2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练-函数、不等式【解析版】

《2023届浙江省高考数学一轮复习提升训练》

专题2函数、不等式

一、单选题

1.（2022•浙江•高三开学考试）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：。=（4-4卜山+[,其中f为

时间（单位：min）,%为环境温度，仇为物体初始温度，6为冷却后温度.假设在室内温度为20℃的情况下,

一杯饮料由100C降低到60C需要20min,则此饮料从60c降低到40°C需要（）

A.lOminB.20minC.40minD.30min

【答案】B

【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解欠=翳，进而将4=20,4=60,6=40,人当代入解

析式中即可求解时间.

【详解】由题意可得，％=20,4=100,6=60,1=20代入。=（a-4）e-"+4，

80e-2M+20=60.解得e-20*=!，

2

故一20左=』2,解得太=黑

故当4=20,4=60,0=40,k4时,

将其代入9=⑼-4）e"+为得40e"+20=40,解得f=20,

故选：B

2.（2022.浙江・绍兴鲁迅中学高三阶段练习）用一架两臂不等长的天平称黄金，先将5g的祛码放在天平左盘

中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平

左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（）

A.大于10gB.等于10gC.小于10gD.无法确定

【答案】A

【分析】由杠杆原理与基本不等式求解

【详解】设左右两臂的长度为b,两次取的黄金重量为X。克，显然

则5a=bx,ay=5A,化简得个=25,由基本不等式得x+y>2而=1（）

故选：A

3.（2022.浙江省桐庐中学高三阶段练习）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当

基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当

基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染

病的基本传染数为凡，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗（三称为

接种率），那么1个感染者新的传染人数为由（N-V）.已知新冠病毒在某地的基本传染数%=2.5,为了使1个

N

感染者传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为（）

A.40%B.50%C.60%D.70%

【答案】C

【分析】由题意列不等式空空‘41,即可求出结果.

N

（）

【详解】由题意可得：'25N~-~V^<1=>2.57V-2.5V<2V^V—>1—5=60%

NN2.5

故选：C.

4.（2022•浙江•高三开学考试）已知a=0.23,b=log0-42,c=M2,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断.

3

【详解】由指数函数、对数函数的性质知：0<0.2<1,log042<0,万。2>1,

所以b<a<c.

故选：D.

5.（2022•浙江•高三阶段练习）已知定义在R上的函数满足x）=2-/（x）.若函数y=d-x+l与

y=/（x）的图像的交点为（为,匕），（%,%），…，（/，力），则?（答+%）=（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【分析】由题意可知函数y=/-x+l与产f（x）都关于点Q1）点对称，则可知?七=0,?>=5,由此即可得

处答案?（%+%）=5.

【详解】由题意函数F（x）满足/（-x）=2-/（x），则函数f（x）关于点（0,1）点对称，

i己g(x)=x3-x+1,则g(-x)=-x3+x+1,

贝ijg(-元)+g(x)=-x5+x+1+x3-x+i-2

所以函数y=x、x+l也关于点(0,1)点对称，

则其交点(X|,yj,(%,%)，…，(%，％)也关于点。1)点对称，

即，升=0，27y,=5,所以'(x,.+yj=5.

故选：A

6.(2022.浙江•慈溪中学高三开学考试)已知函数的定义域为R,且”x+l)+/(x-l)=2,/(x+2)为

偶函数，若/⑼=0,=则〃的值为()

*=i

A.107B.118C.109D.110

【答案】D

【分析】分析可知函数〃x)为周期函数，且周期为4,求得“1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,/(1)+/(2)=3,

结合111=4x27+3可求得w的值.

