四川省广安第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

秘密★启用前2023年秋广安二中高2022级第二次月考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班次、学号、智学网号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将直线化为斜截式方程得出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案.【详解】将直线化为斜截式方程为，斜率.设直线的倾斜角为，则.又，所以.故选：C.2.设等差数列的公差为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】由已知可得，解得.故选：B.3.已知，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量共线列出关于的方程，由此求解出结果.【详解】因为，所以，，解得，故选：A.4.如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算直接得解.【详解】由是的中点，可知，所以，故选：D.5.已知表示的曲线是圆，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.【详解】由方程可得，所以当时表示圆，解得.故选：C.6.已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线上的点到焦点的最近距离为，结合离心率计算可得答案.【详解】结合题意：双曲线上的点到焦点的最近距离为，因为双曲线离心率为，所以，解得，故双曲线的方程为.故选：B.7.直线与曲线只有一个公共点，则实数范围是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，由图知，当或，与曲线有1个交点，故选：C8.已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，.等于的最小值的3倍，.椭圆中，，即，则.，，解得或（舍）.故选：B.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知数列的通项公式为，则（）A.数列为递增数列 B.C.为最小项 D.为最大项【答案】CD【解析】【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的性质即可判断A、C、D；求得即可判断B．【详解】，当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减，则为最小项，为最大项，故C、D正确，A错误；，，则，故B错误，故选：CD．10.已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A.存在实数，使得曲线为圆B.若曲线C为椭圆，则C.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则D.当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值【答案】AC【解析】【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.【详解】A正确：曲线C为圆即；B错误：C为椭圆C正确：C为焦点在x轴上的双曲线，D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值.故选：AC11.如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PD的中点，则（）A.直线CM与AD所成角余弦值为 B.C. D.点M到直线BC的距离为【答案】ABD【解析】【分析】过A作，垂足为E，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各个选项即可.【详解】过A作，垂足为E，则，以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，因为，所以直线CM与AD所成角的余弦值为，故A正确；因为，所以B正确；因为，所以BM与PC不垂直，故C不正确；设点M到直线BC的距离为d，则，即点M到直线BC的距离为，故D正确．故选：ABD.12.已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（）A.若点，则直线的方程为B.面积的最小值为C.直线过定点D.以线段为直径的圆可能不经过点【答案】BCD【解析】【分析】对A：计算出过、、三点的圆的方程，再两圆方程相减即可得到；对B：当最小时，的面积会有最小值；对C：设出点坐标，再计算出直线的方程，求定点即可得到；对D：可寻找特殊点，如A选项中，计算发现不经过点即可得到.【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，由，两式相减得，，故A错误；B选项，到直线：的距离为，而，所以的最小值为，所以面积的最小值为，故B正确；C选项，设，，线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，化简得：，由，两式相减得，即，由，解得，所以直线过定点，故C正确；D选项，由A选项，由，解得或,即，，，即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．故选：BCD.三､填空题：本大题共4小题，把答案填写在题中横线上．13.直线与直线的距离为__________.【答案】##0.7【解析】【分析】把直线方程化为，利用两平行线之间的距离公式，即可求解结果．【详解】由直线，可化为，则直线和直线之间的距离．故答案为：14.已知，则向量在上的投影向量的坐标是______．【答案】【解析】【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案.【详解】因为，，所以，向量在上的投影向量是，其坐标为.故答案为：.15.已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】过作准线的垂线，垂足为，则，显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，最小，其最小值为．故答案为：16.如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线交曲线于两点,则=________．【答案】①.②.【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，求得三个焦点坐标，结合距离公式求得的周长即可.(2)根据点斜式得出直线的方程，与椭圆联立，代入弦长公式即可.【详解】(1)由题意得的周长为故答案为：.(2)根据题意得直线的方程为将直线与曲线联立,得设则弦长.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列前项和为．（1）试写出数列的前项；（2）求的通项公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由数列的前项和公式,得代入运算即可.(2)根据得验证综合可得的通项公式.【小问1详解】数列前项和为,【小问2详解】由题得时,又不符合上式,18.已知的三个顶点，D为BC的中点.求：（1）中线AD所在直线的方程；（2）BC边上的高所在直线的方程.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.（2）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.【小问1详解】BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.【小问2详解】、，BC边斜率k，则BC边上的高线的斜率k＝，所以BC边上的高线所在直线的方程为，即.19.已知圆C的圆心在直线上，且经过点和．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.【小问1详解】点和中点为，,所以中垂线的，利用点斜式得方程为，联立方程得圆心坐标为，所以圆C的标准方程为.【小问2详解】当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.20.在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】证明：取中点，连接，为的中点，，又，，四边形为平行四边形：，平面平面，平面；【小问2详解】平面平面，平面平面平面，平面，取中点，连接，则平面，，，又，如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，设平面的一个法向量，，则，取，则，平面的一个法向量可取，设平面与平面所成的夹角为，,平面与平面所成的夹角的余弦为21.已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由条件可得，即，则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，则，可得，所以曲线的方程为．【小问2详解】由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，由于且直线的斜率不等于0，不妨设，，，则，，由可得，联立方程，消去x得则，由韦达定理可得，由，解得，代入可得，解得，即，因此直线，即.22.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，，其中是非零