江苏省常州市金坛区2023～2024学年高二数学上学期期中试题含解析

Page242023年秋学期高二期中质量调研数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：设直线的倾斜角为又直线斜率为，所以，又，所以，故选：C2.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.且【答案】A【解析】【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得.【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得，所以实数m的取值范围为.故选：A3.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m【答案】A【解析】【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．设抛物线标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故选：A.4.已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】设直线与线段交于点，其中，利用斜率公式可求得的取值范围.【详解】设直线与线段交于点，其中，所以，.故选：A.5.17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则为常数.据此推断，此常数的值为（）A.椭圆的离心率 B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比 D.短轴长与长轴长比的平方【答案】D【解析】【分析】特殊化，将P取为椭圆短轴端点.【详解】设椭圆方程为，为上顶点，则为原点.，，则.故选：D.6.已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设椭圆的左焦点为，则由已知条件结合椭圆的性质可得四边形为矩形，得，然后在中，表示出，再利用椭圆的定义列方程化简可求出离心率.【详解】设椭圆的左焦点为，因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，所以，在中，，根据椭圆定义可知：，所以，所以，，所以，所以离心率为故选：B．7.若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.【详解】解：由得，所以直线与半圆有个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经过点时，，当直线与圆相切时，，解得或（舍），由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，故选：B.8.已知实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，当时，其图象不存在，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B.点关于直线的对称点为C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【解析】【分析】A注意垂直于x轴的直线；B由对称点所在直线的斜率与斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C求直线与数轴交点即可求面积；D注意直线也符合要求即可判断.【详解】A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；B：由、中点为且，两点所在直线的斜率为，故与垂直，正确；C：令有，令有，所以围成的三角形的面积是，正确；D：由也过且在x轴和y轴上截距都为0，错误.故选：BC10.已知直线，圆，则（）A.直线恒过定点B.当直线与圆相切时，C.当时，直线被圆截得的弦长为D.当时，直线上存在点，使得以为圆心，为半径的圆与圆相交【答案】ACD【解析】【分析】由直线的方程，直线与圆，圆与圆的位置关系对选项逐一判断，【详解】对于A，方程可化为，由得，故直线恒过定点，故A正确，对于B，当与圆相切时，则圆心到直线距离，解得，故B错误，对于C，当时，直线方程为，圆心到直线距离，则直线被圆截得的弦长为，故C正确，对于D，当时，直线方程为，圆心到直线的距离，则直线上存在点使得以为圆心，为半径的圆与圆相交，故D正确，故选：ACD11.已知点P在圆上，点，，，则（）A. B.当面积最大时，C.当最小时， D.当最大时，【答案】ACD【解析】【分析】根据两点间的距离、三角形的面积、角的大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，则，，，所以，A选项正确.，当，时，面积最大，对应，所以B选项错误.对于CD选项，只需过点的直线与圆相切即可，而，则当与圆相切时，，所以CD选项正确.故选：ACD12.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，化简得曲线.则下列结论正确的是（）A.满足的点P有两个 B.的最小值为2C.的面积大于 D.的最大值为【答案】BD【解析】【分析】对于A选项：由解出即可判断；对于B选项：结合条件利用基本不等式得到即可判断；对于C选项：由面积为即可判断；对于D选项：根据条件得到，从而求得，根据两点间的距离公式和条件得到即可判断.【详解】对于A，由可得：，所以，解得：，代入，则，解得：，所以满足的点P有一个，为，故A错误；对于B，因为，所以，当且仅当，所以B正确；对于C，面积为：，当时，面积的最大值为，故的面积小于等于，C错误；对于D，由题意得：，即，则，解得：，因为，则的取值范围为，所以D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若曲线是双曲线，则其焦距为______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的方程可得，即可求解.【详解】表示双曲线，则，

