OE在Rt△ACB中，tan∠ACB=AB∴OE5∴OE=15∴EF=15一．选择题（共3小题）1．（2023•曲江区校级三模）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（）A．10 B．8+25 C．8+213 D．14【答案】C【分析】易知OE是中位线，则OE=12CD＝3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据矩形性质可求BO，从而求出△【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵点O是AC的中点，E为AD的中点，∴OE=12CD＝3，AE=在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，根据勾股定理得，BE=A在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC=A∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵点O是AC的中点，∴BO＝5．∴△BOE周长为5+3+213=8+213故选：C．2．（2023•遂溪县一模）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质得出AC＝BD＝16，进而求出BD＝2BO，再依据中位线的性质推知MN=12【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，∴BD＝AC＝2AB＝2×8＝16，∴BD＝2BO，即2BO＝16．∴BO＝8．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN=12故选：B．3．（2023•揭阳一模）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（）A．12 B．9+37 C．8+213【答案】C【分析】根据题意可得OE是△ACD的中位线，则OE=12CD=3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC，再根据直角三角形的性质可求得BO【解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，OE=12CD=3在Rt△ABE中，BE=A在Rt△ABC中，AC=A∴BO=1则△BOE的周长为：5+3+213故选：C．【题型2：矩形的判定】【典例2】（2023•榕城区二模）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设ACBD=k，当k为何值时，四边形【答案】2．【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝OC，∵E，F分别为AO，OC的中点，∴EO=12OA，OF=∴EO＝FO，∵BO＝OD，EO＝FO，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF；（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，∵AE＝OE，∴AC＝2BD，∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．1．（2023•越秀区模拟）如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC【答案】A【分析】由矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判断．【解答】解：A、∠ABC＝90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得到▱ABCD是矩形，故A符合题意；B、∠ABD＝∠CBD，由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，因此∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD，▱ABCD是菱形，故B不符合题意；C、AC⊥BD，由平行线四边形的性质，得到AC垂直平分BD，因此AB＝AD，▱ABCD是菱形，故C不符合题意；D、AB＝BC，此时▱ABCD是菱形，故D不符合题意．故选：A．2．（2023•龙湖区校级二模）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD【答案】D【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．3．（2023•东莞市校级模拟）如图，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，点Q是MN中点，点S是QO中点，过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P，连接MP．求证：四边形OPMQ是矩形．【答案】证明见解析．【分析】证△OPS≌△QNS（ASA），得PS＝NS，再证四边形OPMQ是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得OQ⊥MN，则∠OQM＝90°，即可得出结论．【解答】证明：∵OP∥MN，∴∠POS＝∠NQS，∵点S是QO中点，∴OS＝QS，在△OPS和△QNS中，∠POS=∠NQSOS=QS∴△OPS≌△QNS（ASA），∴PS＝NS，∴四边形OPMQ是平行四边形，∵MO＝NO，点Q是MN中点，∴OQ⊥MN，∴∠OQM＝90°，∴平行四边形OPMQ是矩形．【题型3：矩形的性质与判定】【典例3】（2023•越秀区模拟）如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠ABC＝90° B．∠ABD＝∠CBD C．AC⊥BD D．AB＝BC【答案】A【分析】由矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判断．【解答】解：A、∠ABC＝90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，得到▱ABCD是矩形，故A符合题意；B、∠ABD＝∠CBD，由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，因此∠ABD＝∠ADB，所以AB＝AD，▱ABCD是菱形，故B不符合题意；C、AC⊥BD，由平行线四边形的性质，得到AC垂直平分BD，因此AB＝AD，▱ABCD是菱形，故C不符合题意；D、AB＝BC，此时▱ABCD是菱形，故D不符合题意．故选：A．1.（2023•龙湖区校级二模）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD【答案】D【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．2．（2023•东莞市校级模拟）如图，在等腰三角形MNO中，MO＝NO，点Q是MN中点，点S是QO中点，过点O作OP∥MN交NS的延长线于点P，连接MP．求证：四边形OPMQ是矩形．【答案】证明见解析．【分析】证△OPS≌△QNS（ASA），得PS＝NS，再证四边形OPMQ是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得OQ⊥MN，则∠OQM＝90°，即可得出结论．【解答】证明：∵OP∥MN，∴∠POS＝∠NQS，∵点S是QO中点，∴OS＝QS，在△OPS和△QNS中，∠POS=∠NQSOS=QS∴△OPS≌△QNS（ASA），∴PS＝NS，∴四边形OPMQ是平行四边形，∵MO＝NO，点Q是MN中点，∴OQ⊥MN，∴∠OQM＝90°，∴平行四边形OPMQ是矩形．