2023-2024学年北京海淀区交大附中高一（上）期中数学试题及答案

北京交大附中如23-2024学年第一学期期中练习

高一数学2023.10

说明：本试卷共4页，共120分。考试时长90分钟。

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的)

1.已知集合”={-2,-1,0,1},N={x卜34x<0},则()

A.卜2}B.{-2,-1}C.{0,1}D.{-2,-1,0,1}

2.命题“肛)€(0,”)，*+142%”的否定为()

A.VXG(0,-H»),2B.Vxe(0,4<o),2

X+\>2XX+I<2X

2

C.e(-«,0),—+142XD.Vxe(-<n,0],x+}>2x

3.已知关于x的方程X?-2x+m=0的两根同号，则m的取值范围是()

A.m<\B.C.0</w<lD.0<m<l

4.已知函数x：；,贝的值为()

A.3B.0C.-1D.-2

5.已知acR,则“a>l”是的()

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.下列函数中，在区间(0,+«0上单调递增且是奇函数的是()

A.y=x+lB.y=x~~c.y=ND.y=x2

7.已知实数a,6,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()

cbao

A.6-avc+aB.c2<abC.D.|6|c<|a|c

ba

8.设〃幻为R上的奇函数，且当x<0时，/(x)=3x-1,则/(0)+/(4)=()

A.12B.-12C.13D.-13

9.已知当x>0时，不等式，一机x+16>0恒成立，则实数所的取值范围是（

A.~,8)B.(y\8]C.[8,+00)D.(6,+<o)

I（xeA）,

10.对于全集U的子集A定义函数Zjx）=,0（L£）为人的特征函数，设4B为全巢U的子集，下列结论

中错误的是（

A.若则力（x）4/（x）B.兀”(x)=l-Z((x)

c.Z(n«(x)=Z<(x)-4WD.Z<us(x)=Z*(x)+f»(x)

填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

>>.函数/（x）=WT的定义域是..（用区间形式表示）

4

3

12-如图，函数“X）的图象是折线段4BC,其中48,C的坐标分别为2

（0,4）,（2,0）,（6,4）,则/（x）42的解集为_______.（用区间形式表示）pyJ।।।>

U12343bX

13.定义在R上的函数/5）,给出下列三个论断：

①"X）在R上单调递增；②x>l；③/'（X）〉/。）.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论,

写出一个正确的命题：,推出.（把序号写在横线上）

14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表；

每户每月用水量水价

不超过12m3的部分3元/n?

超过12m3但不超过18mJ的部分6元/n?

超过18m3的部分9元/n?

若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为

xJ+4x+3,xsO

15.设函数/(x)=,i，给出下列四个结论，

一-,x>0

,x

①函数/(X)的值域是RI

②\/%,项€(々2)(玉*丫2),有△5)-/(与)>01

③迟>0,使得/(f)=/(X。)；

④若互不相等的实数再、电,弓满足/(*)=f(x2)=/(xj,则%+%+匕的取值范围是(一3，*°)・

其中所有正确结论的序号是L.

三、解答题(本大题共5小题，共60分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题12分)

设关于x的不等式卜-司<2的解集为4,不等式妙_工-6<0的解集为B

(1)求集合4B；

(U)若ZuB,求实数a的取值范围.

17.(本小题12分)

已知函数〃x)=w^

(I)用函数单调性的定义证明：/(X)在(-1,+8)上是增函数；

(II)求函数”X)在区间［1，4］上的值域.

18.(本小题12分)

已知二次函数/(x)的最小值为1，且〃°)=/(2)=3.

(1)求/门)的解析式；

(H)在区间［-3,-I］上，y=/(x)的图象恒在P=2x+2m+l的图象上方，确定实数加的取值范围.

北京交大附中2023-2024学年第一学期期中练习

高一数学2023.10

说明：本试卷共4页，共120分。考试时长90分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1,已知集合M21,0,1,Nx|3x0,贝（］MN

A.2C.0,1D.2,1,0,1

B.2,1

【答案】B

【详解】因为集合M210.1,Nx|3x0,则M1、

21

2.命题“%(Q),2

x120x

A,”的否定为/

A.x(Q)、,x2o12x0B.x(Q）

c.X(,0),X2I2xD.人

12x

【答案】A

【详解】命题“xo（0,）,片12%x（Q)212x”.频：A.

”的否定为“,x

【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题

3.已知关于x的方程x?2xm0的两根同号，则m的取值范围是（）

A.m1B,m0C.0ml0ml

D.

【答案】C

【详解】关于X的方程x22xm0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零,

A44m0

则有皿0，解得。m1-

故选：C

x22x

X1

4.已知函数fxf1的值为（

A.3B.0C.1D,2

【答案】D

【详解】由题意得，f1I2213,则ff1f3312

故选：D.

试卷第1页，共8页

19.(本小题12分)

为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划

对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消

耗费用P(单位：万元)与隔热层厚度x(单位।cm)满足关系tP(x)=-^-(xeR,04x48)•若

''4x+5

不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元.设/(x)为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和.

(1)求所的值及/(0的表达式.

(II)当隔热层的厚度为多少时，总费用/(x)达到最小，并求最小值.

20.(本小题12分)

已知/(x)定义域为R的函数，若对任意不，%wR，玉-毛eS,均有/(xJ-/(X2)eS，则称f(x)是S关联.

