2023届湖南省株洲市二中教育集团高三年级上册1月期末联考数学试题

2023届湖南省株洲市二中教育集团高三上学期1月期末联考数学试题

一、单选题

1.已知全集0=区，集合P={g2},M={小<4},则尸(则=()

A.PB.MC.{x|2<x<4}D.{x|x>4)

【答案】A

【分析】求出。也，从而得到尸出&〃)={小22}=尸.

【详解】=1x|x>4j,)={小22}u{x|xN4}={x|xN2}=P.

故选：A

2.在的二项展开式中，第4项的二项式系数是()

A.56B.-56C.70D.-70

【答案】A

【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.

父

【详解】第4项的二项式系数为C；==x7FxA=56,

3x2

故选：A.

3.在平面直角坐标系xQy中，角。的大小如图所示，则cos2〃+sin2e=()

A.1B.-C.—D.—

31313

【答案】C

2

【分析】先根据三角函数的定义和正切和角公式求出tan6=§,化弦为切，代入求值即可.

【详解】由题图知tan[e+1]=罟吗=5,则tan，=],

I4)l-tan03

cos2+2sin<9cos01+2tan0

所以cos20+sin10=二卫

cos20+sin201+tan201413

9

故选：C

4.等差数列{q}是递增数列，公差为d,前"项和为5"，满足%=3%,下列选项正确的是()

A.d<()B.q>0

C.当〃=5时S,最小D.S”>0时〃的最小值为8

【答案】D

【分析】根据等差数列基本量的计算可得勾=31,进而根据递增即可判断AB,根据（=（"-4）d和

S“=3〃(〃-7)即可判断CD.

【详解】由%=3%得%=3a§=>4+6。=3q+12d=>q=-3d,

由于｛%｝是递增数列，所以d>0,4<。，故A,B错误,

an=q+（〃一l）d=-3d+（〃-1）1=（〃-4）d,由于d>0,

故当〃>4,〃eN*时，。〃=5-4)1>0,当〃=4时，〃〃=0,

当〃<4,〃GN*时，%=（〃-4）d<0,因此当〃=3或〃=4时S”最小，故C错误，

S“=叫+隼电=g〃（〃-7）>0,由于d>0,故解得〃28,故S.>o时”的最小值为8,D正确.

故选：D

5.已知A8为两个随机事件，P（A）,P（B）>0,则“AB相互独立”是“尸（川8）=「缶忸）”的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用独立事件的公式，结合充分条件和必要条件的定义判断.

【详解」当A,8相互独立时，尸（A|B）=q^=1^」=P（A）,

尸（八回一尸（成）.P（A）尸（国

（।P便）一P（B）=P(A),则P(A|B)=7(A庐),故充分;

当P（A|8）=/V同时，因为P（A|B）=镭，可&可=瑞二咎用，

所以黯=窖2，得NAB）-尸（钻）P（B）=P（B）P[AB）,

r\D）1—ryt）j

P（AB）=尸（AB）P（B）+尸⑻P（A耳）=P（A）尸（B）,故必要.

故选：A.

6.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，动点M在C上，圆M的半径为1,过点尸的直线与圆M相

切于点N,则FM.RV的最小值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】利用向量数量积的定义得尸"硒=|版|2=|尸M|2-1,再根据抛物线的定义可得

\FM\=XM+^,进而可求解.

2222

【详解】FMFN3FN|=|FM|-1=(xM+1)-1=(xM+1)-1>1-1=0,

当/=。即点M为坐标原点时，取最小值，

故选:B.

7.已知正数。，b,c满足q=31nl.l,e+1)?=1.6,c=lnl.3,则()

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】先根据对数函数的单调性判断a>c,分别造函数/(外=3皿1+幻->/^石+1和

g(x)=ln(l+x)-Jl+2x+l,利用导数判断函数的单调性，从而得出”>b,c<b,进而求解即可.

【详解】a=lnl.l3=lnl.331>lnl.3=c;6=而-1

构造/(x)=31n(l+x)-Jl+6x+l,x>--,则1(x)=二匕),

6(l+x)Jl+6x

令广⑴二型I巴士5)>0,即/后>I+X解得：0<x<4,

(l+x)Vl+6x

所以函数f。)在(0,4］上单调递增，则/(0.1)>/(0)=0,

即”=31111.1>6=瓜一1,所以“>万，

构造g(x)=ln(l+x)-Jl+2x+l,x>一［,则g，(x)=1+2.J1+A),

2(l+x)Jl+2x

如在芳&wo,即加%4(l+x),解得：x>-\,

(l+x)Jl+2x2

所以函数g(x)在(-；收)上单调递减，则0=g(0)>gQ3),

BPlnl.3-VL6+l<0,所以c<6,

综上可知：c<b<a,

故选：B.

