2023年北京十四中初二（下）期中数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京十四中初二（下）期中数学一、选择题（每小题2分，共20分）1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.2.下列各式中，从左向右变形正确的是（）A. B. C. D.3.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A.2，3，4 B.，2 C.6，8，10 D.1，4.矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（）A. B. C. D.5.如图，在中，，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（）A.4 B.3 C.2 D.不确定6.如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A. B. C. D.7.已知一次函数，那么下列结论正确的是（）A.y的值随x的值增大而增大 B.图象经过第一、二、三象限C.图象必经过点 D.当时，y<08.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（）A.24 B.48 C.72 D.969.如图，ABE、BCF、CDG、DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（）A.7 B.6 C.7 D.710.如图1，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8．动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形的某一个顶点的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图2所示，那么矩形的这个顶点是（）A.点A B.点B C.点C D.点D二、填空题（每题2分，共16分）11.函数中，自变量x的取值范围是_____．12.已知□ABCD中,∠A+∠C＝200°，则∠B＝__________.13.如图，在数轴上点A表示的实数是______．14.如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是___．(写出一个即可)15.下列命题中逆命题成立的有______．（填序号）．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么，；④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．16.如图，在矩形中．将沿折叠，使点A恰好体落在对角线上F处，则的长是_______．17.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE＋DF＝2，则∠EBF＝______°，面积的最小值为______．18.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位长度得到线段，若直线与四边形有两个交点，则的取值范围是________________．三、解答题（本大题共8道小题，共64分，第19题8分，第20－21题每题6分，第22－24题每题8分，第25－26题每题10分）19.计算：（1）；（2）．20.一次函数的图象经过和两点．（1）求一次函数的解析式；（2）当时，求y的值．21.如图，在中，点、在直线上，且，求证：四边形是平行四边形．22.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于，与轴交于．（1）求该直线的表达式和点的坐标；（2）若轴一点，且，直接写出点的坐标．23.如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点C作交的延长线于点E，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长．24.下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；3、连接AD，CD．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．证明：∵AB＝______，BC＝______，∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（________）．25.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像过点，，点B关于x轴的对称点为C．（1）求这个一次函数的表达式；（2）点D为x轴上任意一点，求线段AD与线段CD之和的最小值；（3）一次函数）的图像经过点C，当时，对于x的每一个值，的值都小于的值，直接写出a的取值范围．26.已知：正方形ABCD，过点D作直线DE，点C关于直线DE的对称点为，连接，作直线交直线DE于点P．（1）补全图形；（2）判断的形状并证明；（3）猜想线段PA，PC，PD的数量关系并证明．附加题：（共10分，27题3分，28题7分）27.观察下列各式：n＝1时，有式①：＝；n＝2时，有式②：＝；（1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整：＝；＝；（2）请用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律：．28.在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，其中点，给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线的“关联点”．（1）如图2，在点中，是矩形OABC关于直线的“关联点”的为_____________；（2）如图3，点是矩形OABC关于直线的“关联点”，且是等腰三角形，求t的值；（3）若在直线上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线的“关联点”，请直接写出b的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题2分，共20分）1.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．是最简二次根式，故该选项符合题意；B．，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；C．，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；D．，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．【详解】解A．，错误，故此选项不符合题意；B．，错误，故此选项不符合题意；C．，正确，故此选项符合题意；D．，错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确计算是解题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确；D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意．故选择：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4.【答案】D【解析】【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图所示：四边形是矩形，，，，∴．故选：．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．【详解】解：如图，在平行四边形中，．，分别为，的中点，是的中位线，．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．6.【答案】C【解析】【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，【详解】解：如图，它运动的最短路程（cm），故选：C．【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可．【详解】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；C、将（0,2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y=-x+2上，故该选项符合题意；D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，则AC=12，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，

