第03讲平方差和完全平方公式（知识解读达标检测）（原卷版）

第03讲平方差和完全平方公式【题型1平方差公式运算】【题型2利用平方差公式进行简便运算】【题型3平方差公式的逆运算】【题型4平方差公式的几何背景】【题型5完全平方公式】【题型6完全平方公式下得几何背景】【题型7完全平方公式的逆运算】考点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.考点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【题型1平方差公式运算】【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a+2）（3a﹣2）＝．【变式11】（2023春•蕉城区校级月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，则a2﹣b2＝．【变式12】（2023春•双峰县期末）（4a+b）（﹣b+4a）＝．【变式13】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x﹣3y）（3y+2x）＝．【题型2利用平方差公式进行简便运算】【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002．【变式21】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．【变式22】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【变式23】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．【题型3平方差公式的逆运算】【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．【变式31】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于．【变式32】（2023春•广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为．【变式33】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝．【题型4平方差公式的几何背景】【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：；【变式41】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝；（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【变式42】（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【变式43】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．​（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：；（2）利用上述乘法公式计算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．考点3：完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：考点4：拓展、补充公式；；；.【题型5完全平方公式】【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝．【变式51】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝．【变式52】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为．【变式53】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【题型6完全平方公式下得几何背景】【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积：方法一：S小正方形＝；方法二：S小正方形＝；（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系为；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【变式61】（2023春•甘州区校级期中）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于．（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：．（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝．【变式62】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一：；方法二：．（2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【变式63】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解决问题：（1）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【题型7完全平方公式的逆运算】【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【变式71】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【变式72】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【变式73】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．一．选择题（共10小题）1．（2023•东营模拟）对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2﹣b2，根据这个定义，代数式（x+y）☆y可以化简为（）A．xy+y2 B．xy﹣y2 C．x2+2xy D．x22．（2022秋•官渡区期末）若（x+m）2＝x2+8x+16．则m的值为（）A．4 B．±4 C．8 D．±83．（2023秋•城中区校级期中）已知x﹣y＝5，xy＝4，则x2+y2的值为（）A．10 B．17 C．26 D．334．（2023•虎林市校级二模）下列运算正确的是（）A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6 C．（﹣m）3•m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n25．（2023春•电白区期末）已知a+b＝7，a﹣b＝8，则a2﹣b2的值是（）A．11 B．15 C．56 D．606．（2023春•西安期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+2b）（2a﹣b） B．（a﹣3）（﹣a+3） C．（x﹣3）2 D．（2x+y）（2x﹣y）7．（2023春•兴宾区期末）已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣28．（2023秋•藁城区期末）如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）A．4a B．2a C．a2﹣1 D．29．（2023秋•大冶市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（）A． B． C． D．10．（2023春•鼓楼区校级期末）已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝16，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（）A．（x﹣p）2＝14 B．（x+p）2＝14 C．（x﹣p）2＝18 D．（x+p）2＝16二．填空题（共5小题）11．（2023秋•鼓楼区校级期末）若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为．12．（2023秋•永善县期末）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k的值是．13．（2023秋•龙岩期末）若a2﹣b2＝15，a+b＝﹣3，则a﹣b的值为．14．（2023秋•丰泽区期末）边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为．15．（2023秋•海口期末）根据图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．三．解答题（共4小题）16．（2023秋•宜州区期末）计算：（3+a）（3﹣a）+（a+1）2．17．（2023秋•雷州市期末）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x﹣y；（3）x3y+xy3．18．（2023秋•凉州区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张．（3）根据（1