8.已知定义域为R的函数f(x),g(x)满足〃x+兀)=-/(工)，且g(x)=cosx+〃x+兀)，

7T

/(x)=sinx-g(x+7t),则当xe0,-时，函数y=/(x)g(x)的最小值为()

A.0B.2

C26-3D2五-3

'-4-'-8-

【答案】A

【分析】利用g(x)=cosx-/(x)、g(x+7T)=-cosx+/(x)njf#f(x)=sinX+cosx-f(x),

从而求出f(x)、g(x)的解析式，再由二倍角公式和余弦函数的性质可得答案.

【详解】g(x)=cosx—/(x),

g(x+7t)=cos(x+7l)-/'(x+7r)=-cosx+/(x),

所以f(x)=sinx+cosx-7(x),

〃/、sinx+cosx、cosx-sinA:

得f(x)=--------——，g(zx)=-------——，

m、i//、/、cos2x-sin2x1,_八兀

所以y=/(x)g(x)=------------------=-cos2x,xG0,—,

44L4_

所以()4cos2xVl,04/(x)g(x)<!,

4

得y=/(x)g(x)的最小值为0.

故选：A.

二、多选题

9.下列说法中正确的是()

A.一组数据3,5,8,9,12,13,15,20,22,30的上四分位数为15

B.若随机变量N(3Q2),且P©>7)=0.21,,贝lJP(-lvJ<7)=0.58

C.已知数据X:%，w，，/，数据y：4x「l,49-l,,4x„-l,则数据y的标准差是数据X标准差的

4倍

D.对具有线性相关关系的变量乂入其线性回归方程为5=3X-4,,若一个样本点为(肛2),则实数

m=2

【答案】BC

【分析】根据上四分位数的概念可判断选项A；根据正态分布曲线的性质可判断选项B；利用标准

差的运算性质可判断选项C;利用线性回归直线的性质可判断选项D.

【详解】对于A,由上四分位数的概念可知：数据3,5,8,9,12,13,15,20,22,30的上四分

位数为20,故选项A错误；

对于B,因为随机变量N(3Q2),图象关于x=3对称，又P©>7)=0.21,

所以P(-l＜小＜7)=1-0.21x2=0.58,故选项B正确;

对于C,设数据X:%,七,,x,的标准差为则数据卜：4%-1,4%-1,,,4乙-1的标准差为4b,所

以选项C正确;

对于D,因为样本点不一定在线性回归直线上，所以机不一定是2,故选项D错误,

故选：BC.

10.设函数/(x)=6sin£yxcos0x-gcos2s,iy>O,则下列结论正确的是()

TTTT

A.Voe(0,l)J(x)在一二,丁上单调递增：

B.若°=1且=则1-同1n=7；

C.若|f(x)|=l在［0,可上有且仅有2个不同的解，则。的取值范围为3cq,。

D.存在©€(0,1),使得f(x)的图象向左平移二TT个单位长度后得到函数g(x)为奇函数.

【答案】AD

【分析】由〃x)=sin(20x-2)选项A：利用正弦函数的性质判断；选项B：利用正弦函数的性

质判断；选项C：利用正弦函数的图象判断；选项D：利用三角函数的图象变换判断.

【详解】〃x)=>/5sin0xcos<wx-gcos20x=sin(20x-?),

、“工「力■乃］/口c乃「G71CD71

选项A：XG,得2G，

_o4J6［_362o

CD71CD47「乃万

因为©e(0,l),有-—7C------,—7t--(♦I——,

3626」L22

7ETT

所以DG£(O/),/(X)在ZZ上单调递增；故A正确;

选项B：依⑷―〃毛)|=2,可知卜-X2L=T=］，故B错误;

选项C：已矢口x£［。,句，得26yx----£-----、2co7i-----

666

若

sinf2tyx-^-1有且仅有2个不同的解，如图所示:

3715

可得二4K2。乃---〈二),解得，故C错误;

2621o43

乃./入(0717t

选项D：g(x)=sin2。x+-=sin2s+----------

I66I36

可知当0=；时.，满足g(x)为奇函数，故D正确;

故选：AD.

