河北省石家庄市部分学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2023・2024学年河北省石家庄市部分学校八年级（上）第一次月考数学

试卷

学校—一姓名：一_班级：一—考号：一

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共38.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是分式方程的是（）

4

A二+1=3B.x-4y=7C.2x=3(x—5)D.=1

54J

2.分式高和奈的最简公分母是（）

A.xyB.xy2C.x2y2D.x3y3

3.下列命题的逆命题是真命题的是（）

A.两直线平行，内错角相等B.如果a=b,那么a?=b2

C.钝角三角形中有两个锐角D.对顶角相等

4.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（）

姓名马小虎得分？

判断题（每小题20分，共100分）

（1）代数式：，黑是分式.«）

（2）当x=-1时,分式喜无意义.（x）

（3）贮±眩不是最简分式.（x）

（4）若分式霏的值为0,则x的值为±2.”）

（5）分式系中x,y的值均扩大为原来的2倍，分式的值

保持不变.（x）

A.40分B,60分C.80分D.100分

5.下列各式从左到右的变形正确的是()

A.贮=2B.2=且

abbbab

厂2

C.—Q+j—b=aDc.丁-a--—--9--=——a—3

bQ2_6a+9a+3

6・若京运算的结果为整式，则“*”中的式子可能是（）

A.2xB.y+xC.y—xD.-

X

7.如图，点A,E,。在同一直线上，△ABC三△DEC,BC=5,CD=8,则AE的长D

为()

A.2

B.3

C.4BC

D.5

8.解分式方程告=月-3时，去分母正确的是()

x—12x-2

A.2%=3—3x+3B.2%=3—6x—6C.2x==3—6x+6D.2%=3—6%+2

9.下面是某同学化简分式告j+手竽的部分计算过程,则在化简过程中的横线上依次填入的序号为

-4x+42x-xl

()

x2—4.x2+4x+4

%2—4x+4,2x-x2

-2-42--，

X2—4x+4%2+4x4-4

=(x+2)(%_2)r(----)

——(x+2)2

-----X-.

①(X+2)

②(％-2)

③(x+2)2

④(x-2)2

A.③②①B.③①②C.④②①D.④①②

10.化简(曰一的结果是()

A.m-nB.n—mC.1D.—m-n

11.如图，点B在CD上，LABO^LCDO,当AO"CD,乙BOD二二30。时，^---------------—

乙4的度数为()/xC/\

l

CBD

A.20°

B.30°

C.40°

D.35°

12.在计算（1+1）+2时，甲、乙两位同学使用方法不同，但计算结果相同，则（）

甲同学：（口+1）+告=（*+安）乂也=与乂虫=2.

kx+l）x+11%+1x+lJXx+1X

11,Y、Xx—1,.、x+lx—lx+l,Yx+lx—l,x+l2xr

乙同学：（-rr+1）（z-TT+1）X—=—x—+1X——=——+—=—=2.

”+1）x+l”+17xx+lXXXXX

A.甲同学正确B.乙同学正确C.两人都正确D.两人都不正确

13.某校举办以“晋魂”为主题的综合实践活动，组织八年级学生去距离学校20/cm的山西博物院参观.其中

一名老师带学生乘坐大巴车先走，过了lOznin,另一名老师乘坐小轿车出发，结果他们同时到达.已知小轿

车的速度是大巴车速度的1.5倍，求大巴车的速度.若设大巴车的速度为xkm",则可列方程为（）

即1S1

20T1O20T-1OC20--D20T

A.=-X-6-=6-

14.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为＞1）米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后

余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（爪-1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克,

那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（）

()米

m米

A.“丰收1号”高B.“丰收2号”高C.一样高D.无法确定哪个高

15.若a—；=3,则（Q+；）2的值是（）

A.5B.6C.12D.13

16.已知关于％的分式方程1-含=1无解，求m的值,甲同学的结果：m=0,乙同学的结果：巾=-8.关

于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（）

A.甲同学的结果正确B.乙同学的结果正确

C.甲、乙同学的结果合在一起正确D.甲、乙同学的结果合在一起也不正确

第n卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.化简：皿=____.

Sab

18.如图，点C,A,。在同一条直线上，NC=4。=90°,△ABC三4EAD,AC=4,

BC=3,AE=5.AABC的周长为,阴影部分的面积为.

19.已知关于X的分式方程居+招=3.

X—35-X

（1）若此方程的解为2,则血=.

（2）若此方程的解为正数，则m的取值范围为.

三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.（本小题9.0分）

计算：

21.（本小题9.0分）

解方程:

22.（本小题9.0分）

如图，AABC^ADEF,且点4,D,C,尸在同一直线上，点B,C,E在同一直线上.

（1）若CD=CF,求证：AD=CD

（2）若乙4=30°,乙B=80°,求NCEF的度数.

