专题24 统计与概率（教师版）

知识点01：数据的收集与整理【高频考点精讲】1、统计图：条形统计图，扇形统计图，折线统计图。2、统计调查过程：（1）问卷调查法——收集数据；（2）列统计表——整理数据；（3）画统计图——描述数据。3、统计调查方法：全面调查（普查）和抽样调查。（1）通过全面调查（普查）可以得到较为全面、可靠的信息，但花费时间长，耗费大。（2）有些项目不适合全面调查（普查）①调查者能力有限，例如个体调查者无法对全国中小学生视力情况进行全面调查（普查）。②调查过程具有破坏性，例如调查手机是否符合

IPX6级防水标准。4、总体、个体、样本、样本容量（1）总体：调查对象的全体；（2）个体：组成总体的每一个调查对象；（3）样本：总体中取出部分个体；（4）样本容量：一个样本包括的个体数量。（样本容量只是个数字，没有单位）5、频数与频率（1）频数：每个对象出现的次数。（2）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值，即频率＝频数÷总数。6、统计图的选择（1）扇形统计图特点①用扇形面积表示部分在总体中所占百分比；②容易显示每组数据相对于总数的大小。（2）条形统计图的特点①能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②方便比较数据之间的差别。（3）折线统计图的特点①能清楚地反映事物的变化情况；②显示数据变化趋势。知识点02：数据分析【高频考点精讲】1、算术平均数（1）平均数：所有数据之和除以数据的个数，是反映数据集中趋势的一项指标。（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）叫做这n个数的算术平均数。2、加权平均数（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数。（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如演讲内容占50%，语言表达占40%，形象风度占20%，权的大小直接影响结果。（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响。3、中位数（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。（2）中位数是一组数据中间位置上的代表值，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息。4、众数（1）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数。（2）众数求法：找出频数最多的那个数据，若多个数据的频数都是最多且相同，此时众数就是多个数据。（3）众数反映了一组数据的集中程度，是描述一组数据集中趋势的量。5、方差（1）方差：一组数据中各个数据与它们平均数作差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。（2）方差用s2来表示，计算公式：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（3）方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好。知识点03：概率【高频考点精讲】1、概率的意义（1）在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数k附近，那么常数k叫做事件A的概率，记为P（A）＝k。（2）概率取值范围：0≤k≤1。（3）必然发生事件概率P（A）＝1；不可能事件概率P（A）＝0。（4）随机事件A概率P（A）＝。（5）事件发生的可能性越大，概率越接近1，事件发生的可能性越小，概率越接近0。2、列表法与树状图法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能结果较多时，我们常用列表方式列出所有可能的结果，再求出概率。（2）列表目的在于列举出所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，求出概率。（3）当一个事件涉及三个或更多元素时，通常采用树形图，树形图列举法一般选择一个元素，再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是全部的可能结果。（4）列举法或树形图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.60一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（）A． B． C． D．解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是：＝，故选：C．2．（2分）（2023•徐州）下列事件中的必然事件是（）A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯解：地球绕着太阳转是必然事件，所以A符合题意；射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意；天空出现三个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意．故选：A．3．（2分）（2023•广东）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（）A． B． C． D．解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，∴小明恰好选中“烹饪”的概率为．故选：C．4．（2分）（2023•广西）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S甲2＝2.1，S乙2＝3.5，S丙2＝9，S丁2＝0.7，则成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：∵，，，，∴丁的方差最小，∴成绩最稳定的是丁，故选：D．5．（2分）（2023•长沙）长沙市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是（）A．这周最高气温是32℃ B．这组数据的中位数是30 C．这组数据的众数是24 D．周四与周五的最高气温相差8℃解：A、由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意；B、这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意；C、这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意；D、周四与周五的最高气温相差8℃，说法正确，故D不符合题意；故选：B．6．（2分）（2023•东营）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）A． B． C． D．解：∵第2图和第4图既是轴对称图形又是中心对称图形，∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率＝．故选：C．7．（2分）（2023•丹东）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：甲乙丙丁平均数/cm169168169168方差6.017.35.019.5根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：∵甲、丙的平均数比乙、丁大，∴应从甲和丙中选，∵甲的方差比丙的大，∴丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙；故选：C．8．（2分）（2023•杭州）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（）A．中位数是3，众数是2 B．平均数是3，中位数是2 C．平均数是3，方差是2 D．平均数是3，众数是2解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：2，2，2，3，此时方差s2＝×[3×（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.4＞2，因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；故选：C．9．（2分）（2023•河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（）A． B． C． D．解：把三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，∴这两个年级选择的影片相同的概率为＝，故选：B．10．