2023-2024学年山东省枣庄市滕州市张汪中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市张汪中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如果方程Q%2++c=O（QH0）,α+c=6,那么方程必有一个根为（）

A.%=1B.%=-1C.%=0D.%=2

2.如果关于％的一元二次方程依2一6%+9=0有两个不相等的实数根，那么A的取值范围是

（）

A.k<1B.k≠0C.k<1且/c≠0D./c>1

3.用配方法解一元二次方程/-8x+2=0,此方程可化为的正确形式是（）

A.（%-4）2=14B.（%-4）2=18C.（%+4）2=14D.（%+4）2=18

4.已知关于％的一元二次方程/+3%+1=0有两根为久1和冷，则％1&+%1+%2的值是（）

5.如图，在矩形纸片48CD中，AB=5,BC=3,将ABCD沿BD折D

叠到aBED位置，DE交AB于点、F,则OF的值为（）

「15

.17

6.如图，在矩形ZBCO中，48=6,BC=8,对角线4C,80相B

交于点0,E为。。的中点，连接AE,则AAED的面积为（）

A.6

C.12

D.24

7.已知多项式M团》2—3%—2,N=——Q%+3下列说法正确的个数为（）

①若M=O,则代数式*fzτ的值为冬

②当α=-3时，代数式M-N的最小值为一14；

③当a=3时，若IM—2N+2∣+∣M—2N+15∣=13,则X的取值范围是一(<x<2.

A.O个B.1个C.2个D.3个

8.一个菱形的边长为5,一条对角线长是6,则该菱形的面积为()

A.8B.12C.16D.24

9.某商品原价121元，连续两次降价α%后售价为100元，下列所列方程正确的是()

A.121(1+a%)2=IOOB.121(1-α%)2=IOO

C.121(1-2α%)=IOOD.121(1-α2%)=IOO

10.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE,

BE与ZC相交于点M,则下列结论中：

(T)BM=DMi

②NBEC=∆MDC=15°;

③44MD的度数是75。；

（4）∆AMBmAAMD=ΔEMD.

正确的有个.()

A.1B.2C.3D.4

11.现定义运算“回”：对于任意实数a、b,都有a团6=-2a+b,如3回4=3?—2x3+

4,若X国3=6,则实数X的值为()

A.3或一1B.一3或1C.+2y∏D.±3

12.关于X的一元二次方程(a-1)/+X+a?+3a-4=O有一个实数根是X=0,则a的值

为()

A.1或一4B.1C.-4D.-1或4

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

13.已知关于X的方程/+nχ-jπ=O的两个根是O和一2,则τn+n的值为.

14.若关于X的方程0-4)/"1-2|+2万-5=0是一元二次方程，则m=.

15.如图，在菱形ABC。中，AB=5,ZB：NBCO=I:2,则对角线AC等于.

B

16.如图，。是矩形力BCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若

AB=5,AD=12,则四边形ABoM的周长为.

17.某工程队计划将一块长64m,宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三

条宽相等的小路，其余区域进行绿化.若使绿化区域的面积为广场总面积的80%,求小路的

宽.设小路的宽为Xm，则可列方程

18.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，过点。作DHlAB于点H,连接。若

OA=5,OH=3,则菱形ZBCD的面积为

D

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题12.0分）

计算：

（1）2（久一1）2=18；

（2）x2-4x-3=0（配方法）；

(3)2x2-2√^2x+1=O:

(4)x(2x-5)=4x-10.

20.(本小题8.0分)

已知关于X的一元二次方程/-(m+2)X+2m=0.

(1)求证：不论Tn为何值，该方程总有两个实数根；

(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.

21.(本小题8.0分)

如图，在矩形48C。中，对角线4C,BD相交于点0,分别过点4,C作AE1B。于点E,CF1BD

于点尸，连接4F,CE.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形;

(2)若4B=1,BE=E0,求BC的长.

22.(本小题8.0分)

已知：如图，在菱形ABCD中，点E,0,F分别为ZB,AC,AD的中点，连接CE,CF,OE,

OF.

(1)求证：△BCE=ΔDCF；

(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEoF是正方形？请说明理由.

