第51讲带电粒子在有界匀强磁场中的运动（讲义）

第51讲带电粒子在有界匀强磁场中的运动目录复习目标网络构建考点一四类常见有界磁场【夯基·必备基础知识梳理】知识点1带电粒子在有界磁场中圆心、半径和时间的确定方法知识点2四类常见有界磁场特点【提升·必考题型归纳】考向1直线边界磁场考向2平行边界磁场考向3圆形边界磁场考向4三角形、四边形边界磁场考点二四类常见模型【夯基·必备基础知识梳理】知识点四类常见模型适用条件及界定方法【提升·必考题型归纳】考向1放缩圆模型考向2旋转圆模型考向3平移圆模型考向4磁聚焦模型考点三带电粒子在磁场中运动多解问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点常见多解类型及分析【提升·必考题型归纳】考向带电粒子在磁场中运动多解问题真题感悟理解和掌握带电粒子在有界磁场中圆心和半径确定的方法。能够在四种常见有界磁场和四种常见模型中处理带电粒子在磁场中的运动问题。考点要求考题统计考情分析带电粒子在有界磁场中的运动2023年全国甲卷第7题2022年辽宁卷第8题2022年湖北卷第8题高考对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，以选择题和计算题中出现较多，选择题的难度一般较为简单，计算题的难度相对较大。考点一四类常见有界磁场知识点1带电粒子在有界磁场中圆心、半径和时间的确定方法圆心的确定半径的确定时间的确定基本思路①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心利用平面几何知识求半径利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t＝eq\f(θ,2π)T；②t＝eq\f(L,v)图例说明P、M点速度垂线交点P点速度垂线与弦的垂直平分线交点某点的速度垂线与切点法线的交点常用解三角形法(如图)：R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)(1)速度的偏转角φ等于eq\x\to(AB)所对的圆心角θ(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α知识点2四类常见有界磁场特点【类型一】直线边界磁场直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)图甲中粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)图乙中粒子在磁场中运动的时间t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))T＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)图丙中粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)。【类型二】平行边界磁场平行边界存在临界条件(如图所示)图甲中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq\f(θm,Bq)，t2＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)；图乙中粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(θm,Bq)；图丙中粒子在磁场中运动的时间t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))T＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(θ,π)))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)；图丁中粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)。【类型三】圆形边界磁场带电粒子在圆形边界磁场中，等角进出，沿径向射入必沿径向射出。如图甲、乙所示。【类型四】三角形、四边形边界磁场1．三角形边界磁场：带电粒子速度的大小不同，运动半径不同，出射点的位置也不同。2．四边形边界磁场：带电粒子射入磁场的初速度方向与边界垂直，速度不同，对应不同的粒子轨迹；粒子速度不变，磁感应强度可调时，也可对应类似轨迹。考向1直线边界磁场1．如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，氢的同位素氘离子和氚离子都从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成相同的角，则下列说法正确的是（）

A．运动轨迹的半径之比为B．重新回到边界所用时间之比为C．重新回到边界时的动量相同D．重新回到边界时与O点的距离不相等【答案】AD【详解】A．根据牛顿第二定律得解得由题知v、B大小均相同，则轨道半径r与成正比，故选项A正确；B．粒子的运动周期为则知根据左手定则分析和几何知识可以知道，两粒子重新回到边界速度方向相同，重新回到边界时两个离子的速度偏向角均为，轨迹的圆心角也为，如图：

则运动时间可知重新回到边界所用时间之比为2∶3，选项B错误；C．根据动量的定义由于磁场不改变速度的大小，且两个电荷的质量不相等，所以两个粒子的动量也不相等，C错误；D．有几何知识可知粒子重新回到边界时的位置与O点距离由于相同，r不同，故d不同，选项D正确。故选AD。考向2平行边界磁场2．如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子（不计粒子重力），在竖直平面内，沿着与MN夹角为的方向射入磁场中。则下列说法正确的是（）

A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为D．若在该空间再加一个匀强电场，粒子有可能做匀加速直线运动【答案】BC【详解】A．若带电粒子带负电，粒子恰好从PQ射出，轨迹如图

由洛伦兹力提供向心力由几何关系解得粒子入射速度入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出，A错误；B．若带电粒子带正电，粒子在磁场中运动的最长时间对应轨迹为

由洛伦兹力提供向心力由几何关系运动时间粒子在磁场中运动的最长时间可能是，B正确；C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子（带负电），在磁场中运动时间均为C正确；D．若在该空间再加一个匀强电场，带电粒子受电场力与洛伦兹力，由于洛伦兹力垂直于速度方向，且大小为若粒子做匀加速直线运动，则速度增加，洛伦兹力变大，合力不再与速度共线，所以若在该空间再加一个匀强电场，粒子不可能做匀加速直线运动，D错误。故选BC。考向3圆形边界磁场3．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子（不计重力）沿直线AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，则下列说法正确的是（

）

A．若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为1:2B．若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为2:1C．若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为2:1D．若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1【答案】AD【详解】AB．两粒子运动轨迹如图

粒子运动时间为若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q经历时间之比为，A正确；C．设圆形区域半径为R，由题意可知，两粒子运动半径之比为根据若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为，C错误；D．同理C选项，若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1，D正确。故选AD。考向4三角形、四边形边界磁场4．如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，边长，一个粒子源在点将质量为、电荷量为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，下列说法正确的是（）