3．（2023•榕城区二模）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设ACBD=k，当k为何值时，四边形【答案】2．【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝OC，∵E，F分别为AO，OC的中点，∴EO=12OA，OF=∴EO＝FO，∵BO＝OD，EO＝FO，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF；（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，∵AE＝OE，∴AC＝2BD，∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．【题型4：菱形的性质】【典例4】（2023•潮州模拟）如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，DH⊥AB交AO于点E，连接OH，下列结论错误的是（）A．AC•OH＝AB•DH B．△AEH≌△DEC C．OB2+OC2＝AD2 D．∠DAO＝∠ODE【答案】B【分析】根据菱形的性质和勾股定理逐一进行判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积=12AC•∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积＝AB•DH，∴12AC•BD＝AB•DH∵∠DHB＝90°，OB＝OD，∴OH=12∴BD＝2OH，∴12AC•2OH＝AB•DH∴AC•OH＝AB•DH，故A正确；根据题意不能得到△AEH≌△DEC，故B错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，∴OB2+OC2＝BC2＝AD2，故C正确；∵∠AOD＝∠DHB＝90°∴∠DAO+∠ADO＝∠ODE+∠OBA＝90°，∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠DAO＝∠ODE，故D正确；综上所述：结论错误的是B，故选：B．1．（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（）A．24 B．30 C．183 D．【答案】A【分析】先根据菱形的性质证明AB＝BC＝CD＝AD，在根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，从而求出菱形周长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴菱形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝6+6+6+6＝24，故选：A．2．（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E．已知AE＝4，EC＝6，则OEBFA．33 B．3010 C．1010【答案】B【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，即可求出CO的长，再证△CDE∽△COD即可得出CD的长，于是得出AB的长，再证△AFE∽△CDE，即可求出AF的长，从而求出BF的长，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，∴∠AFD＝∠CDF，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠CDF＝90°，∴∠CDE＝∠COD＝90°，又∵∠DCE＝∠OCD，∴△CDE∽△COD，∴CDCO即CD2＝CO•CE，∵AE＝4，EC＝6，∴AC＝AE+CE＝4+6＝10，∴AO＝CO＝5，∴OE＝AO﹣AE＝5﹣4＝1，∴CD2＝5×6＝30，即CD=30∴AB=CD=30∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，∴AECE∴46∴AF=2∴BF=AB−AF=30∴OEBF故选：B．3．（2023•越秀区校级二模）由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（）A．32 B．33 C．12【答案】A【分析】如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC=AEEB，求出AE、【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，∴AE=3a，EB＝2a∴∠AEC＝90°，∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，∴∠ECB＝180°，∴E、C、B共线，在Rt△AEB中，tan∠ABC=AE故选：A．【题型5：菱形的判定】【典例5】（2022•越秀区校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（）A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点【答案】A【分析】先证四边形AFDE是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，如图，连接AD，∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等，∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，∴AF＝AE，∴平行四边形AFDE是菱形；B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；C能得平行四边形AFDE是矩形；故选：A．1.（2023•深圳一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是（）A．AB＝AC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥AC【答案】C【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵平行四边形ABCD中，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；C、∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；D、平行四边形ABCD中，AB⊥AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：C．2．（2023•龙华区二模）如图，这条活灵活现的“小鱼”是由若干条线段组成的，它是一个轴对称图形，对称轴为直线l，则下列结论不一定正确的是（）A．点C和点D到直线l的距离相等 B．BC＝BD C．∠CAB＝∠DAB D．四边形ADBC是菱形【答案】D【分析】根据轴对称的性质可得AB垂直平分CD，可判断A选项，根据线段垂直平分线的性质可判断B选项，根据等腰三角形的性质可判断C选项，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判断D选项．【解答】解：连接CD，交AB于点O，根据轴对称的性质，可得AB垂直平分CD，∴点C和点D到直线l的距离相等，故A不符合题意；∵AB垂直平分CD，∴BC＝BD，AC＝AD，故B不符合题意；∵AC＝AD，AO⊥CD，∴∠CAB＝∠DAB，故C不符合题意；∵点O不一定是AB的中点，∴四边形ABCD不一定是菱形，故D符合题意，故选：D．