σ

B

23.(本小题12.0分)

某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元,

经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价χ(元)之间符合一次函数y=-2x+

140的关系.

(1)当每件售价35元时，每天的利润是多少元？

(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

(3)该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由.

24.(本小题12.0分)

已知正方形4BCD,点E,尸分别在边BC,CDl..

(1)如图1,过点4作？IGIaF交CB的延长线于点G,AE平分NBAF交BC于点E.

①求证：Δτ4DF≤ΔTlfiGi

②试判断4F,DF,BE之间的数量关系，并说明理由.

(2)如图2,若NEaF=ZCEF=45。，直线EF与4B,AD的延长线分别交于点M,N,求证：

EF2=ME2+NF2.

M

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：丫α-b+c=0,且当X=-I时，α-b+c=0,

即：α+c=b,

二乂=一1是原方程的一个根.

故选：B.

根据题意知，当X=-I时，α-b+c=O,即：α+c=b,由此可以判定X=-I是原方程的一个

根.

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，

就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

2.【答案】C

【解析】解：由题意知：k≠0,∆=36-36/c>0,

：.k<1且k≠0.

故选：C.

方程有两个不相等的实数根，则△>(),由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围.

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)∆>00方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0=方程有两个相等的实数根；

(3)Δ<0=方程没有实数根.

注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：X2-8X+2=0,

X2—Sx=-2,

X2—8%+16=-2+16,

(x-4)2=14,

故选：A.

移项，配方，即可得出选项.

本题考查了配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键.

4.【答案】B

=-

【解析】解：由题意知，x1+X23,X1X2=1»

—

：•X1X2+Xi+%2=13=—2,

故选：B.

由题意知，Xl+%2=-3，%1%2=1，代入求解即可.

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值.解题的关键在于熟练掌握：一元二次

方程α%2+b%+C=O的两根为%］和%2，则%1+%2=-，xlx2=^∙

5.【答案】B

【解析】解：・・•四边形/8CO是矩形，48=5,BC=3,

・•・乙4=90o,ABIlCD,AD=BC=3,

：■Z.ABD=乙CDB,

由折叠得NEDB=Z.CDB,

・•・Z-ABD=Z-EDB,

・・・DF=BF,

・・•40+4尸=OF2,AF=S-BF=5-DF,

Λ32+(5-DF)=DF2,

解得OF=y,

故选:B.

由矩形的性质得乙4=90。,AB//CD,AD=BC=3,则乙4BD=乙CDB,由折叠得NEDB=乙CDB,

所以乙4BD=NEDB,则DF=B尸，由勾股定理得32+(5-DF)=DF则。/?=?,于是得到问

题的答案.

此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，证明。尸=B尸是

解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解:过点A作AFlBD于F,

.∙.BD=AC=√AB2+BC2=10,

•••对角线4C,BO相交于点0,

1

ΛOB=OD=^BD=5,

,：E为。。的中点，

1

.∙.DE=^OD=2.5,

11

,：SXABD-2AB'AD=2BDaf

AB-AD6×8

MF=-^-=B=*8

-11

∙∙.∆AE。的面积为於E∙4F='X2.5X4.8=6

故选：A.

过点4作AFJ_BD于F,根据勾股定理求出BO=AC=10,得到DE的长度，利用面积法求出4户即

可.

此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确掌握矩形的性质及利用面积法求出AF是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：①•：M=0,

.,.X2—3x—2=0.

解得：X=哼Z或X=匕#,

∙∙∙13X=理驾，

V%2—3x—2=0,

.∙.X2—3x-1=1,

13%4o39±13∖Γ17

...再QT=I3χ=―-一，

故①是错误的，不符合题意；

②当α=-3时,

M-N=(x2—3%—2)—(x2+3x÷3)

=—6x—5,

・•・M-N没有最小值，

故②是错误的，不符合题意；

③当Q=3时，N=/—3%+3,

.,.M—2/V=X2—3%—2—2(%2—3%+3)=-X2+3%—8,

・・・∣M-2N+2∣+∣M-2N+15|=13,

**•一15≤-%2+3%—8≤—2,

令y=-X2+3%-8=_(X-1)2-y,

•・∙-1<0,

∙,∙y有最大值—学,

4

∙∙T5<T23-2,

当—%2+3%—8——15时,

解得巧3-√373+√^37

Λ-X2+3x-8≥—15的解集为上穿≤χ≤上产，

即当IM-2N+2∖+∖M-2N+15|=13时，则X的取值范围是上产≤x≤咨卫.