11.已知点4(-2,0),8(2,0),N(0,-&)动点M满足直线4M和8M的斜率之积为记点M的轨

迹为曲线C,过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点尸在第一象限，PE_Lx轴，垂足为E,连接QE

并延长交C于点G,则()

A.曲线C的方程为：江+$=1B.PQG为直角三角形

42

C.AP/W面积最大值为2D.PQG面积最大值为华

【答案】BD

【分析】对A,设M(x,y),由直线A"和的斜率之积为-g列式得方程；

221

对B,设。(々,几)，G(XQJ,得kpQ=2kQ£,结合点在椭圆上求得勺°七.=』曰=一:，即可证

玉一刀02

kGp-kPQ=~｝；

对C,求出与直线AN平行且与曲线C相切且切点在第一象限的切线方程，结合点线距离求得最大面

积;

对D,直线PQ的方程为y=^(A>0),联立抛物线方程解得P点坐标，即可求直线PG方程，结合

韦达定理及铅锤法得%伽=3%|(与+%),最后讨论最大值.

【详解】对A：设M(x,y),则三.三=_2化简得：工+f=l(xN±2),故A错误；

x+2x-2242

对B：设。(%,%),G&,y30),贝1%2=?=%>0，

2

kk--+%/一%一—

X|+%x,-x0x,-

七尸.原O=T，NQPG=90。，故B正确;

对C：与直线AN平行且与曲线C相切且切点在第一象限的切线方程为>=-等x+〃?(m>0),

y=----x+〃？

2

联立2:得/-0mx+7??-2=0,由D=2m~-4/-2)=0得加=2,

工+匕=1

42

|2血+4|(2+6"

.••切线为丫=-孝工+2,两平行直线的距离为"二

|'+223

此时AAAm积最大，最大值为9卡x(2+也娓=2+五,故c错误;

3

2

工。J2-+1

y=kx

对D：设直线PQ得方程为'=依依>0),解得

x2+2y2=4"2k

%=I)=

J2k2+1

则直线PG：y=一；(工一工0)+%=一：/+忆J/，

联立直线PG与曲线C的方程可得(2+公卜2-4%H2+1卜+2石优+1)2-4=0,则

4%(公+1)

S…)=(舄渡叫

k+i

,Q_8-82B

即-9

令y7?2,则一五%一二7亍，一

k"+五2/fe2

递增，故y=2f+尹24+(2=09

S

即“8-2仆2-9，当且仅当Z=1时等号成立，故D正确,

2t

故选：BD

12.已知数列｛q｝满足4=1,4=1,〃用%2+。向=〃,("•),数列｛%｝前〃项和为5“，则下列叙述

正确的有()

B.曝<表

A.an+l-an<0

D.S„<n

【答案】ABD

【分析】根据数列的作差，放缩，累加，等方法即可求解.

,11

【详解】6=1，—=—+《,，，

M+ia„

又q=1>o,

归纳可得4>0,

故选项A正确;

。“＞。词，数列｛4,｝单调递减，

当n=\时，£=1；

当n>2时，S4=4+2+L+。〃<4+4+L+q=〃.故选项D正确;

Q一二一+〃〃

%4

2cl1r

=6FN+24-->—+2,

4%

11「

--N>2,,

*an

/.-r->2,n—1,

%

1

2cLIr

=Cln+2+—<—+3，

a

n4

11-11

~--r<3,L—一—<3,

4a2%《I

/.-y<3n—2

可’

1

：q>诟h

所以当〃N2时，

.]]

"j3〃-2<a"<J2〃-1

故选项C错误；

1

<一故选项B正确;

63

故选：ABD.

三、填空题

13.若2=尹翳■为纯虚数，则复数z的虚部为__________.

1-21

【答案】1

【分析】利用复数的除法运算化简Z,再由纯虚数的定义可得加，再代入Z计算可得答案.

2+mi(2+mi)(l+2i)2-2〃2+(4+〃2)i

【详解】

l-2i-(l-2i)(l+2i)-

因为纯虚数，所以2-2/%=0,且4+加工0,解得6=1,

2+2+i.1.—、，

得z=-~~—=1,所以虚部为1.

1-211-21

故答案为：1.

14.在正三棱锥A-3CD中，AB=2BC=4,E为5c中点，则异面直线A3与OE所成角的余弦值

为—.

【答案】2

12

【分析】根据向量的夹角即可求解异面直线48与OE所成角的余弦值.