3．（2023•高要区一模）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．若∠1＝∠2．（1）证明：△DAE≌△DCF．（2）证明：▱ABCD为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△DAE和△DCF中，∠1=∠2∠A=∠C∴△DAE≌△DCF（AAS），（2）∵△DAE≌△DCF，∴AD＝CD，∴▱ABCD为菱形．【题型6：菱形的性质与判定】 【典例6】（2023•新会区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）96．【分析】（1）证四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，再证∠AED＝∠ADE，则AD＝AE，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，再求出AC＝16，则OA＝OC＝8，然后由勾股定理得OD＝6，则DE＝2OD＝12，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴平行四边形AECD是菱形；（2）解：由（1）可知，四边形AECD是菱形，∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，∵△ACD的周长为36，∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，∴OA＝OC＝8，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=A∴DE＝2OD＝12，∴菱形AECD的面积=12AC•DE1．（2023•南海区校级模拟）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是．【答案】25．【分析】先证四边形ABCD平行四边形，再证四边形ABCD是菱形，得CD＝BC＝AB＝AD，设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，然后在Rt△CDG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，∴四边形ABCD平行四边形，∴平行四边形ABCD的面积＝AD•DG＝CD•DE，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC＝AB＝AD，设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x=25∴CD=25∴菱形ABCD的周长＝4CD＝25，即重叠部分的四边形周长是25，故答案为：25．2．（2023•黄埔区校级二模）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD＝30°，连接AE交BD于点F、连接CF．若AC＝8，则线段CF的长为23．【答案】23．【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形OBEC是平行四边形，根据矩形的性质得到OB＝OC，根据菱形的判定定理即可得到平行四边形OBEC是菱形，可得BE＝OC＝AO，由“AAS”可证△AOF≌△EBF，可得BF＝OF，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CF⊥OB，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB=12BD，OC=∴OB＝OC，∴平行四边形OBEC是菱形；∴OC＝BE＝OA，∵BE∥AC，∴∠OAF＝∠BEF，在△AOF与△EBF中，∠OAF=∠BEF∠AFO=∠EFB∴△AOF≌△EBF（AAS），∴OF＝BF，∵AC＝8，∴BD＝8，∴OC＝OB＝4，∵∠ABD＝30°，∴∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴CF⊥OB，∴CF=32OC＝2故答案为：23．3．（2023•南海区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E、F、G分别是AB、CE、AC中点，直线DF交AC点G．（1）求证：四边形AEDG是菱形；（2）若DG⊥CE，求∠BCE的度数．【答案】（1）见解析过程；（2）30°．【分析】（1）由直角三角形的性质可得BE＝DE＝AE=12AB，DG＝AG=12AC，可得AE＝DE＝（2）通过证明△BDE是等边三角形，可得∠B＝60°，即可求解．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵点E、F分别是AB、CE中点，∴BE＝DE＝AE=12AB，DG＝AG=∴AE＝DE＝DG＝AG，∴四边形AEDG是菱形；（2）解：∵四边形AEDG是菱形，∴AB∥DG，∵DG⊥CE，∴∠BEC＝90°，又∵BD＝CD，∴BD＝CD＝DE，∴BD＝DE＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BCE＝30°．【题型7：正方形的性质】【典例7】（2023•潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．已知DE=2，则CFA．2 B．2 C．6 D．22【答案】B【分析】过点E作EH⊥BC，交AD于G，证明△DGE是等腰直角三角形，由DE=2，可得DG＝EG＝1．易证△AGE≌△EHF，则EG＝HF【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于G，在正方形ABCD中，AD∥BC，∠EBH＝∠ADB＝45°，∴四边形AGHB和四边形DGHC是长方形，△DGE是等腰直角三角形，∴AG＝BH＝EH，DG＝EG＝1，∴CH＝DG＝1，∵AG⊥GH，AE⊥EF，∴∠AGE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，∴∠GAE+∠AEG＝∠FEH+∠AEG＝90°，∴∠GAE＝∠FEH，∴△AGE≌△EHF（ASA），∴GE＝FH＝1；∴CF＝CH+FH＝2．故选：B．1．（2023•越秀区校级二模）如图，已知∠MON＝90°，线段AB长为6，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．则OC的最大值为（）A．6+35 B．8 C．3+35【答案】C【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得OE＝BE=12AB，再根据勾股定理求得CE=BE2+CB2=35【解答】解：取AB的中点E，连接OE、CE，∵∠AOB＝90°，线段AB长为6，∴OE＝BE=12∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°，CB＝AB＝6，∴CE=BE2∵OC≤OE+CE，∴OC≤3+35，∴OC的最大值为3+35，故选：C．2．（2023•揭阳二模）如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠PA．90° B．45° C．30° D．22.5°【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP=12∠【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP=12∠∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝22.5°，故选：D．