故③错误，不符合题意•.

故选：A.

①根据一一3x-2=0,解方程求得X的值后求出代数式遥占的值即可;

②当α=-3时，求出M-N关于久的解析式是一次函数，故可判断②；

③当a=3时求出M-2N,再根据绝对值的意义得出.∙・-15≤-x2+3x-8≤-2,再根据二次函

数的性质求出尤的取值范围.

本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法.

8.【答案】D

【解析】解：如图，当BD=6时,

•・・四边形ABCD是菱形，

AC±BD,AO=CO,BO=DO=3,

•：AB=5,

.∙.AO=√AB2-BO2=√25-9=4.

AC=8,

菱形的面积是：6×8÷2=24,

故选：D.

根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求

得菱形的面积.

本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积

的一半.

9.【答案】B

【解析】解：根据题意可得，

100(1-α%)2=121,

故选:B.

根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于α的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

10.【答案】C

【解析】解：•••四边形ABCD为正方形，AC为对角线，

.∙.BC=DC,4BCA=∆DCA=450,BC=DC,4BCD=90°,

在4BCM和必DCM中，

BC=DC

LBCA=∆DCA=45°,

.CM=CM

.∙∙∆βCΛf≤ΔDCM(SAS),

・•.BM=DM,故结论①正确；

•・•△CDE为等边三角形，

Λ∆DCE=60o,DC=CE,

・•・BC=CE9

・•・乙BEC=∆EBC,

•・・Z,BCE=乙BCD+∆DCE=90°+60°=150°,

4BEC=乙EBC=1(180°-乙BCE)=15°,

•・•△BCM=LDCM,

・・・乙MBC=AMDC9

即：∆BEC=∆MDC=15°；故结论②正确；

V乙MDC=150,∆DCA=45°

.∙.∆AMD=∆MDC+∆DCA=60°,故结论③不正确；

在和△力MD中，

AB=AD

∆BAM=Z-DAM=45°,

AM=AM

・•・△ZMBwZi4MD(SylS),

•・・四边形4BC。为正方形，ACDE为等边三角形,

・・・AD=ED,∆ADC=90°,乙EDC=60°,

・・・∆MDC=15°,

・・・∆ADM=∆ADC-Z-MDC=75°,乙EDM=4MDC+乙EDC=75°,

・・・Z.ADM=∆EDM=75°,

在△AMD和AEMO中，

AD=ED

∆ADM=乙EDM=75°,

DM=DM

•••△AMD*EMD(SAS),

AMD≡AEMD9故结论④正确，

综上所述：正确的结论是①②④，共有3个.

故选：C.

根据正方形的性质得：BC=OC,(BCA=∆DCA=45°,依据“S4S”可判定△BCM和^DCM全

等，从而可以结论①进行判定；

根据等边三角形和正方形的性质可证4BEC=乙EBC,Z.BCE=150°,据此可求出NBEC=15°,

再根据ABCM和小DCM全等得：乙MBC=ZMDC,据此可对结论②进行判定；

由/MOC=15。，4。以=45。可求出乙4MD的度数，据此可对结论③进行判定；

由力B=AD,∆BAM=Z.DAM=45。可依据“SAS”判定△AMB和△AMD全等，由TW=ED,

ΛADM=乙EDM=75。可依据“SAS”判定△力MD和4EMD全等，据此可对结论④进行判定.

此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解答此题的关

键是熟练掌握全等三角形的判定，理解正方形和等边三角形的性质.

11.【答案】A

【解析】解：•••对于任意实数a、b,都有aElb=a2-2a+b,如3El4=3?-2x3+4,

.,.X03=X2—2%+3,

∙.∙%03=6,

X2—2x+3=6,

.∙.x2—2x—3=0

∙*∙X]=­1,%2=3.

故选：A.

首先根据新定义有aElb=a?-2a+b把X团3=6转化为/一2x+3=6,然后利用因式分解法

解一元二次方程即可.