B

23.(本小题10.0分)

下面是小白同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

解：(窘-等)一x+2

%2—2%+1

13x4-42,.x+2

&+1)(%-1)X一1,，(x-1)2..............................第一步

3x+42(%+l)].x+2

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)J(x-1)2......................第二步

3%+4—2%+2(%-1)2

(x+l)(x-l)*x+2....................................第三步

x+6x—1

___X____.....................................................第四步

x+lx+2

2

X+5X-6...............................................第五步

x2+3x+2

任务:

(1)填空：

①上面的化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是.

(2)请写出正确的化简过程.

(3)当％=2时，求该分式的值.

24.(本小题10.0分)

【证明】

(1)如图，6尸_148于点尸，CC1AB于点D,Zl=Z2,求证：DE〃BC.请补全证明过程.

证明：1••GFLAB,CD14B(已知)，

:.乙BFG=乙BDC=90。(垂直的定义)，

•••FG//CD()

.•・42=43(两直线平行，同位角相等).

•••41=42(已知)，

Z1=(等量代换)，

•••DE//BCC).

【拓展】

(2)若把(1)条件中的“41=42”与结论“DE“BC”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？

如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例.

【迁移】

(3)如图，请你从四个选项：①GF1AB,②CD1AB,③41=42,④。E〃BC中，选出三个作为条件，

另一个作为结论，可以组成个真命题.

25.(本小题12.0分)

嘉嘉和淇淇研究一道习题："已知m>n>0,若分式三分子、分母都加上1,所得分式空■的值增大了还是

mm+l

减小了？”.

嘉嘉想到了“用口感去笔判断差的正负性”的思路.

mm+1

淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路.

两人的解题思路都正确.

(1)请你任选一个思路说明.

(2)当所加的这个数为2时，所得分式的值______(填“增大了”或“减小了”).

(3)当所加的这个数为a(a>0)时，你能得到什么结论？请说明理由.

26.(本小题13.0分)

近年来，随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势.某

汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆，便抽调了部分熟练工和招聘一批新工人来

完成新式电动汽车的安装，培训后上岗，一段时间后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10

辆电动汽车；1名熟练工和3名新工人每月也可安装10辆电动汽车.

(1)求每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装电动汽车的数量.

(2)从这款电动汽车和某款燃油车的对比调查中发现：电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米

的行驶费用少0.6元.当两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍.

①求这款电动汽车平均每千米的行驶费用；

②若电动汽车和燃油车每年的其他费用分别为6400元和4000元.问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽

车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其他费用)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：：+[=3是整式方程，

54

故A不符合题意；

x-4y=7是整式方程，

故8不符合题意；

2%=3(%—5)是整式方程，

故C不符合题意，

吃=1是分式方程，

x-2

故。符合题意，

故选：D.

根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，分别判断即可.

本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：高和奈的最简公分母是/y2,

故选：C.

根据最简公分母的概念解答即可.

本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分

母叫做最简公分母.

3.【答案】A

【解析】解：4、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题

意；

B、如果a=b,那么a?=从的逆命题是如果a?=力2,那么a=b,逆命题是假命题，不符合题意；

C、钝角三角形中有两个锐角的逆命题是有两个锐角的三角形是钝角三角形，逆命题是假命题，不符合题意；

。、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；

故选：A.

写出原命题的逆命题后判断正误即可.

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大.

4.【答案】B

【解析】解：(1)代数式：和黑的分母中都含有字母，都是分式，正确;

(2)当*=-1时，分式喜无意义，错误；

(3)正眩是最简分式，正确；

(4)当x=2时，分式喈的值为0,错误；

%+2

(5)雪=挥［=2*,分式的值是原来的2倍，正确;

''2x+2y2(x+y)x+y

所以他的得分是60分.

故选：B.

根据分式的定义即可判断(1),根据分式无意义的条件即可判断(2),根据最简分式的定义即可判断(3),根

据分式的值为0的条件即可判断(4),先列出算式，再根据分式的基本性质进行计算，即可判断(5).

本题考查了分式的定义，最简分式的定义，分式无意义的条件，分式的值为零的条件等知识点，能熟记分

式的有关概念是解此题的关键.

5.【答案】A

22

【解析】解：A.3三=?,故本选项符合题意;

abab-r-ab

2

8.当a=0时，不能推出？=3,故本选项不符合题意;

bab

C管建+1Ha,故本选项不符合题意;

。2一9

D.(a：3)约3)=/I，故本选项不符合题意;

次一6a+9(Q—3)a—J

故选：A.

根据分式的基本性质逐个判断即可.

本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键，注意：分式的分子和

分母同乘(或除以)同一个不等于。的式子，分式的值不变.