【详解】对任意的xeR,由/(x+l)+/(x—1)=2可得/(x+3)+/(x+l)=2,

所以，/(x+3)=/(x-l),则f(x)=〃x+4),

所以，函数为周期函数，且周期为4,

因为〃x+2)为偶函数，所以"2-x)=〃2+x),

所以，函数的图象关于直线x=2对称，则〃1)=/(3),

因为/⑴+/(3)=2,则/(1)=〃3)=1,

因为〃。)+/(2)=2且/(0)=0,则"2)=2,所以，/(1)+/(2)=3,

因为/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=4,且111=4x27+3,

因为f/(k)=27x[f(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/⑴+"2)=111,故“=4x27+2=110.

hl

故选：D.

14

7.(2022•浙江・慈溪中学高三开学考试)已知正实数x、＞满足一+—+4=x+y,则x+y的最小值为()

xy

A.V13-2B.2C.2+V13D.2+V14

【答案】C

14

【分析】在等式一+—+4=1+>的两边同乘以大+y,结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可

%y

解得x+y的最小值.

14

【详解】因为正实数X、y满足一+―+4=x+y,

%y

等式两边同乘以x+y可得(x+y『=4(x+y)+5+—+—>4(x+y)+5+2^-=4(x+y)+9,

所以，(x+y)-4(x+y)-920,

因为x+y>0,解得x+yZ2+JB,当且仅当y=2x时，等号成立.

因此，x+y的最小值为2+aI.

故选：C.

二、多选题

8.(2022•浙江省杭州第二中学高三阶段练习)设awR,函数/(x)="HG+x/i二G,则()

A.当。=±1时，/*)具有奇偶性

B.当@0时，/(X)在［-1,1］上单调

C.当”>0时，/⑶在［-1,1］上不单调

D.当。>0时，/(x)的最大值为max{VI,@}

【答案】ABC

【分析】由奇偶性定义判断A：根据单调性判断B；由。=1,结合/⑴=/(-1)=0，/(0)=2判断CD.

fI4-X..0

【详解】则函数/(x)的定义域为［-1,1］

［1-X..0

对于A,当4=1时，/(X)=J1+X+J1-xJ(-x)=J1-X++X=f(x),函数/(X)为偶函数；当。=-1时，

f(X)=y!\~X-VT+x,/(-x)=yj\+X->J］-X=-f(x),函数/(x)为奇函数，故A正确；

对于B,当4,0时，函数f(x)=aVn4+VT工在［-1,1］上单调递减，故B正确；

对于C,当。=1时，/⑴=/(-1)=夜，即/(X)在［-1,1］上不单调，故C正确；

对于D,当。=1时，/(0)=2,故D错误；

故选：ABC

9.(2022・浙江•慈溪中学高三开学考试)已知函数〃x)=x-［x］,其中国表示不大于x的最大整数，如:

[0.2]=0,[-1.2]=-2,则()

A.是增函数B.7(x)是周期函数

C.〃2力的值域为[0,1)D.〃2x)是偶函数

【答案】BC

【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用题中的定义求出函数

/(2x)的值域，可判断C选项.

【详解】对于A选项，因为/⑴=1-口]=0,/(2)=2-[2]=0,所以，函数f(x)不是增函数，A错；

对于B选项，对任意的xeR.存在&eZ,使得+则[x]=k,

所以，A:+l<x+l<k+2,贝lj[x+1]=左+1=[x]+l,

所以，/(A-+l)=x+l-[x+l]=x+l-([x]+l)=x-[jf]=/(x),

故函数〃x)为周期函数，且周期为1,B对；

对于C选项，对任意的xwR,存在keZ,使得尢V2xvZr+l,pllj[2x]=k,

所以，/(2x)=2x-[2x]=2x-ke[0,1),C对；

对于D选项，令g(x)=/(2x),该函数的定义域为R,

因为g(O.4)=/(0.8)=0.8-[0.8]=0.8,

g(-0.4)=f(-0.8)=-0.8-[-0.8]=-0.8+1=0.2,

所以，g(O.4)wg(-O.4),故函数/(2x)不是偶函数，D错.

故选：BC.

10.(2022•浙江•高三开学考试)已知4=x2+y2,4=Qq(x,yeR),则下列说法正确的是()

A.(G4-2/Q(G4+24)40

^^<7+4>/3

B.