A．粒子运动时间为B．入射点与出射点的间距为C．粒子运动速度的最大值为D．与边的最大距离为【答案】D【详解】根据题意可知，粒子沿边界方向射入磁场从边射出磁场时转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子速度最大时运动轨迹与相切，粒子运动轨迹，如图所示

由几何关系可得∠a=600,∠b=900，则因为四边形是正方形，所以粒子做圆周运动的半径粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得解得则粒子在磁场中运动的时间为入射点与出射点的间距为与边的最大距离为故选D。5．如图所示，等腰梯形区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，边长，，一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从边射出磁场区域，粒子的速度可能为（）A． B． C． D．【答案】BC【详解】根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示由几何关系可知，当粒子从点飞出时，半径为粒子从点飞出时，半径为由牛顿第二定律有解得则有解得为使粒子从边射出磁场区域，粒子的速度范围为本题选粒子的速度可能的，故选BC。考点二四类常见模型知识点四类常见模型适用条件及界定方法放缩圆模型适用条件速度方向一定，速度大小不同粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法旋转圆模型适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法平移圆模型适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行界定方法将半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法磁聚焦模型1．磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。2．磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。考向1放缩圆模型1．一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（）A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于【答案】AD【详解】ABC．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为，当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于，故A正确，BC错误；D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于，故D正确。故选AD。考向2旋转圆模型2．如图所示，在荧光板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则（）A．粒子能打到板上的区域长度为2dB．打到板上的粒子数为NC．从粒子源出发到板的最短时间D．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为【答案】D【详解】A．粒子受到的洛伦兹力充当向心力粒子运动的半径粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图：设SC垂直于MN与C点，由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径则左侧最远处A离C距离为，右侧离C最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是，故A错误；C．在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如下粒子做整个圆周运动的周期由几何关系可知最短时间故C错误；D．粒子在碰场中最长时间；故D正确；B．当向垂直于板竖直方向左侧发射时，均可打到板上，而向垂直于板竖直方向右侧发射时，则打不到板上，所以打到板上的粒子数为，故B错误。故选D。考向3平移圆模型3．如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（）A．等腰三角形BAC中AB边的长度为B．粒子在磁场中运动的最长时间为C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变【答案】AB【详解】A．依题意可知在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹时半圆，轨迹圆的圆心在A点。且其轨迹与BC边相切。根据几何关系可知粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有联立，可得故A正确；B．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为根据上一选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90，则有故B正确；C．从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移得到此轨迹圆的圆心在A点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即。故C错误；D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90的轨迹，故最长时间将变小，故D错误。故选AB。考向4磁聚焦模型4．圆心为O、半径为的圆形区域内存在磁感应强度为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场边缘上的点沿纸面向圆形区域各个方向均匀发射速度大小为的带电粒子。圆的右边为边长的正方形，刚好与圆相切于B点，其区域内存在水平向左的匀强电场。当粒子沿方向时，粒子刚好从B点离开磁场，进入电场后又恰好从右边界的中点返回。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）

A．粒子的比荷为B．粒子从A点进入磁场到最终离开磁场的运动过程中的总时间与入射方向无关C．若将电场方向变为竖直向下，则从电场边界与射出的粒子数之比为D．若电场E竖直向下，且粒子要全部从边界射出，则场强大小至少为原来的4倍【答案】ACD【详解】A．由题可知粒子在圆形区域磁场内的偏转半径为则有化简可得粒子的比荷为故A正确；B．粒子从A点进入磁场到最终离开磁场的运动过程中的总时间为所以总时间与偏转角度有关，偏转角度越大，运动时间越长，粒子入射方向不同，偏转时间不同，则进入磁场到最终离开磁场的运动过程中的总时间也不一样，故B错误；C．在磁场边缘上的点沿纸面向圆形区域各个方向均匀发射速度大小为的带电粒子，粒子离开圆形磁场将与电场平行离开磁场进入电场，由当粒子沿方向时，粒子刚好从B点离开磁场，进入电场后又恰好从右边界的中点返回可得解得电场力为则若将电场方向变为竖直向下，粒子将做类平抛运动，且向下的加速度为若将电场方向变为竖直向下，且刚好打到处的粒子有，解得由于能进入电场的粒子范围总高度为2R，高度小于的粒子范围均从射出

高度大于，小于范围的均从射出，高度等于的粒子从A点射出时速度方向与水平方向的夹角为60°，则从电场边界与射出的粒子数之比为故C正确；D．若电场E竖直向下，且粒子要全部从边界射出，则进入电场范围高度为2R的粒子恰好打到处，则有；解得又原场强加速度为若电场E竖直向下，且粒子要全部从边界射出，需要的加速度为所以由上面两式可得故D正确。故选AD。考点三带电粒子在磁场中运动多解问题知识点常见多解类型及分析类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解考向带电粒子在磁场中运动多解问题如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为，方向垂直于abed所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调整），如图乙所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在时刻由a点沿ab方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且，关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（）

A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是B．调整磁场变化周期T，让电子经过d点，电子的速度大小一定是C．要想让电子经过点f点，则磁场变化周期一定是D．要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是【答案】D【详解】A．要想让电子沿bc方向经过c点，可能的轨迹如图所示

也可以转奇数个圆弧