平面力系的合成与平衡-平面力系的平衡（建筑力学）

平面力系的合成与平衡二、几种特殊平面力系的平衡方程平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系可以看作平面力系的特殊情况。它们的平衡方程均可由式（2-7）导出。(一）平面汇交力系若取汇交点为矩心，则式（2-7）中的力矩式方程自动满足，故其平衡方程为∑Fx=0∑Fy=0由于只有两个方程，所以最多可以求解两个未知量。(2-10)（二）平面平行力系对于如图2-15所示的平面平行力F1,F2,…,Fn，取OX轴与各力垂直，则式(2-7)中∑Ｆｘ＝０恒满足，于是独立的平衡方程就只有两个，即:∑Fy=0∑mＯ(F)=0(2-11)

当荷载连续地作用在整个构件或构件的一部分上时，称为分布荷载，如水压力、土压力和构件的自重等。如果荷载是分布在一个狭长范围内，则可以把它简化为沿狭长面的中心线分布的荷载，称为线荷载。例如，梁的自重就可以简化为沿梁的轴线分布的线荷载。当各点线荷载的大小都相同时，称为均布线荷载;当线荷载各点大小不相同时，称为非均布线荷载。各点荷载的大小用荷载集度q表示，某点的荷载集度表示线荷载在该点的密集程度。其常用单位为N／m或kN／m。可以证明：按任一平面曲线分布的线荷载，其合力的大小等于分布荷载图的面积，作用线通过荷载图形的形心，合力的指向与分布力的指向相同。【例2-6】如图2-16(a)所示水平梁受荷载F=20kN、q=10kN／m作用，梁的自重不计，试求A、B处的支座反力。解：(1)选取研究对象。取梁AB为研究对象。(2)画受力图。如图2-16（b）所示。(3)列平衡方程并求解。建立坐标系，如图2-16(b)所示，由∑mA(F)=0FB×4-F×1-q×2×3=0得FB=q×3／2＋F／4=10×1.5+20／4=20（kN）(↑)由∑Fy=0FA+FB-F－q×2=0得FA=q×2+F-FB=10×2+20-20=20（kN）(↑)（三）平面力偶系由平面力偶系的合成结果只有一个合力偶可知，若力偶系平衡，其合力偶矩必等于零；反之，若合力偶矩等于零，则原力偶系必定平衡。平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零，即:∑m＝m1＋m2＋…＋mn＝0（2-12）【例2-8】如图2-18（a）所示，梁AB上作用有两个力偶，它们的力偶矩分别为m1=15kN·m，m2=24kN·m，l=6m。若梁重不计，试求支座A、B的约束反力。解：由支座B的性质知，FB的作用线通过铰心B且与支承面垂直。支座A的反力FA作用线通过铰心A但方位不能确定。梁上只有两个外力偶的作用，而力偶只能与力偶平衡，因此FA与FB必组成一个力偶。因而，FA的作用线必与FB的作用线平行，并且大小相等、方向相反。梁AB的受力图如图2-18(b)所示，图中FA与FB的指向是假设的。由平衡方程∑m=0m1－m2＋FB·l=0得FB＝(m2－m1)／l＝1.5kN(↑)所以FA＝1.5kN(↓)平面力系的合成与平衡

平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零,即FＲ′＝０ｍＯ＝０由于于是平面一般力系的平衡方程为:平面一般力系的平衡(2-7)平面力系的合成与平衡

式（2-7）为平面一般力系平衡方程的基本形式。它表明：平面一般力系平衡的必要与充分条件是：力系所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零，以及力系的各力对其作用平面内任一点力矩的代数和也等于零。平面力系的平衡方程除式（2-7）的基本形式外，还有二力矩式方程：(2-8)

附加条件：A、B连线不能垂直于投影轴。否则，式（2-8）就只是平面任意力系平衡的必要条件，而不是充分条件。

若将式（2-7）中的两个投影方程都用力矩式方程代替，则可得三力矩式平衡方程，即:附加条件：A、B、C三点不共线。否则，式(2-9)只是平面任意力系平衡的必要条件，而不是充分条件。上述三组平衡方程中，投影轴和矩心都是可以任意选取的，所以可写出无数个平衡方程，但只要满足其中一组，其余方程就都自动满足，故独立的平衡方程只有三个，最多可求解三个未知量。(2-9)【例2-4】梁AB上受力如图2-13所示，已知荷载集度q=100N/m，力偶矩m=500N·m。求活动铰支D和固定铰支A的反力。解:（1）取梁AB为研究对象，其受力如图2-13（b）所示。（2）列平衡方程，求解得：∑Fx=0,FAx=0;∑Fy=0,FAy-qLAB+FD=0;∑mA(F)=0,-qLAB