4-否

c.4—石之o

D.2yj入+〃—|x|0

【答案】BCD

【分析】根据选项把已知条件逐个代入进行检验即可，主要应用基本不等式，函数单调性，完全平方式的

性质等.

【详解】对于A,(x/3/l,-2/U)(A/3/1,+2/U)=3A,2-4^2=3(x2+/)'-12x2y2

因为,所以3，+y2)2-12fy223任+力2-3(彳2+丫2)-=0

当且仅当Y=y2时，等号成立，所以A不正确.

4+4=44+2,=1+2._]+2

对于B,4-%4-44-4—।9

兀一

与=专其之史=竺，根据反比例型函数的性质可知y=l+二二在(1,+a))单调递减；所以

4Cxy6xy3x-1

2221+3Q

可-迈「一云万行一，当且仅当一=>2时，等号成立，所以B正确.

4亍7

对于C,4—4=f+y2—>/§%),=x-+1~20,所以C正确.

对于D,244+/l2T乂20等价于4(4+4)4/,即4任+/+国

因为412+y-+6孙)-x?=3x2+4>/3xy+4y2=(\/^x+2y)>0,

所以412+丁+昌力2》2成立，即2〃+,_国20,所以D正确.

故选：BCD

11.(2022.浙江•高三开学考试)已知〃x)是定义在｛Mx*。｝上的奇函数，当天>占>0时，

占群[_/1(%)—/(%)]+%-%>0恒成立,则()

A.y=/(x)在(-8,0)上单调递增

B.y=f(X)-(在(0,+<»)上单调递减

C-/(2)+/(-3)>1

O

D./(2)-〃-3)>:

O

【答案】BC

【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到〃为）-,>〃々）-,，然后根据%>玉>0,

X]x2

即可判断了（王）与）（天）两者的大小，从而判断选项A,选项B由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确

定，（占）-；与的大小，从而确定函数的单调性，选项C和选项D,可利用前面得到的不等式,

令占=2,刍=3带入，然后借助/（X）是奇函数进行变换即可完成判断.

【详解】由己知，±>±>0,xlx,[/（xl）-/（x2）]+xl-x2>0,

所以---->0,即〃再）--->f（X2）一■-,

11八

因为X2>芭>0,所以—

玉x2

所以/（%）-->0r

x2

因为%>0，所以一工2〈一玉<°，

因为F（x）是定义在｛Hx*0｝上的奇函数,所以=

>0

所以/（王）--（马）=-/（-百）+/（-*2）>^----,所以/（一毛）>/（一玉），

X\X2

因为F<fV0,所以y=〃x）在（y,0）上单调递增，故选项A错误：

因为/（%）->/（^）---.—>—>0>所以4>/->。，

X,2M

x2x]x22X2

所以=-9>/（电）-：+—>/（W）-；+（=/（2）一/,

即/（占）一；>/（当）一/-,又因为刍>司>0,

所以y=/（x）在（o,+8）上单调递减，选项B正确；

因为W">0时，〃X）一■->/（x2）一"^恒成立，

玉x2

所以令芭=2,尤2=3代入上式得〃2）-3>〃3）-3,即/（2）-〃3）>；-g=:,

又因为是定义在｛RXHO｝上的奇函数，所以〃3）=-"-3）,

所以/（2）+〃-3）>：,故选项C正确，选项D错误.

故选：BC.

12.（2022.浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知集合卜,+以+。=0,〃>0｝有且仅有两个子集，则下面

正确的是（）

A.a2-b2<4

B.a2+->4

b

c.若不等式f+办—b<0的解集为a，w),则x/2>0

D.若不等式依+0<c的解集为G，w),且归一w|=4,则c=4

【答案】ABD

【分析】根据集合祠/+奴+。=0,。>0｝子集的个数列方程，求得〃力的关系式，对A,利用二次函数性质

可判断；对B,利用基本不等式可判断；对CD,利用不等式的解集及韦达定理可判断.