6.【答案】A

/一y2*

【解析】解一焉(x+y)(x—y)_*(x-y)

xx+yXX

••・运算的结果为整式,

•••“*”中的式子可能是含2x的单项式.

故选:A.

根据分式的乘法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解.

本题主要考查分式的乘法，解答的关键是明确运算结果为整式，得到“*”中的式子可能是含2x的单项式.

7.【答案】B

【解析】解：ABC三△DEC,BC=5,CD=8,

•••BC=CE=5,AC=CD=8,

•.AE=AC-CE=8-5=3,

故选:B.

根据全等三角形的性质得出BC=CE,AC=CD=8,再求出4E即可.

本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，全等三角形的对应边相等，对

应角相等.

8.【答案】C

【解析】解：告=工-3去分母得：2%=3-3(2%-2),

x-12x-2'7

去括号得：2%=3—6%4-6.

故选：C.

去分母时，方程两边各项都乘以分母的最小公倍数，再去括号即可.

本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键.

9.【答案】C

2

【解析】解：-T%+4x4-4

2x-x2

%2—42%—x2

X2—4%+4x2+4x+4

(x+2)(%—2)—x(x—2)

(x-2)2(%+2)2

X

~~(计2产

所以在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为④②①.

故选：C.

先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可.

本题考查了分式的乘法和除法，能正确根据分式的乘法和除法法则进行计算是解此题的关键.

10.【答案】D

_m2—n2n—m

mnmn

(m+n)(m—n)mn

~------------------------------------

mnn-m

=­(m+n)

=—m—n,

故选：D.

先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可.

本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

11.【答案】B

【解析】解：三△CDO,

AOB=OD,Z.ABO=4。，

・••Z.OBD=乙D=1(180°-乙BOD)=1x(180°-30)=75°,

・・・Z,ABC=180°-75°X2=30°,

,:AOIIBC,

・・.Z,A=/.ABC=30°.

故选：B.

根据全等三角形对应边相等可得08=。。，全等三角形对应角相等可得448。=ND,再根据等边对等角求

出NOBD=4D,然后求出NABC,再根据两直线平行，内错角相等解答即可.

本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

12.【答案】C

【解析】解：由甲乙两名同学的解答过程可知，两人都正确，

故选：C.

甲同学：先通分，计算括号内的式子，再将括号外的除法转化为乘法，然后计算乘法；乙同学：先把括号

外的除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算，然后再根据同分母分式加法法则计算；观察他们的解答过

程都是正确的，从而可以判断哪个选项符合题意.

本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

13.【答案】C

【解析】解：•••小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，且大巴车的速度为xkm",

•••小轿车的速度为1.5xkm/h.

根据题意得：型-卷=黑,

x1.5%60

1

即2T0--

6

故选：C.

根据小轿车及大巴车速度间的关系，可得出小轿车的速度为1.5xkm/h,利用时间=路程+速度，结合大巴

车比小轿车多用10m讥，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

14.【答案】B

【解析】解：由题意可得，

“丰收1号”小麦单位面积产量为：目=加+1)(=1)，

n

“丰收2号”小麦单位面积产量为：—T72,

(m-1)

(m+l)(m-l)(m-1产

；・“丰收2号”高，

故选：B.

根据题意和图形，可以用含m的代数式表示出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可.

本题考查分式的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

15.【答案】D

【解析】解：「a-1=3,

a

(J，=9,

Q2—24--^2=9,

Q1

CL+2+滔=13,

(a+，=13,

故选：D.

根据。-1=3,可以得到(a-1)?的值，再变形，即可求得所求式子的值.

本题考查分式的化筒求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应

用.

16.【答案】D

【解析】解：方程去分母得：(x-2)(x—2)—mx=公一4,

解得:T

•••当m=-4时分母为0,方程无解,

•••甲、乙同学的结果合在一起也不正确,

故选：D.

分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.

本题考查了分式方程无解的条件，解题的关键是掌握解分式方程.

17.【答案】2a

【解析】解：兽=半生挈=2%

Sab5ab-r-5ab

故答案为：2a.

先找出分式的分子和分母的最大公因式，再根据分式的基本性质进行计算即可.

本题考查了约分和分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键.

18.【答案】12,

【解析】解：,・•△4BC三AEDB,

-BA=AE=5,Z.EAD=Z.ABC9

-AC=4,BC=3,

・••△力8c的周长为48+4C+8C=5+4+3=12,

•・•ZC=ZD=90°,

・・・^LABC+乙BAC=Z-EAD+Z-BAC=90°,

・・・/.BAE=90°,

・•・阴影部分的面积为2X5X5=y,

故答案为：12,y.

根据全等得出BA=4E=5,/.EAD=/.ABC,根据三角形内角和定理求出N/1BC+NB4C=90。，可得

^BAE=90°,即可求出答案.

