工程振动分析与控制基础 第2版 课件 第5章传递矩阵法

《工程振动分析与控制基础》第5章传递矩阵法第5

章传递矩阵法5.1引言5.2向量状态5.3基本单元的传递矩阵5.4系统的固有振动分析5.5系统的稳态响应23145675.1引言

5.1引言

传递矩阵法(TransferMatrixMethod)是伴随计算机的出现和发展而逐步形成并广泛应用的一种工程结构动态分析方法,其基本思想是把一个整体结构系统的力学分析问题转化为若干单元或子结构的“对接”与“传递”的力学分析问题传递矩阵法非常适合进行工程实际中具有链式分布特征的结构系统的振动分析,往往要求采用基于拉格朗日方程的分析力学方法将复杂结构简化为集总参数系统(LumpedParametersSystem),再利用传递矩阵法进行分析和求解21345675.2向量状态5.2向量状态状态向量是描述某一单元端面力学特性的物理量,通常由单元端面内的广义位移(位移、转角)和广义力(力、力矩)组成的一个矩阵向量来表示对于直线振动单元,如离散系统的质量、弹簧和黏性阻尼器单元以及纵向振动杆单元,其状态向量Zi通常由位移xi和力Fi组成如下对于角振动单元,如转动惯量单元、扭转弹簧单元和扭转振动杆单元,其状态向量Zi由转角θi和扭矩TMi组成如下:对于既有直线振动又有角振动的单元,如弯曲振动梁单元,其状态向量Zi分别由位移wi、转角θi、弯矩Mi和剪力Qi组成如下:21345675.3基本单元的传递矩阵

5.3基本单元的传递矩阵-1

一般情况下,质量单元和转动惯量单元左、右两端状态向量常常分别用和表示(当然也可视具体情况用上、下两端的状态向量描述),两者之间的传递矩阵称为点传递矩阵,用表示而其他基本单元(如弹簧、扭簧和黏性阻尼器单元以及纵向振动杆单元、扭转振动杆单元和弯曲振动梁单元等)两端的状态向量之间的传递矩阵通常称为场传递矩阵,用表示

5.3基本单元的传递矩阵-2

1.质量单元对于做简谐振动、质量为m的刚性质量单元,其左右两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的点传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-3

2.转动惯量单元对于做简谐振动、转动惯量为I的纯转动惯量单元,其左右两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的点传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-3

3.弹簧单元对于做简谐振动、刚度为k的弹簧单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的场传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-4

4.扭转弹簧单元对于做简谐振动、抗扭刚度为kt的扭转弹簧单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的场传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-5

5.黏性阻尼器单元对于做简谐振动、阻尼系数为c的黏性阻尼器单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:则该单元的场传递矩阵为:

5.3基本单元的传递矩阵-6

6.纵向震动杆单元对于长度为l、截面面积为A、密度为ρ、弹性模量为E的做简谐振动的纵向振动杆单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程可借助于第4章的式(4-36)及其振型表达式U(x)=C1cos(klx)+C2sin(klx)推导得出7.对于长度为l、截面极惯性矩为Jp、密度为ρ、剪切模量为G的做简谐振动的圆形截面扭转振动杆单元,容易得到其两端状态向量之间的传递矩阵方程如下:

5.3基本单元的传递矩阵-7

6.弯曲振动梁单元对于长度为l、截面积为A、惯性矩为J、密度为ρ、弹性模量为E的做简谐振动的弯曲振动梁单元,其两端状态向量之间的传递矩阵方程可借助于第4章的式(4-53)及其振型表达式W(x)=C1cos(kbx)+C2sin(kbx)+C3ch(kbx)+C4sh(kbx)推导得出,与杆的纵向振动相类似,方程如右图21345675.4系统的固有振动分析5.4.1系统的传递矩形方程设某链式分布系统由n个单元组成,第i个单元的传递矩阵为Ti,系统前端的状态向量为Z0,系统末端的状态向量为Zn,则该系统的传递矩阵方程为:Zn=TnTn-1…Ti…T2T1Z0(5-29)则系统的总传递矩阵为:Ttotal=TnTn-1…Ti…T2T1(5-30)对于由质量单元、弹簧单元和黏性阻尼器单元组成的离散系统,以及纵向振动(或扭转振动)的杆系(或轴系),易知系统的总传递矩阵为2阶方阵(矩阵阶数等于单元的状态向量的行数);而对于弯曲振动的梁系,系统的总传递矩阵则为4阶方阵5.4.2离散系统的固有振动分析对于离散系统(单自由度和多自由度系统),具有两种边界条件,即固定和自由条件,固定端:位移x=0;自由端:力F=0。对于两端固定的离散系统,可以得到如下频率方程:T12(ω)=0(5-31)对于一端固定、另一端自由的离散系统,频率方程如下:1)前端固定、末端自由:T22(ω)=0。2)前端自由、末端固定:T11(ω)=0。(5-33)由上述频率方程,很容易求得系统的固有频率。5.4.3扭转振动轴系的固有振动分析考虑如图5-2所示的扭转振动轴系,它是由n个抗扭刚度kti的无质量杆单元和n+1个转动惯量为Ii的纯转动惯量刚性圆盘组成的链式系统,很容易得到系统的传递矩阵方程如下:

式中：则系统总传递矩阵为:Ttotal=TnTn-1…Ti…T2T1(5-36)5.4.4弯曲振动梁的固有振动分析弯曲振动梁的固有振动分析也同前面的离散系统和扭转轴系一样,也是通过单元矩阵的相乘得到系统的总传递矩阵Ttotal(为4阶方阵),再利用边界条件,从而得到系统的固有频率和模态振型弯曲振动梁的边界条件比较复杂,它有3种边界条件,即固定、简支和自由条件,其中:1)固定端:位移