【详解】由于集合｛小2+办+5=0,。>0｝有且仅有两个子集，所以△=/-46=0,〃=4/7,

由于。>0,所以>>0.

A,a2-b2=4b-b2=-(Z?-2)2+4<4,当6=2,a=2夜时等号成立，故A正确.

B,a2+-=4b+->2.4t>-=4,当且仅当4b==],a=0时等号成立，故B正确.

bh\hb2

C,不等式V+5一/；<0的解集为a，w),xtx2=-b<0,故C错误.

D,不等式―+⑪+｝<c的解集为即不等式/+奴+6_°<0的解集为(再,々)，且|与一切=4,则

%1+x2=-a,x｝x2=b-c,

222

则归-X2|=(%]+^)-4X)X2=a-4(/?-c)=4c=16,:.c=4,故D正确，

故选：ABD

13.(2022•浙江嘉兴•高三阶段练习)已知函数/(X),g(x)的定义域均为R,且“x)+g(l-x)=3,

g(x)+/(x-3)=3.若y=g(x)的图象关于点(1,0)对称，则()

A./(-x)=-/(x)B.g(-x)=g(x)

20222020

C.£/(%)=6066D.£g(&)=0

hlJt=l

【答案】BD

【分析】对A选项从函数关于点对称得到；对B选项，通过赋值，得到/(x)的其中一个周期为4,对C选

项进行求和得到值与/(1)值相关；对D由前面知道其一个周期为4,通过计算得到其每四个数值和为0,

最后得到2020组数据和也为0.

【详解】因为y=g("的图象关于点(1,0)对称，所以g(i-x)+g(i+x)=o,

g(x)的定义域均为R,故g(l)=o,由”x)+g(l—x)=3,得4—x)+g(l+x)=3,所以/(x)+/(—x)=6,

故A错误；

令x=0得，/(0)=3,因为g(x)+f(x-3)=3,

所以g(x+l)+〃x-2)=3与〃x)+g(l—x)=3联立得,

/(x)+/(x-2)=6,则〃x-2)+/(I)=6,

所以〃x)=〃x-4),即〃x)的其中一个周期为4,

因为g(x)+/(x-3)=3,所以g(x+4)+/(x+l)=3.

即g(x+4)=g(x),所以g(x)的其中一个周期也为4,

由g(x)+/(x-3)=3,得g(x-l)+/(x-4)=3,

与“*)+8(17)=3联立，得g(x-l)=g(l-x),

即g(x)=g(f).所以B正确；

由〃x)+〃x-2)=6,得〃1)+〃3)=6,但/(1)与"3)的值不确定,

又『(0)=3,"2)=3,

2022

所以£f*)=/⑴+/(2)+505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=6063+/(1)

£=1

故C错误；

由g(x)+/(x-3)=3,得g⑶+"0)=3,所以g(3)=0,

又"-l)+g(2)=3,f(l)+g(4)=3,

2020

两式相加得，g(2)+g(4)=0,所以W>(%)=0=505[g(l)+g(2)+g⑶+g(4)]=0,故D正确，

k=l

故选：BD.

【点睛】抽象函数的对称性、周期性、奇偶性综合的问题难度较大，不易推导求解，平时要多去推导练习.

14.(2022•浙江・绍兴鲁迅中学高三阶段练习)已知y=/(x)的定义域为R,且对任意x,yeR,有

f(x)-f(y)=f(x+y-l),且当x>l时，/W>1,则()

A./(1)=1B./(x)的图象关于点中心对称

C./(x)在R上不单调D.当x<l时，0</(x)<l

【答案】AD

【分析】由赋值法与函数单调性，对称性的定义对选项逐一判断

【详解】法一：取特殊函数

取函数/(x)=ei符合题意，验证A,D正确，B,C错误

法二：抽象函数运算

对于A,令x=l,y=2,可得〃1).〃2)=〃2),因〃2)>1,所以〃1)=1,故A正确,

._人X+1X+1—+X+1A/\八

对于c,,y=-nT^/l-l=r/M>0,

设玉<工2,令X=X，X+y-l=工2=y=九2-%+1>1

f(x)