3.（2023•深圳模拟）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE＝FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB＝9，AE＝3，则下列结论中：①△ABE≌△CBF；②BE＝FG；③2DH＝EH+FH；④HMAEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据题目条件即可证明△ABE≌△CBF，即可判定①；根据△ABE≌△CBF得，∠BEA＝∠BFC，BE＝BF，由∠FGB＝∠FBA得到BF＝FG即可判定②；延长BE到Q，使EQ＝FH，连接DQ，证明△DEQ≌△DFH，推出DQ＝DH，∠QDE＝∠FDH，求出∠QDH＝90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得EH+FH=2DH，即可判定连接EF，证明EF=2DE=62，BE=310，根据FH2＝EF2﹣EH2＝BF2﹣BH2，求出BH，根据【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠DAB＝∠DCB＝90°，在△ABE和△CBF中，AB=BC∠DAB=∠DCB=90°∴△ABE≌△CBF（SAS），∴①△ABE≌△CBF正确；∵△ABE≌△CBF，∴∠BEA＝∠BFC，BE＝BF，∵DC∥AB，∴∠FBA＝∠BFC，∴∠BEA＝∠FBA，∵FH⊥BE，∴∠HBG+∠HGB＝∠EBA+∠BEA，∴∠HGB＝∠BEA，∴∠HGB＝∠FBA，即∠FGB＝∠FBA，∴BF＝FG，∴BE＝FG，∴②BE＝FG正确；延长BE到Q，使EQ＝FH，连接DQ，如图：∵DC∥AB，∴∠FGB＝∠DFH，∵∠FGB＝∠AEB，∠AEB＝∠DEQ，∴∠DFH＝∠DEQ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵AE＝FC，∴DE＝DF，在△DFH和△DEQ中，DF=DE∠DFH=∠DEQ∴△DFH≌△DEQ（SAS），∴DQ＝DH，∠QDE＝∠FDH，∵∠ADC＝90°，∴∠QDH＝∠QDE+∠EDH＝∠FDH+∠EDH＝∠ADC＝90°，∴△DQH是等腰直角三角形，∴EH+FH=EH+EQ=HQ=2∴③2DH=EH+FH连接EF，如图：∵AD＝CD＝9，AE＝CF＝3，∴DE＝DF＝6，∴EF=2∵BF=B∴BE=BF=310设BH＝x则EH=BE−EH=310∵FH⊥BE，在Rt△FHE中FH2＝EF2﹣EH2＝BF2﹣BH2，∴FH∴x=9105∵HM⊥AB，∠A＝90°，∴sin∠ABE=HM∴HM9∴HM=9∴HMAE∴④HMAE∴①②③④都正确．故答案选：D．【题型8：正方形的判定】【典例8】（2022•越秀区二模）下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是直角梯形 C．四个角相等的菱形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形【答案】C【分析】做题时首先知道各种四边形的判定方法，然后作答．【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，有两边相等的平行四边形是菱形，并没有说明是邻边，故A错误；B、有一个角是直角的四边形是直角梯形，还可能是正方形或矩形，故B错误；C、四个角相等的菱形是正方形，故C正确；D、两条对角线相等的四边形是矩形，还可能是梯形或正方形，故D错误．故选：C．1．（2023•南海区校级一模）给出下列判断，正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．【答案】D【分析】根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意；故选：D．2．（2023•顺德区校级三模）在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G、H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用三角形的中位线定理可以证得FG＝EH，FG∥EH，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG=12CD，FG∥CD．HE=12CD，∴FG＝EH，FG∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形．故选：A．3．（2023•南海区模拟）给出下列判断，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意；故选：D．【题型9：正方形的性质与判定】【典例9】（2023•东莞市校级二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234−6；④当OD⊥AD时，BPA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①由矩形的性质得到∠OBC＝90°，根据折叠的性质得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，根据直角三角形的性质得到DH=12OD=3，根据三角形的面积公式得到△OAD的面积为12OA•DH③连接OC，于是得到OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，根据勾股定理得到CD的最小值为234−6；故③④根据已知条件推出P，D，A三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB＝∠POA，等量代换得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，根据勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确．【解答】解：①∵四边形OACB是矩形，∴∠OBC＝90°，∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，∵∠BOP＝45°，∴∠DOP＝∠BOP＝45°，∴∠BOD＝90°，∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，∴四边形OBPD是矩形，∵OB＝OD，∴四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，∵点A（10，0），点B（0，6），∴OA＝10，OB＝6，∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，∴∠DOA＝30°，∴DH=1∴△OAD的面积为12OA•DH=12③连接OC，则OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，∵AC＝OB＝6，OA＝10，∴OC=OA2∴CD＝OC﹣OD＝234−即CD的最小值为234−6；故③④∵OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∵∠ODP＝∠OBP＝90°，∴∠ADP＝180°，∴P，D，A三点共线，∵OA∥CB，∴∠OPB＝∠POA，∵∠OPB＝∠OPD，∴∠OPA＝∠POA，∴AP＝OA＝10，∵AC＝6，∴CP=1∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确；故选：D．1.（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）求证：四边形AFDE为正方形；（2）若AD＝22，求四边形AFDE的面积．