【详解】在中，cosABAC=A8+AC~~8C~16+16-47

2ABAC~^2~-8

1I-|21

ABDE=AB\AE-AD)=AB--\AB\+-ABAC-ABAD

2l।2

=』A8『」AB.AC=8-7=1,

2l।2

由A8=4,OE=>A,

所以cos(A氏OE)=—1=即异面直线AB与。E所成角的余弦值为由.

\/1212

故答案为：B

12

己知双曲线c：］-/

15.=l(a>o,b>0)的焦距为2c,过C的右焦点下的直线/与C的两条渐近线分

别交于A3两点，0为坐标原点，若6=ccosNAR9且FB=3E4,则C的渐近线方程为.

【答案】y=+42x

【分析】根据题设条件确定AB进而可确定|。4|=々|必|=。，从而在直角AAOB中,

tanNAOB=tan(兀-2a)=一，结合正切的二倍角公式求解.

【详解】因为尸3=3必，画出示意图如图，设NAQF=a,

因为力=ccos/AFO,则cosN4FO=2,

c

所以sin2ZAFO=4，则sinZAFO=-,

cC

所以tanNA尸0=旦.又tana=2,所以NAR7+a=工，

ba2

所以A8_LOA,根据sinNAFO=U4=q,cosNAFO=1^4=2,

cccc

所以|。4|=旬网”.又因为必=3必，

所以|AB|=2b.在直角中，tanZAOB=tan(it-2a)=—,

2h

所以tan2a=-竺=-Jtan：=^.,化简得：2r=2,所以心也，

al-tan~ab~a~a

[2

a~

则渐近线方程为：y=±&,

故答案为：y=+y[lx.

16.己知函数/(x)的导函数，(x)满足：/'(%)-/(%)=e2\且"0)=2,当xw(0,+8)时，

x(f(x)-a)>l+Inx+xev恒成立，则实数。的取值范围是.

【答案】(—,2]

【分析】注意到(§)=生苧3,所以可设g(x)=?t进而得到〃x)=e2，+e',参变分

自“日’疣2'—1-Inxe2'1,1x—1-Inx.///、c

离得aW-----------=-------------=h(x),所以。=2

XX

【详解】设g(x)="t则g，(x)/，⑺丁⑺=Je，,故g(x)=e'+c,

eee

贝IJ/(M=(e'+c)e",又因为/(0)=2,即l+c=2,所以c=l,/(x)=(e'+l)e'=e2v+e',又因为

x(f(x)—iz)>1+Inx+xex恒成立,

即Me2"-〃)Nl+lnx,因为X£(0,+oo),

参变分离得a<2-ix=”'TTnx在^似内)上恒成立，

xx

其中e2Al"*z2x+Inx+l,

理由如下：构造*(x)=e"-x-l,则d(x)=e*-l,令”("=0得：工=0,当x>0得:夕'(x)>0,

当xvO得：”(x)<0,故*(x)在x=0处取得极小值,也是最小值，8(上夕(0)=0,从而得证.

故U-*2x+lnx+L=2,故。42,实数a的取值范围为(—,2]

XX

故答案为：(-°o,2]

【点睛】①含参不等式经常考虑参变分离的方法；

②熟悉常用结论：(与]J(x)jf(x),e、2x+l;

③观察函数的形式，渗透同构的思想.

四、解答题

17.已知数列｛,%,｝满足q=14向一4=行-7"-1；

⑴求证：｛对-，｝为等差数列；

⑵令［=(q-?•(”-1),求数列匕｝的前〃项和S..

【答案】(1)证明见解析

⑵5“=1一(〃+1)/

【分析】(1)将题中递推公式整理变形可得：^--^=an~+-,进而证明；

(2)结合(1)的结论得出：*=寸，利用错位相减法即可求解.

【详解】⑴由「一耳=冒，可得%「向=%-崇+5

因此14-，｝为等差数列，且公差为

⑵又因为《一3=；,所以,所以C"=(%-'("-1)=今」

印、(11cli1n-11n+\

所以卜万尸“=梦+牙++牙-亍7r=/一矛7r

得S,=l—(〃+畤

18.在11ABe中，角A8,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,a(cosC-2cosB)=(2Z>-c)cosA,

(1)证明：b=2a

(2)若A=2C,求ABC的周长.

