第22讲万有引力定律及其应用（讲义）

第22讲万有引力定律及其应用目录复习目标网络构建考点一开普勒行星运动定律【夯基·必备基础知识梳理】知识点开普勒行星运动定律【提升·必考题型归纳】考向开普勒行星运动定律应用考点二万有引力定律的理解和应用【夯基·必备基础知识梳理】知识点1万有引力与重力的关系知识点2星体表面上的重力加速度知识点3万有引力的“两个推论”【提升·必考题型归纳】考向1万有引力与重力的关系考向2天体不同位置重力加速度考点三天体质量密度估算【夯基·必备基础知识梳理】知识点1“自力更生”法(g－R)知识点2“借助外援”法(T－r)【提升·必考题型归纳】考向天体质量密度估算真题感悟掌握开普勒定律和万有引力定律。能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。考点要求考题统计考情分析（1）开普勒定律（2）万有引力定律2023年湖南卷第4题2023年山东卷第3题2023年湖北卷第2题高考对万有引力定律应用的考查各地几乎每年都考，大多以选择题的形式考查，最近几年对这部分内容考查的难度不大。考点一开普勒行星运动定律知识点开普勒行星运动定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等

a3T注意：①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。考向开普勒行星运动定律应用1．2023年4月14日我国首颗综合性太阳探测卫星“夸父一号”准实时观测部分数据完成了国内外无差别开放，实现了数据共享，体现了大国担当。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球逆时针运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法中正确的是（）

A．两卫星在图示位置的速度 B．两卫星在A处的万有引力大小相等C．两颗卫星在A或B点处可能相遇 D．两颗卫星的运动周期不相等【答案】A【详解】A.为椭圆轨道的远地点，速度比较小，表示匀速圆周运动的速度，故故A正确；B.由于两卫星的质量未知，所以两卫星在A处的万有引力无法比较，故B错误；CD.椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律可知，两卫星的运动周期相等，则不会相遇，故CD错误。故选A。2．如图所示，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火圆轨道，Q点为近火轨道上的另一点，M点是椭圆轨道的远火点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，下列说法正确的是（）

A．探测器在M点的速度大于在Q点的速度B．探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度相同C．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为8：1D．探测器在椭圆轨道上P点与M点的速度之比为3：1【答案】D【详解】A．假设探测器以半径为椭圆轨道的半长轴做匀速圆周运动，在经M点时的速度要大于在椭圆轨道上经M点时的速度，由；可知探测器在近火圆轨道Q点的速度要大于在圆轨道上M点的速度，因此探测器在椭圆轨道M点的速度小于在Q点的速度，故A错误；B．由万有引力和牛顿第二定律知解得可知探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度大小相等，方向不同，故B错误；C．由题意可知椭圆的半长轴为，根据开普勒第三定律可得则有故C错误；D．设探测器在椭圆轨道上P点速度为vP，在M点的速度为vM，设火星的半径为R，根据开普勒第二定律可得解得故D正确。故选D。考点二万有引力定律的理解和应用知识点1万有引力与重力的关系1．万有引力定律（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。（2）表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。（3）适用条件：①公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。2．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。知识点2星体表面上的重力加速度1.在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。2.在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由，得所以。知识点3万有引力的“两个推论”推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=GM'考向1万有引力与重力的关系1．将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2。已知地球自转周期为T，则该物体的质量为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】设地球质量为M，物体质量为m，在北极万有引力等于重力即等于弹簧秤的示数，有在赤道处，万有引力减去重力的差值提供向心力，所以有，联立解得故选C。2．假设将来的某一天，宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G，在该行星赤道处的重力为0.75G，则此物体在该行星纬度为30°处随行星自转的向心力为（）A．G B．G C．G D．G【答案】C【详解】由万有引力和重力的定义可知，在两极处在赤道上由向心力的公式可知纬度为30°处随行星自转的向心力为联立解得故C正确，ABD错误。故选C。考向2天体不同位置重力加速度3．某实验小组设计了用单摆测量海底深度的实验。在静止于海底的蛟龙号里，测得摆长为l的单摆，完成N次全振动用时为t。设地球为均质球体，半径为R，地球表面的重力加速度大小为。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则下列说法正确的是（）A．此海底处的重力加速度大于地球表面的重力加速度B．此海底处的重力加速度为无穷大C．此海底处的深度为D．此海底处的重力加速度大小为【答案】D【详解】AB．根据万有引力提供重力，则在星球表面化解得已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以此海底处的减小，重力加速度减小，故AB错误；CD．根据单摆周期公式则此海底处的重力加速度大小为所以解得此海底处的深度为故C错误，D正确。故选D。4．地球表面重力加速度的测量在军事及资源探测中具有重要的战略意义，已知地球质量，地球半径R，引力常量G，以下说法正确的是（

）A．若地球自转角速度为，地球赤道处重力加速度的大小为B．若地球自转角速度为，地球两极处重力加速度的大小为C．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心，为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为D．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心、为半径挖一个球形的防空洞，则A处重力加速度变化量的大小为【答案】ABC【详解】AB．在赤道处得出在两极处得出选项AB正确；CD．若忽略地球的自转，以地球表面A点正下方h处的B点为球心为半径挖一个球形的防空洞，该球形防空洞挖掉的质量，A处重力加速度变化是由该球形防空洞引起；选项C正确，D错误。故选ABC。考点三天体质量密度估算知识点1“自力更生”法(g－R)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。知识点2“借助外援”法(T－r)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。考向天体质量密度估算1．科幻电影中提到的“洛希极限”是指当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相等时的距离，已知行星与卫星的洛希极限计算式为，其中k为常数，R为行星半径，ρ1、ρ2分别为行星和卫星的密度，若行星半径R，卫星半径为，且表面重力加速度之比为8:1，则其“洛希极限”为（）A． B． C．6kR D．【答案】A【详解】利用星球表面处物体的重力等于万有引力得星球的密度为则则其“洛希极限”为故选A。2．某同学利用直径为d的不透光圆形纸板估测太阳的密度，如图所示，调整圆纸板到人眼的距离L，使其刚好挡住太阳光，并测出L，已知万有引力常量为G，地球公转周期为T，则太阳密度约为（）

A． B．C． D．【答案】A【详解】令地球到太阳的间距为r，太阳的半径为R，根据几何关系近似有对地球绕太阳公转有太阳的密度为解得故选A。1．（2023年6月浙江高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（

）A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为【答案】D【详解】根据题意可得，木卫3的轨道半径为AB．根据万有引力提供向心力可得木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为,可得木卫一轨道半径为木卫二轨道半径为故AB错误；C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根