【答案】（1）见解答．（2）4．【分析】（1）根据题目条件可得四边形AFDE为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个90°角，即可说明是正方形，（2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四边形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形．（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝22，∴AF＝DF＝DE＝AE=2∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．2．（2022•禅城区校级二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC=2AD＝42（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF=22+∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥DF，∴DH＝HF，∴EH=12DF∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM=2∴HM＝HF﹣FM=5在Rt△EHM中，EM=H一．选择题（共7小题）1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（）A．α B．45°﹣α C．45°−α2 D．3【答案】B【分析】连接DQ，根据正方形的性质先证明△ADF≌△DCE，得出∠DCE＝α，DF＝CE，进而得出DQ＝PD，∠PDQ＝90°﹣2α，根据三角形的内角和表示出∠PQD即可求解．【解答】解：连接DQ，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵AF＝DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，∵点P，Q分别是DF，CE的中点，∴PD=12DF＝DQ=∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，∴∠PQD=180°−(90°−2α)2=∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，BC＝12，以点O为圆心作圆，若⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，则⊙O的半径r的取值范围是（）A．r＜52 B．r＞52 C．5【答案】C【分析】分别求出⊙O与直线AD、直线CD相切时的半径即可解答．【解答】解：当⊙O与直线AD相切时，r=12AB当⊙O与直线CD相切时，r=12∴⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，⊙O的半径r的取值范围是52＜故选：C．3．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（）A．8cm B．16cm C．24cm D．82cm【答案】D【分析】连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝8cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．【解答】解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=2AB＝82cm故选：D．4．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，下列结论正确的是（）A．AO＝BO B．菱形ABCD的面积等于AC•BD C．AC平分∠BAD D．若∠AOD＝90°，则四边形ABCD是正方形【答案】D【分析】根据菱形的性质，正方形的判定可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OB，菱形ABCD的面积=12AC•BD，AC平分∠若∠AOD＝90°，不能判定四边形ABCD是正方形，故选：D．5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（）A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 C．若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形【答案】D【分析】根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：A、若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选项A不符合题意；B、若AC＝BD，则四边形不一定ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、若AC⊥BD，AC＝BD，则四边形ABCD不一定是正方形，故选项C不符合题意；D、∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则边AB长为（）A．3 B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】根据矩形的性质得出OA＝OB，进而利用等边三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝4，∴OA=OB=1∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝2，故选：D．7．如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（）A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误【答案】C【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∵∠EAO=∠BCAAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；乙的作法正确；∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABEF是菱形．故选：C．二．填空题（共5小题）8．七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，若图形“4”的小正方形的边长为3，则整个七巧板所组成的大正方形的面积为24．【答案】24．【分析】由七巧板的特征可求BO的长，可得BD的长，即可求解．【解答】解：如图，∵图形“4”的小正方形的边长为3，∴BO＝23，∴BD＝2BO＝43，∵四边形ABCD是正方形，∴BD=2BC∴BC＝26，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝24，故答案为：24．9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2，则tan∠EDO＝33【答案】33【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，AO=12AD＝2，由直角三角形斜边的中线求出AD＝4，由勾股定理求出OD=AD2−A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=12∵AC＝4，∴AO＝2，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE=12∵OE＝2，∴AD＝4，∴OD=AD∴tan∠EDO=AO故答案为：3310．