所以/(芭)•/(々-X+1)=f)n一X1+1)>1,即/(%)</(x2)

即/(x)在R上单调递增，故C错误,

对于B,令x=0,y=2,可得"0)/(2)=/(1)=1,因八0)</(2)

所以/(°t〃0>Jf(0).〃2)=]=〃l),所以f(x)的图象没有关于点。，/⑴)中心对称，故B错误,

对于D,当x<l时，令x=x,y=2-x>l,此时/(》>/(2-力=/(1)=1=/("=_*),

因"2-x)>l,所以f(x)=〃；_x)€(0,l),故D正确，

故选：AD

5(2022.浙江•高三开学考试)已知函数小+g懦::等?)累：*]?尸2且』*)且

0</(1)</(2)<^-,则下列说法正确的是()

A.*5)<〃4)

B.若f(2)<],贝iJ/(2023)〈万

C.若]<〃2)J(x)是单调增函数

D.若、</(2),则/(24)〈万

【答案】BD

【分析】令g(x)=x+sinx,〃(无)=x+cosx,通过导数可得g(x)在R匕递增，〃(x)在R上递增,然后分

"2)和“2)臂两种情况进行分类讨论，即可判断每个选项

【详解】解：令g(x)=x+sinx,〃(x)=x+cosx,

则g*(x)=l+cosx>0,/?,(x)=l-sinx>0,

所以g(x)在R上递增，Mx)在R上递增,

若0<〃1)<〃2)4，则〃3)=〃2)+cos〃2)>〃2),

且0+cos0</(2)+cos/(2)<y+cos-,所以l<f⑶<］，

/(4)=/(3)+cos/(3)>/(3),

且1+cosl</(2)+C0S/(2)<y+COS：|-,所以1+cosl</(4)<y,

〃5)=〃4)+COS〃4)>/(4),

且1+cosl+cos(l+cosl)</(2)+cos/(2)<^-+cos:1-,所以l+cosl+cos(l+cosl)<f(5)<］

通过以上可以发现，当，(2)<］时，

当〃”+1)=/⑺+cos"〃)>〃〃),〃22,且小+1)/成立时，可推出

/("+2)=/(“+l)+cos”"+l)>〃〃+l),且/(〃+2)<1,故A错误，B正确；

若］</(2)〈万时，/(3)=/(2)+cos/(2)</(2),且］<f(3)<万一1<万，故C错误；

当/(〃)<乃且1)时,f(〃+l)=/(")+sin/(〃)<;r+sin-=万,

当/(")<乃，时，/(n+l)=/(n)+cos/(M)<zr+cos^-=^--l,

综上所述，/(〃)〈乃恒成立，故D正确，

故选：BD

三、填空题

、一[x(x+l),x>0/、，、/、

16.(2022•浙江・绍兴鲁迅中学高三阶段练习)己知奇函数八幻={."c且〃。)，/(0)，〃c)成

I人\L<vAIly),人

等差数列，则，=.

【答案】2

【分析】首先利用奇函数的定义，求出x<0时Ax)的解析式，得到。，b,再求出/(a)和，3),利用等差

中项的性质求出/(c),进一步求出c的值.

【详解】由奇函数定义知，当x<0时，—x>0

/(X)=一/(—X)=—[―尤(—X+1)]=X(—X+1)

“⑴=产+130,

[x(-x+l),x<0

；・4=-1,b=l,

・・.f(a)=/(-I)=-2,f(b)=/(1)=2,

又3(6)，f(c)成等差数列,

:.2/®=/(a)+〃c),

/./(c)=6,

若c±O,则c(c+l)=6,解得c=—3(舍)或c=2,

若c<0,则c(-c+l)=6,无解，

/.c=2.

故答案为：2.