【答案】(1)证明见解析

⑵2+26

【分析】(1)由已知条件结合正弦定理可得sin(A+C)=2sin(A+B),则sin8=2sinC,再由正弦定

理可证得结论；

(2)由已知得B=TT—3C,再结正弦定理和8=2c可得sin3c=2sinC,化简后可得cosC=且，再

2

求出sinC,然后由sinB=2sinC可求出3,从而可判断，ABC为直角三角形，进而可求得,A8C的

周长.

【详解】(1)

tz(cosC-2cosB)=cosA(2b-c),

所以由正弦定理得sinACOSC-FCOSAsinC=2（sinAcosB+cosAsinB）,

即sin（A+C）=2sin（A+B）,

所以sin5=2sinC,

所以由正弦定理得人=2c,

（2）由A=2C,可得3=兀一3C,

由正弦定理得上b-二e-^,即「一2c彳广一c

sinBsinCsm（兀一3C）sinC

所以sin3c=2sinC,化简得sinCeos2C+2cos?CsinC=2sinC,

因为sinCwO,所以化简得cos2c=3,

4

因为。=2c,所以4>C,所以cos。二走，

2

所以sinC=Jl-cos?C=./I--=—>

V42

所以sin3=2sinC=1,

所以8==,C==,A=S，为直角三角形,

263

因为。=2,

2_b_c

所以由正弦定理得。

sin一sin一sm

326

而“2石,4G

所以c=------,b=------,

33

所以ABC的周长为2+26.

19.图1是直角梯形A8C£>,AB//CD,?D90?,四边形ABCE是边长为4的菱形，并且/8CE=60。,

以8E为折痕将.8CE折起，使点C到达G的位置，且4£=2几，如图2.

⑴求证：平面8CEJ.平面A8ED；

(2)在棱。q上是否存在点P,使得P到平面ABC,的距离为平?若存在，求出直线EP与平面ABC,

所成角的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)存在，直线砂与平面A8a所成角的正弦值为巫

5

【分析】(1)作出辅助线，得到AFLBE,qFA.BE,且AF=C/=2g,由勾股定理逆定理求出

AF±CtF,从而证明出线面垂直，面面垂直;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点P的坐标，从而得到线面角.

【详解】(1)取8E的中点F,连接AF,C,F,

因为四边形A8CE是边长为4的菱形，并且/BCE=60。，

所以ABE,BEG均为等边三角形，

故C,FLBE,且AF=C/=2且，

因为A£=2后，所以AU+C/=ACj，

由勾股定理逆定理得：AFA.QF,

又因为AFcBE=F,AF,BEu平面A8E,

所以GF，平面ABED,

因为C/u平面BEC-

所以平面BJE±平面ABED；

(2)以F为坐标原点，以所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直

角坐标系，

则尸(0,0,0),碓百,0,0),8(0,2,0),G(0,0,2@,“6,-3,0),E(0,-2,0),

设尸(机〃,r),DP=ADCt,2e[0,l],

故(加一6,〃+3,。=4-百,3,26),

解得：m=>/3—yfiA,n=3A,-3,t=2y/3A1

故P(6-&,3"3,2&),

设平面ABC的法向量为u=(x,y,z),

则AB=(-26,2,0),4G=卜26,0,26),

卜.AB=(x,y,z).(-2G,2,0)=-2A/Ix+2y=0

故<,

v-AC1=(x,y,z).卜2石,0,26)=-2石1+26z=0

令％=1,则丁=石,z=l,故〃=0,6,1),

其中C/=(出一643；1-3,26；1-2月)

|c,P-v||(^->/32,32-3,-2^)-(1,5/3,1)|2屈

则〃=

HJ1+3+1.5

13

解得：石5或5(舍去),

则砂=傍,-|,6-(0,-2,0)=

设直线EP与平面A8G所成角为凡

则sin3=|cos(EP,v)|==l：，2'可"R=叵,

网H后密5

直线EP与平面ABC,所成角的正弦值为半.

20.某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，

每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五

天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为R,后两天每天出现风雨天气的概率均为且

199

这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为丽.

(1)求该社区能举行4场音乐会的概率；

(2)求该社区举行音乐会场数X的分布列和数学期望E(X).

【答案】⑴蒜

(2)分布列见解析，1.9

【分析】(1)由题意先求出化，由相互独立事件的乘法公式即可求出答案；

(2)求出X的可能取值和每个X对应的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出E(X).