如图，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的数字的积为0或﹣9．【答案】0或﹣9．【分析】分两种情况：当对折后重叠的数为0和6时；当对折后重叠的数为3和﹣3时，利用有理数的乘法分别计算即可．【解答】解：当对折后重叠的数为0和6时，乘积为0×6＝0，当对折后重叠的数为3和﹣3时，乘积为﹣3×3＝﹣9，综上所述，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的数字的积为0或﹣9，故答案为：0或﹣9．11．如图，长方形的长是10cm，宽是4cm，则图中阴影部分的面积是20cm2．【答案】20．【分析】由面积关系可求解．【解答】解：阴影部分面积=12×长方形的面积=1故答案为：20．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB＝5cm，AO＝4cm，则BD的长为6cm．【答案】6．【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，由勾股定理可求BO，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝DO，∵BO=AB2−AO∴DO＝BO＝3（cm），∴BD＝6（cm），故答案为：6．三．解答题（共3小题）13．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO＝15°．（1）试比较线段AO与AE的大小．并证明你的结论；（2）连接OE，求∠AOE的大小．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC知∠CDE＝∠CED＝45°，得出△ADE是等腰直角三角形，AD＝AE，再证出△OAD是等边三角形，得出AD＝AO＝DO，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得出∠DAO＝60°，得出∠OAE＝30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：（1）AO＝AE；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝DO，∵DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE，又∵∠EDO＝15°，∴∠ADO＝60°；∴△OAD是等边三角形；∴AD＝AO＝DO，∴AO＝AE；（2）∵△OAD是等边三角形，∴∠DAO＝60°，∴∠OAE＝90°﹣∠DAO＝30°，∵AO＝AE，∴∠AOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．14．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．求证：AF＝DG【答案】见试题解答内容【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝DG，【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵∠BAF=∠ADG∠AFB=∠DGA∴△BAF≌△ADG（AAS），∴AF＝DG，15．如图，在一个边长为am的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为bm的正方形花坛（a＞2b），其余的地方种草坪．（1）求种草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝84，b＝8，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？【答案】（1）（a2﹣4b2）m2；（2）34000元．【分析】（1）种草坪的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积；（2）利用分解因式的方法求出草坪的面积为a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），再把a，b的值代入求出面积，再进行计算即可．【解答】解：（1）种草坪的面积是（a2﹣4b2）m2；（2）当a＝84，b＝8时，种草坪的面积是a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（84+2×8）（84﹣2×8）＝100×68＝6800（m2），所以种这块草坪共需投资5×6800＝34000（元）．一．选择题（共7小题）1．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB＝4，AD＝2，△ADE为等边三角形，点F是直线ED上一点，连接OF，则线段OF的最小值为（）A．1 B．3 C．2 D．3【答案】D【分析】作辅助线，构建直角三角形，确定当OF⊥ED时，线段OF的最小值，先计算EM和OM的长，根据含30度角直角三角形的性质可得结论．【解答】解：连接OE，当OF⊥ED时，线段OF的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA=12AC，OD＝BD=∴OD＝OA，∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AE＝AD＝2，∠DEA＝60°，∴OE是AD的垂直平分线，∴∠OEF＝30°，DM=12AD＝1，OM=1在Rt△DEM中，EM=D在Rt△OEF中，OE=3+2，∠∴OF=12OE故选：D．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（）A．65 B．125 C．245【答案】C【分析】过P作PM⊥CD于M，由菱形的性质推出CD∥AB，AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，AC平分∠BCD，由角平分线的性质推出PF＝PM，由PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，得到P、E、M共线，因此PE+PF＝ME，由勾股定理求出AB=OA2+OB2=5，由菱形的面积公式得到AB•EM=【解答】解：过P作PM⊥CD于M，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，∵PF⊥BC于F，∴PF＝PM，∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，∴P、E、M共线，∴PE+PF＝PE+PM＝ME，∵AC＝8，BD＝6，∴OA=12×8＝4，∴AB=O∵菱形ABCD的面积＝AB•EM=12AC•∴5EM=1∴EM=24∴PE+PF的值为245故选：C．3．如图，在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以相同长度为半径作弧相交于点E，作射线AE交对角线BD于点O，若AB＝4，则AO＝（）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】由作图过程可得BE＝DE，根据AB＝AD可得AE是BD的垂直平分线，所以点O是正方形对角线AC，BD的交点，然后利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，如图，连接BE，DE，由作图过程可知：BE＝DE，∴AE是BD的垂直平分线，∵四边形ABCD是正方形，∴对角线AC，BD互相垂直平分，∴点E在AC上，∴点O是正方形对角线AC，BD的交点，∴OA=22AB=2故选：D．