∴AC=12，

∵DH⊥AB，

∴∠BHD=90°，

∴BD=2OH=2×4=8，∴菱形ABCD的面积=故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求出BE，证明四边形EFGH为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，由勾股定理得，BE＝＝＝12，∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH为正方形，∴EG＝＝7，故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】由函数图象可以看出，点M到矩形的顶点的距离先是增加，再结合矩形几何图形，可分析出是点B.【详解】动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，结合图象，则点M到矩形的顶点B的距离先是逐渐增加，所以不能选A,C,D.故选B【点睛】本题考核知识点：矩形，函数图象.解题关键点：数学结合，分析函数与自变量的关系.二、填空题（每题2分，共16分）11.【答案】【解析】【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，∴，故答案为．12.【答案】80°##80度【解析】【详解】解：∵□ABCD中，∴∠A=∠C，∵∠A+∠C＝200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°-100°=80°．故答案是：80°．13.【答案】【解析】【分析】如图，利用勾股定理求出，即可得解．【详解】解：如图，，∴，∴，∴点表示的实数是：．故答案为：．【点睛】本题考查实数与数轴．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应，是解题的关键．本题还考查了勾股定理．14.【答案】∠DFG=90°（答案不唯一）【解析】【分析】由三角形中位线定理得DEBC，再由DFEG，得四边形DFGE是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：添加条件为：∠DFG=90°，理由如下：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DEBC，∵DFEG，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵∠DFG=90°，∴平行四边形DFGE是矩形，故答案为：∠DFG=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．15.【答案】①③##③①【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，正确；②如果两个角相等，那么它们是直角，错误；③如果，，那么，正确；④如果两个实数的平方相等，那么它们相等，错误，故答案为：①③．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．16.【答案】5【解析】【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，由折叠得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD-BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，由折叠可得：EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF=AE=x，则有ED=8-x，根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，则DE=8-3=5，故答案为：5．【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．17.【答案】①.60②.【解析】【分析】先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．【详解】解：如图，连接BD，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；∴△ABD与△BCD为正三角形，∴∠FDB＝∠EAB＝60°，∵AE+CF＝2，DF+CF＝2，∴AE＝DF，∵AB＝BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE，∴边BE上的高为，△BEF面积的最小值为：．故答案为：；．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18.【答案】或【解析】【分析】由得，直线过定点，与四边形有一个交点时，直线分别过点、，求得直线过点、时的取值，结合图像以及一次函数的性质，即可求解．【详解】解：由得，直线过定点将代入得，，即将代入得，，即将线段沿轴向右平移个单位长度得到线段则、由图像可得，当直线与四边形有一个交点时，有两种情况，一是直线过点，一是直线过点，如下图：将点代入得：，解得将点代入得：，解得由图像得直线与四边形有两个交点时，直线应该在、之间，根据一次函数的性质可得，此时或故答案为：或【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合问题，熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想求解是解题的关键．三、解答题（本大题共8道小题，共64分，第19题8分，第20－21题每题6分，第22－24题每题8分，第25－26题每题10分）19.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的化简，加减法即可求解；（2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解．【小问1详解】解：．【小问2详解】解：．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键．20.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）设一次函数的解析式为，把和代入解析式即可得到关于和的方程组求得、的值；（2）把代入解析式即可求解．【小问1详解】解：设一次函数的解析式为，图象经过和两点，解得，则一次函数的解析式为：；【小问2详解】当时，．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．21.【答案】见解析【解析】【分析】连接，交于点，根据四边形是平行四边形，得出对角线互相平分，根据得出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证．【详解】证明：如图所示，连接，交于点，∵四边形是平行四边形，∴，∵∴，即，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．22.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根据B的坐标即可求得b＝3，从而求得直线的表达式，令y＝0，求得x＝2，即可求得A（2，0）；（2）利用三角形面积求得AC＝4，由A（2，0）即可求得C的坐标．【小问1详解】解：直线与轴交于，与轴交于．∴，∴直线的表达式为，令，则，解得，∴；【小问2详解】解：∵，，，∴，即，∴，∴或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23.【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】(1)先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；(2)先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．【小问1详解】∵，∴，∵为的平分线，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形；【小问2详解】∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．24.【答案】（1）见解析（2）CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．【小问2详解】证明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对分别相等的四边形是平行四边形），

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）通过待定系数法将和点代入解析式求解即可．

（2）点关于轴的对称点为，连接，利用将军饮马问题，的长度即为最小值．

（3）利用一次函数的图像经过点，得到，根据点结合图像即可求得．【小问1详解】解：把，代入，得，解得：∴此一次函数的表达式为：；【小问2详解】解：如图，∵点B关于x轴的对称点为C，∴不管点D在x轴上任意位置都有：DC＝DB．∵当点D为线段AB与x轴交点时，AD＋BD最短，∴此时线段AD与线段CD之和最短．过点A作AE⊥y轴于点E．∵，，∴AE＝2，BE＝4，由勾股定理得：．此时线段AD与线段CD之和的最小值为；【小问3详解】解：一次函数的图像经过点C，

把代入，得到，

于是得到，

∵当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，则当x=2时，，解得：，∵a≠0，

∴a的取值范围是：或．【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式、将军饮马问题及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．26.【答案】（1）见解析（2）等腰三角形，见解析（3），见解析【解析】【分析】（1）根据题意补全图形；（2）根据正方形的性质得到AD=DC，根据轴对称的性质得到DC=DC'，进而证明结论；（3）延长PA至点M，使得AM=PC，连接DM，证明△DAM≌△DCP，根据全等三角形的性质得到DM=DP，∠ADM=∠CDP，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论．【小问1详解】补全图形，如图所示：【小问2详解】DAC是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，∵点C关于直线的对称点为，∴，∴，∴∆DA是等腰三角形；【小问3详解】，理由如下：连接CP，延长PA至点M，使得AM=PC，连接DM由对称性可得，∠DCP=∠DP由（2）可得，∠1=∠2∵∠1+∠3=180，∠2+∠DP=180°，∴∠3=∠DP，∴∠3=∠DCP，∵四边形ABCD是矩形，∴DA=DC，∠ADC=90°，在∆DMA和∆DPC中，，∴∆DMA≌∆DPC（SAS），∴∠4=∠5，DM=DP∵∠ADP+∠5=90°，∴∠4+∠ADP=9