本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a团b=a?一

2a+b,此题难度不大.

12.【答案】C

【解析1解：(l);x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得a2+3a-4=0,解此

方程得到%=-4,a2=1；

(2)：原方程是一元二次方程，；.二次项系数。一1彳0,即aκl;

综合上述两个条件，a=-4,

故选：C.

本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解.

本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a-1≠0,

因此在解题时要重视解题思路的逆向分析.

13.【答案】2

【解析】解：・.・关于％的方程公+以--=。的两个根是O和-2,

(-m=O

*'((-2)2+(—2)∙n—m=0,

解得:{;二；，

.∙.m+n=2,

故答案为：2.

根据一元二次方程解的定义，将两个根是O和-2代入关于X的方程M+砂-巾=O中，可得到关

于n、山的二元一次方程组，解之即可解答.

本题考查了一元二次方程的解，根据定义得出二元一次方程组是解题的关键.

14.【答案】O

【解析】解：•••方程On-4)x∣m-2∣+3%+5=O是一元二次方程，

(m—4≠O

[∖m-2∖=2,

解得m=0.

故答案为：0.

根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；

含有一个未知数，可得答案.

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，

然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

15.【答案】5

【解析】解：•：四边形ABCD是菱形，

•••乙B+乙BCD=180o,AB=BC,

Z.B：乙BCD=1：2,

.∙.NB=180o×i=60°,

：.△ABC是等边三角形，

.∙.AB=BC=AC=5.

故答案为:5.

根据题意可得出ZB=60。，结合菱形的性质可得BA=BC,判断出△4BC是等边三角形，即可得

到AC的长.

此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△力BC是等边三角形

是解答本题的关键.

16.【答案】20

【解析】解：∙∙∙O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，

1I

.∙.OM=；CD=^AB=2.5,

VAB=5,AD=12,

.∙.AC=√52+122=13.

•••。是矩形ABCD的对角线AC的中点，

.∙.BO=^AC=6.5,

二四边形48。M的周长为4B+AM+8。+OM=5+6+6.5+2.5=20,

故答案为：20.

根据题意可知OM是AADC的中位线，所以OM的长可求：根据勾股定理可求出AC的长，利用直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出Bo的长，进而求出四边形ZBOM的周长.

本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这

一性质，题目的综合性很好，难度不大.

17.【答案】(64-2x)(40-x)=64×40×80%

【解析】解：设小路的宽为X米，则绿化区域的长为(64-2x)米，宽为(40-x)米，

根据题意得，(64-2x)(4O-X)=64x40x80%,

故答案为：(64-2x)(40-x)=64×40×80%.

根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%,即可得出关于X的一元二次方程.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的

关键.

18.【答案】30

【解析】解：•••四边形ZBCD是菱形，

.∙.OA=OC=5,OB=OD,AC1BD,

.∙.AC=10,

VDH1AB,

乙BHD=90°,

∙∙∙BD是斜边上的中线,

.∙.BD=20H=2X3=6,

•••菱形ABCD的面积=∙BO=TX10X6=30,

故答案为：30.

由菱形的性质得。4=OC=5,OB=0D,AC1BD,则AC=I0,再由直角三角形斜边上的中线

性质求出BO的长度，然后由菱形的面积公式求解即可.

本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌

握菱形的性质，求出BZ)的长是解题的关键.

19.【答案】解：(l)2(x-l)2-18=0,

2(x-I)2=18,

(%—1)2=9,

X-I=±3,

%=1±3,

解得=4,X2=-2；

(2)x2—4%—3=0,

%2—4%=3,

配方得：X2—4x+4=3÷4,

(%—2)2=7,

开方得：x-2=±y∏f

解得：X1=2÷yj~7,X2=2—y∕~7;

(3)2X2-2ΛΓ2X+1=0,

(y∕~~2x—I)2=0»

解得：x1=X2=

(4)x(2%—5)=4%—10,

x(2x-5)=2(2%-5),

x(2x-5)-2(2x-5)=0,

(2x-5)(%-2)=0,

2x—5=O或％—2=0,

解得%ι=|,X2=2.

