计算题专项练(三)

计算题专项练（三）（限时：35分钟）1．神舟十三号航天员从天和核心舱气闸舱出舱时身着我国新一代“飞天”舱外航天服。航天服内密封了一定质量的理想气体，体积约为V1＝2L，压强p1＝1.0×105Pa，温度t1＝27℃。(1)打开舱门前，航天员需将航天服内气压降低到p2＝4.4×104Pa，此时密闭气体温度变为t2＝－9℃，则航天服内气体体积V2变为多少？(2)为便于舱外活动，航天员出舱前还需要把航天服内的一部分气体缓慢放出，使气压降到p3＝3.0×104Pa。假设释放气体过程中温度保持为t3＝－9℃不变，体积变为V3＝2.2L，那么航天服放出的气体与原来气体的质量百分比为多少？答案(1)4L(2)67%解析(1)初态体积约为V1＝2L，压强p1＝1.0×105Pa，温度T1＝300K。末态p2＝4.4×104Pa，温度T2＝264K，根据理想气体状态方程eq\f(p1V1,T1)＝eq\f(p2V2,T2)解得V2＝4L。(2)气体缓慢放出的过程中气体的温度不变，设需要放出的气体体积为ΔVp1V1＝p3(V3＋ΔV)航天服放出的气体与原来气体的质量比η＝eq\f(ΔV,V3＋ΔV)＝67%。2．如图1为某室内模拟滑雪机，机器的前后两个传动轴由电动机提供动力并带动雪毯持续向上运动，使滑雪者获得真实的滑雪体验。已知坡道长L＝8m，倾角为θ＝37°，雪毯以速度v0＝8m/s向上做匀速直线运动，一质量m＝60kg(含装备)的滑雪者从坡道顶端由静止滑下，滑雪者未做任何助力动作，滑雪板与雪毯间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。不计空气阻力，在滑雪者滑到坡道底端的过程中，求：图1(1)滑雪者所受合力的冲量I；(2)与空载相比电动机多消耗的电能E。答案(1)480N·s(2)1920J解析(1)在滑雪者滑到坡道底端的过程中mgsinθ－μmgcosθ＝ma解得a＝4m/s2到达底端速度v2＝2aL滑雪者所受合力的冲量I＝mv－0联立解得I＝480N·s。(2)滑雪者滑行时间t＝eq\f(v,a)＝2s与空载相比电动机多消耗的电能等于克服摩擦力做功E＝μmgv0tcosθ＝1920J。3．现将等宽双线在水平面内绕制成如图2甲所示轨道，两段半圆形轨道半径均为R＝eq\r(3)m，两段直轨道AB、A′B′长度均为l＝1.35m。在轨道上放置一个质量m＝0.1kg的小圆柱体，如图乙所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角θ为120°，如图丙所示。两轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为μ＝0.5，小圆柱尺寸和轨道间距相对轨道长度可忽略不计。初始时小圆柱位于A点处，现使之获得沿直轨道AB方向的初速度v0。求：图2(1)小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力Ff1、Ff2的大小；(2)当v0＝6m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力FN1、FN2、的大小；(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v0的最大值，以及在v0取最大值情形下小圆柱最终滑过的路程s。答案(1)0.5N0.5N(2)1.3N0.7N(3)eq\r(57)m/s2.85m解析(1)圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角θ为120°，根据对称性可知，两侧弹力大小均与重力相等为1N，内外轨道对小圆柱的摩擦力Ff1＝Ff2＝μFN＝0.5N。(2)当v0＝6m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时－(Ff1＋Ff2)l＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)在B点FN1sin60°－FN2sin60°＝meq\f(v2,R)FN1cos60°＋FN2cos60°＝mg解得FN1＝1.3N，FN2＝0.7N。(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v0最大时，在B点FN1′sin60°＝meq\f(veq\o\al(2,m),R)FN1′cos60°＝mg且－(Ff1＋Ff2)l＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0m)解得v0的最大值为eq\r(57)m/s，在圆弧上受摩擦力仍为Ff＝Ff1＋Ff2＝μ(FN1＋FN2)＝μeq\f(mg,cos60°)＝1N所以Ffs＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0m)解得s＝2.85m。4．如图3所示，圆心为O的同心圆形区域内存在垂直于纸面的磁场，其中R1＝3R0，R2＝2R0。圆形边界间环形区域内匀强磁场的磁感应强度大小为B1。一个电荷量为－q，质量为m的粒子由静止经电场加速后以速度v指向O点入射。图3(1)求加速电场的电压U与速度v的关系式；(2)若粒子要能进入半径为R2的圆形区域，求速度v的最小值vmin。(3)若粒子速度大于第(2)问中的vmin，为使其击中O点，求半径为R2的圆形区域的匀强磁场的磁感应强度大小B2。答案(1)U＝eq\f(m,2q)v2(2)eq\f(5qB1R0,4m)(3)eq\f(5,4)B1解析(1)根据动能定理可得qU＝eq\f(1,2)mv2解得U＝eq\f(m,2q)v2。(2)设临界情况下粒子圆周运动的半径为rmin，如图由几何关系得(rmin＋R2)2＝req\o\al(2,min)＋Req\o\al(2,1)整理得rmin＝eq\f(Req\o\al(2,2)－Req\o\al(2,1),2R2)因为qvminB＝meq\f(veq\o\al(2,min),rmin)解得vmin＝eq\f(5qB1R0,4m)。(3)由题意，v>vmin时，设粒子在磁场B1中轨迹圆圆心为O1，半径为r1；在磁场B2中轨迹圆圆心为O2，半径为r2，轨迹圆与半径为R2的磁场边界圆相交于M点，设∠O2MO＝∠MOO2＝θ则在△O2MO中，MO＝2r2cosθ在△O1MO中(OO1)2＝req\o\al(2,1)＋(MO)2＋2r1MOcosθ在直角△O1AO中(OO1)2＝req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,1)其中MO＝R2联立解得req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,1)＝req\o\al(2,1)＋Req\o\al(2,2)＋2r1R2e