111QQJ

【详解】(1)由已知可得，P,2=-.解得四=5,又1一(1一回)3(1-。2)2=黑，解得

设A,(i=1,2,3,4,5)表示第i天可以举行音乐会，8表示该社区能举行4场音乐会

则P(B)=2@4444+A用44A+AAAAA+AA2A*+AAAAA)

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5

「(x=o)=(m枭

所以X的分布列为

X012345

16567343111

P

200200200200200200

从而数学期望为：

21.已知椭圆C:£+4=l(a>6>0)的左、右焦点分别为片，耳，且离心率为椭圆C的长轴长为4.

ah~2

(1)求椭圆c的标准方程；

⑵设4B分别为椭圆的左、右顶点，过点B作X轴的垂线乙，。为4上异于点B的一点，以线段3。为

直径作圆E,若过点尸z的直线4(异于》轴)与圆E相切于点”，且6与直线相交于点尸，试判

断归周+归〃|是否为定值，并说明理由.

V22

【答案】⑴工+上v=1

43

(2)是定值，理由见解析

【分析】(1)根据椭圆的几何关系，定义，离心率代入即可求解；(2)点到直线的距离公式，轨迹

方程，和椭圆的定义即可求解.

C_1

~a~2

【详解】(1)由题意可知：2。=4,

a2=b2+c2

解得a=2,c=l,b=\/3，

则椭圆c的标准方程为二+.=1.

由(1)可知A(—2,0),8(2,0),6(1,0)花川=医邳=1,

则图+|尸冏=|尸制+|质卜内川=伊凰+|尸鸟|-1,

设点E(2,，小(〃冲0),则。(2,2加),圆£的半径为何|,

则直线AD直线方程为y=£(x+2),

设4的方程为x=)+l，

则|2碗忆网,

Vl+r

—rza1-m"

可得f=-----

2m

"1/

y=3（x+2）

6-2m26m）

联立,，nP3+病’3+M卜

1一"1

X=-------V+1

2m

所以点P的轨迹方程为三+亡=1,

43

则|p制+|n?|=|「国+忸闻一向M=VK+|p国-i=4-i=3为定值.

In丫

22.已知函数f(x)=ae-'+——.

x

⑴若X=1是〃x)的极值点，求°；

(2)若％,玉分别是F(x)的零点和极值点，证明下面①，②中的一个.

①当a>()时，Inx,<%0-x0+l；②当a<0时，lnX1<2x()-l.

注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(l)a=e

(2)证明见解析.

【分析】(1)对函数进行求导，由x=l是函数/(x)的极值点，则/⑴=0,即可得a=e,然后将a=e

带入原函数进行分析说明即可；

(2)选择①因为七,为分别为“X)的零点和极值点，所以/g)=0,,;(占)=0,分别求出”的值，

找出等量关系式，然后根据4>0,对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时

结合已知的条件即可得In*v片-%+1；

选择②因为七,不分别为〃x)的零点和极值点，所以〃/)=0,,/(再)=0,分别求出。的值，找出等

量关系式，然后根据a<0,对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结合已

知的条件即可得In%<2%-1；

【详解】(1)因为f(x)=aef+处，所以((x)=-ae-'+二三,

XX

若x=l是函数，(x)的极值点，则/'(1)=0,f'(y)=-ae-'+^-=0,即a=e,

此时/(x)Jx：；Tnx,

设g(x)=l-x%i-lnx,则g'(x)=-2xei+x2ei-L,g'⑴=-2,

X

所以存在使得当时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当时，尸(幻=警>季=0,/(x)单调递增，当xe(l,〃)时，/(》)=等〈季=0,/5)

单调递减，

所以当a=e时，x=l是/(x)的极值点.

(2)选择①：

因为不，不分别为的零点和极值点，所以/(%)=cd"+屿=0,。=-1龙M，

与X。

x,v,

,，/、-A.1-lnx,e(1-ln^)e(lnx,-l)e”n/

/(x,)=-4zeA,+—1=0,4=-J~”,所以一。=—^―!—乙=-----

不玉玉X。

当。>0时，-0n_：=-In<0,则In/<0/11玉<1,即。</<1,0<玉<e,

%元。

333

因为看一不()+12「所以当ln%<“即0<王</时，In芯<X；-改)+1成立，

当e；4菁■<e时，若不"©/，则只需证明ln%()<玉;—玉)，

设-幻=」_^_L,则《(幻=」----------------L、

XX

设K(x)=xlnx-21nx-x+3,

22

则《(X)=lnx——为增函数，且R⑴=—2<0,《(e)=1——>0,

xe

2

所以存在唯一马£