4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（）A．3 B．32 C．2 D．【答案】C【分析】根据菱形的性质得到CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，根据直角三角形的性质得到OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23，求得CO＝CD+DO【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23∴CO＝CD+DO＝6，∴BC＝AB=12CD＝3，OB=3BC∵∠A＝90°，∴AO=OB2∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BOC＝30°，∴BE=3∵EH⊥AB，∴EH∥OA，∴△BHE∽△BAO，∴EHOA∴EH3∴EH=2故选：C．5．已知AB，CD，EF是三条平行线，小明在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，如图所示，在CD上方有7个，在CD下方有4个，AEFB构成大长方形．已知小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙．小明发现，改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，则a，b之间的关系为（）A．5b＝2a B．4b＝a C．3b＝a D．5b＝3a【答案】B【分析】由矩形的性质得出S1﹣S2＝AB×4b﹣4ab﹣AB×a+7ab＝（4b﹣a）AB+3ab，再根据改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，得出4b﹣a＝0，即可得出结果．【解答】解：∵四边形AEFB为矩形，AB∥CD∥EF，∴AB＝EF，四边形ABCD、四边形CDFE都为矩形，∵在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙，∴S1＝EF×4b﹣4b×a＝AB×4b﹣4ab，S2＝AB×a﹣7b×a＝AB×a﹣7ab，∴S1﹣S2＝AB×4b﹣4ab﹣AB×a+7ab＝（4b﹣a）AB+3ab，∵改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，∴4b﹣a＝0，∴4b＝a，故选：B．6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】B【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD=12AC•∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=12故选：B．7．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于G，连结AH．以下四个结论中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③AB=2FG；④△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；AF＜EH，据此得征；②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°，据此得证；③FG的长度不是定值，据此得证；④作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE＝IM，同理可证AL＝HE，故△CEH的周长为边AM的长，据此得证．【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∵FH⊥AE，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①错误；∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正确；∵F是动点，∴FG的长度不是定值，不可能AB=2FG，故④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图2，则四边形LHCI为平行四边形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∴CE＝IM，∵E，F，H共圆，∠HFE＝90°，∴HE为直径，∵∠HCF＝90°，∴点C在以HE为直径的圆上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周长为12，④正确．综上所述，②④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）8．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝2．【答案】见试题解答内容【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝23，∴AO=33∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE=12故答案为：2．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND＝∠AMC．（1）AMBN=3（2）连接CE，则CE的最小值为2．【答案】（1）32（2）2．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可得出结果；（2）取AB的中点O，连接OE，OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OE=12AB=3【解答】解：（1）∵∠AMB＝180°﹣∠AMC，∠BNC＝180°﹣∠BND，∠BND＝∠AMC，∴∠AMB＝∠BNC，∵∠ABM＝∠BCN，∴△ABM∽△BCN，AMBN故答案为：32（2）取AB的中点O，连接OE，OC，∴OB=1由（1）中△ABM∽△BCN，得∠BAM＝∠CBN，∵∠CBN+∠ABN＝90°，∴∠ABN+∠BAM＝90°即∠AEB＝90°，在Rt△AEB中，OE=1在Rt△OBC中，OC=O在△OCE中，CE≥OC﹣OE＝5﹣3＝2，故答案为：2．10．如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点E，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，若AC＝16，EF＝6，则DF＝9.6．【答案】9.6．【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，BE＝DE，AE=12AC，由直角三角形斜边中线的性质求出BD＝12，由勾股定理求出AB=AE2+BE2=10，由菱形的面积公式得到AB【解答】解：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BE＝DE，AE=12∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°，∴EF=12∵EF＝6，∴BD＝12，∴BE=12∵AC＝16，∴AE=1∴AB=A∵菱形ABCD的面积＝AB•DF=12AC•∴10DF=1∴DF＝9.6．故答案为：9.6．11．