【解析】(1)方程整理后，利用直接开平方法解答即可；

(2)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

(3)根据完全平方公式和直接开平方法解答即可；

(4)方程利用因式分解法求解即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，完全平方公式，熟练掌握解一元二次

方程的方法是解题的关键.

20.【答案】(1)证明：∙∙∙/=(τn+2)2—4X2m

=(6一2)2≥0,

不论m为何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：设方程的另一个根为3

根据根与系数的关系得l+t=m+2①，lxt=2m②，

(2)—①得—1=m-2,

解得m=1,

把Tn=1代入②得t=2,

所以τn的值为1,方程的另一个根为2.

【解析】(1)先计算根的判别式的值得到2≥0,然后利用根的判别式的意义得到结论；

(2)设方程的另一个根为3根据根与系数的关系得l+t=m+2,lxt=2m,然后解方程组求

出Jn和t即可.

本题考查了根与系数的关系：若4,均是一元二次方程αM+b久+c=O(αWO)的两根时，X1+

x2=--,X1X2=:.也考查了根的判别式.

'Qα

21.【答案】(I)证明：•・•AElBD,CFLBD,

ΛAE∕∕CF9∆AEB=Z-DFC=90°,

•・・四边形/BCD是矩形，

：・AB=CD,ABllCD,

：•乙ABE=Z-FDC,

在4/8E和4COF中，

Z-ABE=乙FDC

Z-AEB=∆DFC,

AB=CD

••△ABE"CDFdAAS),

.∙.AE=CF,

•••四边形力ECF为平行四边形；

(2)解：四边形ZBCD是矩形，

∙∙.AC=2A0,

•••AE1BO,BE=EO,

∙∙AO—AB—1,

•••AC=2,

BC=√AC2-AB2=√22—I2=V^^3∙

【解析I(I)由矩形的性质得出AB=C。，AB//CD,证明AABE三ACDF(44S),由全等三角形的

性质得出AE=CF,由平行四边形的判定可得出结论；

(2)根据垂直平分线的性质可得ZO=AB=I,然后根据勾股定理即可求出BC的长，

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边

形的判定是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：•；四边形4BC。是菱形，

乙B=Z.D,AB=BC=DC=AD,

：点E,F分别为AB,40的中点，

：.AE=BE=gAB,AF=DF=^AD,

即BE=DF,

⅛ΔBCE和aDCF中，

BE=DF

乙B=Z-D,

BC=DC

・•・△BCE≡∆OeF(S4S)；

(2)解：当ABLBC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：

■:点E,0,F分别为AB,AC,4。的中点，

.∙.OE=∖BC,OF=^CD,0E//BC,

由(1)得=AF=^AD,AB=BC=DC=AD,

••・AE=OE=OF=AFy

・•・四边形4E。尸是菱形，

•・,ABA.BC,OEllBC,

.∙.OE1AB,

∙∙∙菱形AEOF是正方形.

【解析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位

线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键.

(I)由菱形的性质得出48=NO,AB=BC=DC=AD,由已知和三角形中位线定理证出4E=

BE=DFAF,由SAS证明△BCE三△DCF即可；

(2)由(1)得：AE=OE=OF=AF,证出四边形AEOF是菱形，再证出NAEO=90。，四边形AEOF

是正方形.

23.【答案】解：(1)当X=35时，(X-30)(-2x+140)=(35-30)X(-2×35+140)=350.

答：当每件售价35元时，每天的利润是350元；

(2)根据题意得：(x-30)(-2x+140)=600,

整理得：X2-IOOx+2400=0,

解得：X1=40,X2=60(不符合题意，舍去).

答：每件商品的售价应定为40元；

(3)该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润，理由如下：

假设能，根据题意得:(x-30)(-2x+140)=900,

整理得：X2-IOOx+2550=0,

∙.∙Δ=(-100)2-4×1×2550=-200<0,

该方程没有实数根，

二假设不成立，即该商场销售这种商品每天不能获得900元的利润.

【解析】(1)利用每天的利润=每件的销售利润X每天的销售量，即可求出结论：

(2)利用每天的利润=每件的销售利润X每天的销售量，可得出关于X的一元二次方程，解之取其符

合题意的值，即可得出结论；