（2分）（2023•广元）某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）2468学生数（人）2341下列说法错误的是（）A．众数是1 B．平均数是4.8 C．样本容量是10 D．中位数是5解：A．这组数据的众数为6，所以A选项符合题意；B．这组数据的平均数为（2×2+4×3+6×4+8×1）＝4.8，所以B选项不符合题意；C．样本容量为10，所以C选项不符合题意；D．这组数据的中位数为5，所以D选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•济南）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是12个．解：由题意：3÷＝12（个），故答案为：12．12．（2分）（2023•永州）甲、乙两队学生参加学校拉拉队选拔，两队队员的平均身高均为1.72m，甲队队员的身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6．若要求拉拉队身高比较整齐，应选择甲队较好．解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝5.6，∴S甲2＜S乙2，∴若要求拉拉队身高比较整齐，应选择甲队较好．故答案为：甲．13．（2分）（2023•攀枝花）如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为．解：设正方形的边长为2a，则4个扇形的半径为a，，故答案为：．14．（2分）（2023•浙江）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是．解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“琮琮”的概率是，故答案为：．15．（2分）（2023•温州）某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩在80分及以上的学生有140人．解：其中成绩在80分及以上的学生有：80+60＝140（人）．故答案为：140．16．（2分）（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是＝，故答案为：．17．（2分）（2023•兰州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是①③．（填序号）解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确，故答案为：①③．18．（2分）（2023•邵阳）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：项目跑步花样跳绳跳绳得分908070评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为83分．解：小红的最终得分为：90×50%+80×30%+70×20%＝83（分）．故答案为：83分．19．（2分）（2023•鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有3个．解：由题意可得，口袋中红球的个数约为：12×＝3（个）．故答案为：3．20．（2分）（2023•呼和浩特）某乳业公司要出口一批规格为500克/罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取15罐进行检测，测得它们的平均质量均为500克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的15罐奶粉质量的方差s甲2＜s乙2．（填“＞”或“＝”或“＜”）解：观察折线统计图可以发现，乙厂家15罐奶粉质量的波动较甲厂家15罐奶粉质量的波动大，所以，故答案为：＜．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有80人，条形统计图中m的值为16，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为90°；（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人），条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：＝90°，故答案为：80，16，90°；（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×＝40人），故答案为：40；（3）画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，∴P（恰好抽到2名女生）＝．22．（6分）（2023•盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．学生平均每天阅读时长情况统计表平均每天阅读时长x/min人数0＜x≤202020＜x≤40a40＜x≤602560＜x≤8015x＞8010根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了100名学生，统计表中a＝30．（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，∴本次调查共抽取了100名学生；∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，∴a＝30，故答案为：100，30；（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，且15÷100×360°＝54°，∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，且10÷100×1400＝140（名），∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝．23．（8分）（2023•陕西）从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．（1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是；（2）小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．解：（1）∵共有四张扑克牌，分别是2，5，6，8，其中偶数有3张，∴从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是．故答案为：；（2）列表如下：一共有16种等可能的情况，其中小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的有6种，则小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率是＝．24．（8分）（2023•娄底）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图．（1）参与本次测试的学生人数为150，m＝30；（2）请补全条形统计图；（3）若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．解：（1）60÷40%＝150（人），45÷150×100%＝30%，即m＝30，故答案为：150，30；（2）样本中成绩为“合格”的学生人数为150﹣45﹣60﹣5＝40（人），补全条形统计图如下：（3）5000×＝3500（人），答：全区该年级5000名学生中对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数大约有3500人．25．（8分）（2023•苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是2）＝；（2）画树状图如下：一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1出现了3次，∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1）＝．26．（8分）（2023•宁夏）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下：年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝85，b＝87；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生；（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，八年级10名学生的成绩中8（7分）的最多有3人，所以众数b＝87，A同学得了8（6分），大于8（5分），位于年级中等偏上水平，由此可判