因此，，故答案为：14.若过点的直线l与圆交于A，B两点，则弦最短时直线l的方程为______.【答案】【解析】【分析】由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果．【详解】由题意可知在圆内，设圆心到直线的距离为，则，故当最大时，弦最短，作出示意图如图所示：故当直线，此时最大，最短时，所以．又，所以，所以的方程为，即．故答案为：15.双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据斜率公式即可结合双曲线的方程求解得，进而可求解.【详解】双曲线的右顶点为，则，又点，均在上，且关于轴对称，设，，又直线，的斜率之积为，则，即，①又，即，②联立①②可得：，即，即．故答案为：16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是______.【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义，都用表示，由，构造齐次式即可求解.【详解】依题得，，又，则，，则，则，即，则，则，即.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知两条直线，.设m为实数，分别根据下列条件求m的值.（1）；（2）直线在x轴与在y轴上截距之积等于.【答案】17.18.或.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合两直线平行的公式，即可求解．（2）根据已知条件，分别令直线中的，结合直线在x轴与在y轴上的截距之积等于，即可求解．【小问1详解】两条直线，，由可得：，所以，解得：或.当时，，此时;当时，，此时重合，．【小问2详解】令中，则，令中，则，直线在x轴与在y轴上的截距之积等于，则，则，化简可得：，解得：或.18.在①焦点到准线的距离是，②准线方程是，③通径的长等于.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在平面直角坐标系中，已知抛物线，______.（1）求抛物线的方程；（2）若过的直线与抛物线相交于点、，求证：是直角三角形.注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，抛物线的方程为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）选①或②，根据抛物线的几何性质求出的值，可得出抛物线的方程；选③，求出抛物线的通径长，可得出的值，即可得出抛物线的方程；（2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出，即可证得结论成立.【小问1详解】解：若选①，则抛物线的焦点到准线的距离，故抛物线的方程为；若选②，抛物线的准线方程为，可得，则，故抛物线的方程为；若选③，将代入抛物线的方程可得，解得，所以，抛物线的通径长为，则，故抛物线的方程为.【小问2详解】解：由题意额可知，直线过点，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，，则，所以，为直角三角形.19.瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，，.（1）求外接圆的方程；（2）求欧拉线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：设外接圆的一般方程，利用待定系数法求得外接圆的一般方程；方法二：求得外接圆的圆心和半径，由此求得外接圆的方程.（2）方法一：先求得三角形重心、外心坐标，从而求得欧拉线；方法二：先求得垂心、外心坐标，从而求得欧拉线.【小问1详解】（方法1）设所求圆的方程为（），因为点，，在所求的圆上，所以，解得.所以外接圆的方程为.（方法2）线段AB的中点为，直线AB的斜率，所以线段AB中垂线的方程为.同理可得，AC中垂线的方程为，由，解得.所以外接圆的圆心为.外接圆的半径.所以外接圆的方程为.【小问2详解】（方法1）因为，，，所以由三角形重心坐标公式，得的重心为，由（1）可知，外心为，所以欧拉线的方程为，即.（方法2）在中，由（1）可知，直线AB的斜率为，直线AC的斜率为1，所以.所以垂心为.由（1）可知，外心为，所以欧拉线的方程为，即.20.如图，已知的圆心在原点，且与直线相切.（1）求的方程；（2）点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B.①求四边形面积的最小值；②求证：直线过定点.【答案】（1）（2）①，②详见解析【解析】【分析】（1）求出圆心到切线的距离得圆半径，从而得圆标准方程；（2）①由勾股定理求得切线长，由求得四边形面积，由此得当最小时，四边形面积最小，从而得结论；②在以为直径的圆上，设点的坐标为，，写出此圆方程，此圆方程与已知圆方程相减得公共弦所在直线方程，由直线方程得定点坐标．【小问1详解】依题意得：圆心到直线的距离，所以，所以的方程为【小问2详解】①连接，∵是圆的两条切线，∴，，所以，当取最小值为时，四边形面积的最小值为.②由①得，在以为直径的圆上，设点的坐标为，，则线段的中点坐标为，∴以为直径的圆的方程为，即，∵为两圆的公共弦，∴由得直线的方程为，，即，则直线恒过定点.21.在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.（1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求M点的坐标，使得的面积最小.【答案】（1），（2）存在或，（3）的坐标是或.【解析】【分析】根据渐近线方程得,点在双曲线上，列出方程组求解即可;（2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论;（3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小