余弦函数的性质与图象高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

余弦函数的性质与图象问题情境问题1什么叫正弦函数？如何画正弦函数的图象？新知探究问题2

cosx是函数吗？余弦函数与正弦函数有什么关系呢？余弦函数对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，因此y＝cosx是一个函数，一般称为余弦函数．由诱导公式知新知探究问题3

研究余弦函数的性质，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一种方案，研究余弦函数的性质．定义域与值域：余弦函数y＝cosx的定义域是R，值域是[－1，1]，当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，函数值的最小值是－1．余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，函数值的最大值是1，余弦函数y＝cosx是偶函数，其图象关于y轴对称．余弦函数y＝cosx在区间[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上递增，在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上递减．余弦函数y＝cosx的零点为kπ＋

（k∈Z）．新知探究【想一想】函数y＝cos（－x）的单调增区间为____________________________．y＝cos（－x）＝cosx

，所以y＝cos（－x）的单调增区间为[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）．[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）新知探究问题4可否利用正弦函数的图象得到余弦函数的图象？－2π－ππ2π1－1xyOy＝sinxy＝coxx1．一般地，函数y＝cosx的图象称为余弦曲线．根据，只需把y＝sinx，x∈R的图象向左平移

个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图象．2．余弦函数y＝cosx的图象对称轴为x＝kπ，对称中心为，其中k∈Z．3．画余弦函数y＝cosx的图象时也可以用五个关键点：初步应用例1

判断下列函数的奇偶性解答：（1）把函数y＝cosx＋2记作f（x）＝cosx＋2，因为定义域为R，且f（－x）＝cos（－x）＋2＝cosx＋2＝f（x），（2）把函数y＝sinxcosx记作f（x）＝sinxcosx，因为定义域为R，且f（－x）＝sin（－x）cos（－x）＝－sinxcosx＝－f（x），（1）y＝cosx＋2；（2）y＝sinxcosx．所以y＝cosx＋2是偶函数．所以y＝sinxcosx是奇函数．初步应用例2

求下列函数的值域（1）y＝－3cosx＋1；（2）y＝（cosx＋

）2－3解答：（1）因为－1≤cosx≤1，且－2≤－3cosx＋1≤4，即－2≤y≤4，当cosx＝1时，ymin＝－2；当cosx＝－1时，ymax＝4，因此y＝－3cosx＋1的值域为[－2，4]．所以3≥－3cosx≥－3，初步应用例2

求下列函数的值域（2）令t＝cosx，则（1）y＝－3cosx＋1；（2）y＝（cosx＋

）2－3y＝（t＋

）2－3，t∈[－1，1]．因为－1≤t≤1时，所以0≤（t＋）2≤

，因此－3≤（t＋）2≤当t＝1时，ymax＝当t＝

时，ymin＝－3，因此y＝（cosx＋

）2－3的值域为初步应用例3

求函数

的最大值和最小值．方法一：由余弦函数的性质可知，f（x）＝cosx在递增，在递减，又因为所以函数的最大值为1，最小值为初步应用例3

求函数

的最大值和最小值．当角的余弦线为

时，f（x）取得最小值方法二：如图所示，作出示意图，其中OP为角

的终边，OP′为角

的终边，区间

内的角的终边只能在直线PP′的右上方，因此当角的余弦线为

时，f（x）取得最大值f（0）＝cos0＝1．1PMNP'Oxy初步应用例4

求函数

的周期和其图象的对称轴方程．解答：因为所以所以函数

的周期为6π，其图象的对称轴方程为x＝

＋3kπ（k∈Z）．令（k∈Z），解得x＝

＋3kπ（k∈Z）．初步应用【思考】如何由y＝cosx的图象得到函数

的图象？将y＝cosx的图象向右平移

个单位得到函数的图象；将图象上所有点横坐标伸长为原来的3倍，终坐标不变，得到函数

的图象；再将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数

的图象．初步应用例5

用五点法作出函数y＝1－cosx（0≤x≤2π）的简图．解答：列表：描点连线，如图．x0π2πcosx10－1011－cos

x01210练习练习：教科书练习A：1～5．归纳小结定义域与值域：余弦函数y＝cosx的定义域是R，值域是[－1，1]，当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，函数值的最小值是－1．余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，函数值的最大值是1，余弦函数y＝cosx是偶函数，其图象关于y轴对称．余弦函数y＝cosx在区间[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上递增，在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上递减．余弦函数y＝cosx的零点为kπ＋

（k∈Z）．归纳小结一般地，函数y＝cosx的图象称为余弦曲线．即可得到y＝cosx，x∈R的图象．函数y＝Acos（ωx＋φ）的图