本题考查了全等三角形的性质，能求出84的长以及NB4E=90。是解此题的关键，全等三角形的对应角相等,

对应边相等.

19.【答案】5m<9且TnH3

【解析】(1)当x=2时，

工+旦=3

2-3+3-23

—24-m=3,

・•・m=5；

(2)原方程去分母得x-m=3(x-3),

A%—m=3x—9,

9-m

X=-2"""9

•・・方程的解为正数，

・•・m>9,

当x=3时，3=竽，

解得m=3,

・•.m的取值范围为e<9且m。3.

故答案为：m<9且m。3.

(1)当％=2时，求m得值即可；

(2))解分式方程，可得出x=竽，结合此方程的解为正数，即可得出m的取值范围，再由x=3是分式方程

的增根，可得出m的取值范围为m<9且小。3.

本题考查了分式方程的解，牢记“求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这

个值叫方程的解”是解题的关键.

20.【答案】解：⑴原式=宜.七

a2b

_4a2b3

—2ab

=2ab2；

(2)原式:a2-2ab+b2

a-b

_(a-b)2

a-b

=a—b.

【解析】(1)先把除法转化为乘法，利用分式的乘法法则，最后约分得结论；

(2)先利用同分母分式的加减法法则，再利用完全平方公式，最后约分得结论.

本题考查了分式，掌握分式的运算法则和分式的性质是解决本题的关键.

21.【答案】解：(1)去分母得：5(x—3)=x+l,

解得：x=4,

检验：把x=4代入得：(x+l)(x-3)^0,

•••分式方程的解为x=4；

(2)去分母得：x-2+2(3-x)=1,

解得：x=3,

检验：把x=3代入得：%-3=0,

•••分式方程无解.

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到％的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

22.【答案】(1)证明：三A。"，

•1•AC=DF,

.-.AC-CD=DF-CD,即40=CF.

vCD=CF,

•••AD=CD；

(2)解：•••5=30°,乙B=80°,

•••乙4cB=180°一乙4一NB=70°,

乙ECF=Z.ACB=70°,

•••△ABCmaDEF,

乙F=4ACB=70°,

Z.CEF=180°-乙ECF-乙F=180°-70°-70°=40°.

【解析】(1)根据全等三角形的性质证明即可；

(2)根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求出NCEF的度数.

本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键.

23.【答案】二分式的基本性质三括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号

【解析】解：(1)：①故答案为：二，分式的基本性质；

②故答案为：三，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号.

3%+42x+2

⑵Er--)+X2-2X+I

3%+42x+2

—l(x+l)(x-1)―X-lj,("1)2

_「3%+42(%+1)【x+2

f]2

—(x+l)(x-1)—(x+l)(x-1)-(x-1)

_3%+4—2%—2(x—if

一(x+1)(%—1)*x+2

x+2x—1

~x+1x+2

x-l

x+1

(3)当％=2时,

原式=舒

1

=3"

（1）①利用分式的基本性质得结论；

②根据去括号法则得结论；

（2）先利用异分母分式的加减法法则计算括号里面，再把除法转化为乘法，约分得结论；

（3）把x=2代入求值即可.

本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则、分式的基本性质、去括号法则等知识点是解决本

题的关键.

24.【答案】同位角相等，两直线平行43内错角相等，两直线平行4

【解析】解:（1）证明：:GfCDJLAB（已知）,

乙BFG=乙BDC=90。（垂直的定义），

•••FG//CD｛）

Z2=N3（两直线平行，同位角相等）.

VNl=N2（己知），

••・41=43（等量代换），

・•.DE〃BC（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：同位角相等，两直线平行；43；内错角相等，两直线平行；

（2）是真命题.

证明：•••GFLAB,CDJ.4B（已知），

乙BFG=乙BDC=90。垂直的定义）,

FG〃（:0（同位角相等，两直线平行），

.•・42=43（两直线平行，同位角相等）.

vDE〃BC（已知），

.•.Z1=43（两直线平行，内错角相等），

.1.N1=乙2（等量代换）；

（3）从四个选项：①GF_L力B,②CD14B,③41=乙2,④QE〃BC中，选出三个作为条件，另一个作为

结论，可以组成4个真命题.

故答案为：4.

（1）根据垂直的定义得出N8FG=乙BDC=90°,根据平行线的判定可得FG〃CD,根据平行线的性质得出

42=/3,等量代换得到41=43,即可判定CE〃BC；

（2）根据垂直的定义得出NBFG=NBDC=90。，根据平行线的判定可得FG〃CD,根据平行线的性质得出

Z2=Z3,又根据平行线的性质得出乙1=Z3,等量代换即可得到乙1=Z2；

（3）将任意三个作为条件，另一个作为结论，