17.(2022•浙江•高三开学考试)写出一个满足条件：“外,々€艮|/(芭)-〃々),人72|"的一次函数〃月的

表达式.

【答案】f(x)=2x+3(答案不唯一).

【分析】根据所给一次函数的性质化简可得附》1,据此即可写出满足条件的一次函数.

【详解】设/(*=履+6,

因为Vx,，weR,1f(为)一/仇),印一百，

当看=X2时，不等式恒成立，即任意一次函数都成立;

/（占）-/（上）

所以当Vx”X2eR,X|HX2时>i,所以网力1.

方一马

综上,满足|421的一次函数〃力=b+6都可以.

所以可取/（x）=2x+3（答案不唯一）,

故答案为：/（x）=2x+3（答案不唯一）

ii2

18.（2022•浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知小5,。，^（0,1）,那么5寸的最小值为

【答案】10

【分析】由已知可得，6=4,代入到所求式子后，利用乘1法，结合基本不等式即可求解.

2a

【详解】解：ab=；,人£（0』）,

,1,1।

••b=—<1,—<ci<\.

2a2

121214〃12

------|_--------------|-_____----------------------------------+2

1-a\-b\-a।__J_\-a2a\-a2a

2a

22

+2=［（2-2a）+（2〃-1）］+2

2-2a2a2-2a2a-1

生丑+小包+6“.生上立2（2一2叽6=]0

2—2a2cl—12—2。2a—1

32

当且仅当2—2。=2。-1即。=；〃=§时取等号，此时有最小值10.

故答案为：10.

【点评】本题考查了“乘1法''与基本不等式的性质，属于基础题.

2x,x>4

19.（2022•浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知函数=,/（x+l）,x<4'”

/（2+log23）=

【答案】24

【分析】计算出2+log23的范围，结合函数解析式以及指数运算法则、对数恒等式可求得结果.

【详解】S^l=log22<log23<log24=2,则3<2+log?3<4,

3

所以，/（2+log23）=/（3+log23）=2­°&3=23x2脸=8x3=24.

故答案为：24.

20.（2022•浙江•高三开学考试）已知实数x,y满足》2+2旬-3），2=4,则的最小值是

［答案］如+7##7+日

22

【分析】利用换元法，将问题转化为一元二次方程根的分布，即可求解.

【详解】令-丁=m,则/=2d-m,

由x2+2xy-3y2=4得2冲=4+3y?,两边平方得dYy5=（4+3）/-x2）",

化简得：17x4+（40-26加）/+（3加一4）2=0,

令/=/,则17产+（40-26机）r+（3机—4）2=0（:※）有正的实数根，

因为当f=0时，-3尸=4不成立，

1217

22

贝|J满足：A=（40-26rn）-4x17（3/n-4）>0,且4+t2=->0,

即62_7m+820,且40-26帆<0

解得〃此叵，

2

wJ17+7«_1.人ntUz_L/xjz、-平M,士曰AI__26/H-4051+13yli7qii->51+13Jl7

=------时，△二0，此时rl（※）式的根为4=右=-------=---------，即工=---------，

212343434

六源一折=9后T7,故机的最小值为叵1Z

342

故答案为：近士2bu

2

21.（2022.浙江.杭十四中高三阶段练习）若函数〃x）称为“准奇函数”，则必存在常数“力，使得对定义域

内的任意x值，均有f（x）+〃加-x）=»,请写出一个〃=2,b=2的“准奇函数”（填写解析式）：.

【答案】〃x）="（答案不唯一）

X-2

【分析】所有关于点（2,2）中心对称的函数均满足题意

【详解】解析：由f（x）+〃2a-x）=»，知”准奇函数叮（x）的图象关于点（a/）对称，若。=2,、=2,即“X）

图像关于点（2,2）对称，如>=•!•向右平移两个单位，向上平移两个单位，得到/（力=2+一二=生工，故

xX—2X—2

其图象就关于点（2,2）对称.

故答案为」(x)=R(答案不唯一)