边长分别为3a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为S1，没有阴影部分的面积为S2，则S1S2=【答案】1115【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积＝正方形的面积﹣没有阴影部分的面积，没有阴影部分的面积＝直角三角形的面积，代入求值即可．【解答】解：根据图形可知：没有阴影部分的面积为S2=12•3a•（3a+2a）=15阴影部分的面积为S1＝3a•3a+2a•2a﹣S2＝13a2−152a2=11∴S1故答案为：111512．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为22．其中正确结论的有①②③④．（填序号）【答案】①②③④．【分析】连接BE，交FG于点O，由题意得∠EFB＝∠EGB＝90°，即可得四边形EFBG为矩形，得FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，用SAS即可得△ABE≌△ADE，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得∠BFG＝∠ADE，即可判断②，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，根据题意和角之间的关系得DE⊥FG，即可判断③，根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理得AC＝42，即可得FG的最小值为22，即可判断④．【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，AE=AE∠BAC=∠DAC∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC=AD2∴DE=12AC＝2由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为22，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．三．解答题（共3小题）13．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF．（1）求证：BE＝CF．（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）34．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF＝BE＝2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BG⊥AE，∴∠BGE＝90°，∴∠AEB+∠EBG＝90°，∴∠BAE＝∠EBG，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF；（2）∵正方形边长是5，∴AB＝BC＝CD＝5，∵BE＝2，∴由（1）得CF＝BE＝2，∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=A14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E、点F分别是对角线AC上的点，且AE＝CF，过点E作EG⊥BF，交BC于点G，平移BF，使B、F的对应点分别是G、H，连接DH．（1）当△ADE是以AE为腰长的等腰三角形时，求CE的长；（2）连接BF、DE，判断四边形DEGH的形状，并说明理由．【答案】（1）CE的长为2或5；（2）四边形DEGH是矩形，证明见解答．【分析】（1）运用勾股定理可得AC＝10，分两种情况：当AE＝AD＝8时，则CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2；当AE＝DE时，∠EAD＝∠EDA，推出∠ECD＝∠EDC，得DE＝CE，进而得出AE＝CE，可得CE＝5；（2）先证明△ADE≌△CBF（SAS），可得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，即∠DEC＝∠AFB，由平行线的判定可得DE∥BF，结合平移可得DE∥GH，DE＝GH，证得四边形DEGH是平行四边形，再证得∠EGH＝90°，即可得出四边形DEGH是矩形．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6，∴AC=A当AE＝AD＝8时，则CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2；当AE＝DE时，∠EAD＝∠EDA，∵∠EAD+∠ECD＝90°，∠EDA+∠EDC＝90°，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AE＝CE，∴CE=12综上所述，当△ADE是以AE为腰长的等腰三角形时，CE的长为2或5；（2）四边形DEGH是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CFB，即∠DEC＝∠AFB，∴DE∥BF，由平移得：BF∥GH，BF＝GH，∴DE∥GH，DE＝GH，∴四边形DEGH是平行四边形，∵EG⊥BF，∴EG⊥GH，∴∠EGH＝90°，∴四边形DEGH是矩形．15．在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答．在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF．求证：四边形BFDE是矩形．小星和小红分别给出了自己的思路：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．（1）小星的思路正确，小红的思路正确（选填“正确”或“错误”）；（2）请选择小红或小星的思路完善证明过程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由矩形的判定方法即可得出答案；（2）小红的思路：由平行四边形的性质得出CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C，易证∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°，再证△ADF≌△CBE（SAS），得出∠DFA＝∠BEC＝90°，即可得出结论；小星的思路：由平行四边形的性质得出CD∥AB，CD＝AB，求出BF＝DE，则四边形BFDE是平行四边形，再由∠BED＝90°，即可得出结论．【解答】（1）解：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确，小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确，故答案为：正确，正确；（2）证明：小红的思路：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C，∵BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°，在△ADF和△CBE中，AD=CB∠A=∠C∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠DFA＝∠BEC＝90°，∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；小星的思路：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵AF＝CE，∴AB﹣AF＝CD﹣CE，即BF＝DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形．一．选择题（共5小题）1．（2019•深圳）如图，已知菱形ABCD