(I)判断和证明函数/(x)=2x+l是否是[0,2)关联？是否是关联？

(11)若/5)是｛3｝关联，当xe[0,3)时，f(x)=x2-2x,解不等式：2^/(x)<3.

5.已知aR,则“a1”是41”的()

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据命题的充分必要性直接判断

【详解】对于不等式11,可解得a1或a〈0,所以a1可以推出L1,而L1。1

aaa不可以推出a1

所以“a1”是01”的充分不必要条件.故选：A.

a

上单调递增且是奇函数的是()

6下列函数中，在区间0,

A.yX1B.yX1c.y|x|D.y=x2

X1

【答案】B

7,已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

CC

(A)baca(B)c2ab(C)——(D)b|c|a|c,,,,、

bacba0

【答案】D

8.设f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)3x1,则f(0)f(4)()

A.12B.12C.13D.13

【答案】c

【详解】因为fx为R上的奇函数，所以f00,f4f413，所以f0f413.

故选：C

9.已知当x。时，不等式X?mx160恒成立，则实数m的取值范围是()

A.,8B',8C'8D'6

【答案】A

【分析】将参数m与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m的取值范围.

【详解】根据题意当x0时，不等式x2mx160恒成立，

21/21/216

贝——x—,x>0恒成立，只需x—即可；

XXX

_min

易知当X0时，由基本不等式可得X72，78,当且仅当X4时取等号；

16

所以x—8,即小8,所以实数m的取值范围是

x.,8

min'

故选：A

试卷第2页，共8页

10.对于全集U的子集A定义函数fAXXA为A的特征函数设A,B为全集U的子集下列结论

xaA

中错误的是()

A.若AB,则集x£xfx1fAx

B./

6

C.fABXfAxfBxD.fABfAfBX

XX

【解析】根据fAXxA，逐项分析即可求得答案

xSJA

【详解】以XxA

xaA

对于A,AB,分类讨论：

①当xA,则xB,此时1(x)£(x)1

②当xA且xB,即xQB,此时f(x)f(x)0

AB'

③当XA且XB,即X(GA)B时，。(x)QfB(x)1f(x)f(x)

，此时

AB

综合所述有fA(x)fB(x),故A正确；

J,Xo

对于B,1A(X)AQA01fA(x),故⑵正确；

,、lxABlxABlxAlxB,、，、_

对于C,fAB(x)八nrnnr§&)£(x),故C正确;

0,xECU/(AA%B)0,xRqAACuBD0,xLUAA0,xCUIlBR

..QxAB/、/、

对于D,fAB(X)fA(X)fB(X)，故D错误

L1xCU(AB)

故选:D.

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)

11.函数fXJ的定义域是________-

2x1

【答案】।

x|x—

2

12.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中AB,C的坐标分别为

,b,4,f(X)2

则的解集为

A答案2dxi1x4}

试卷第3页，共8页

【详解】当fX2时，由图象可知，即2{xl1X4}.

的解集为

13.定义在R上的函数f(x),给出下刻三个"断：在R上单调递增；②x1；③f(x)-1).

以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：—,—推出—.(把序号

写在横线上)

【答案】①②推出③；

【详解】①②推出③；

证明：f(x)在R单调递增且当X1时，有f(x)f(l),得证.故答案为①②推出③

【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题，意在考查学生的推断能力.

14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行‘阶梯水价’.计算方法如下表：

每户每月用水量水价

不超过12m3的部分37L/m3

超过12m3但不超过18m3的部分6元/n?

超过18m3的部分9TL/HI3

若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为.

【答案】20m3/20立方米

xy

【详解】设用水量为立方米，水价为元，

3^0x12讯0x12

则y366x12,12x18

729(x18),x18丫颠翦®18

,整理得到：，

当0x12时，0y36；12x18时，36y72;

故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令9x9090,则x=20(立方米)

故答案为：20m3.

x?4x3x0

15.设函数fx1.给出下列四个结论：

—,x0

x

①函数fX的值域是R；

②X1,X2(2,7A1x,,有U―U-0

xlx2•

/

③W0,使得fxfx

/

00

试卷第4页，共8页

④若互不相等的实数看,X2,X3满足fX1fX2fX3,则占％X3

的取值范围是

3

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1,结合图像即可判断；

对于②，举反例排除即可；

对于③，将问题转化为yf型。与yl有交点，作出图2即可判断；

X

对于④，结合图1对X],孙可进行分析即可.

x24x3x0

【详解】对于①，因为fX1c

—,x0

x

所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1,

图1

由fX的图像易知fx的值域是R,故①正确；

对于②，易得f03f1L显然fX2上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；

在

2,1A2%Xo1

对于③，假设存在xO0,f%f不，则与4%30£，即0o3高，

即y寸型。与yL有交点，作出图像，如图2,显然假设成立，故③正确；

X

对于④，由图1易知土产2,则X1%4,

因为f21,所以1fx301-0,解得

，即X3x1

3，故④正确；

所以占%覆4毛413,即入马x

的取值范围是

3

综上：①③④正确.

故答案为：①③④

三、解答题（本大题共5小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

试卷第5页，共8页

16.设关于x的不等式Wal2的解集为A,不等式；*60的解集为B.

(1)求集合A,B;

(2)若AB,求实数a的取值范围.

|xa|22xa2A{x|a2xa2)

【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

,2x3

17.已知函数fx--.

x1

⑴用函数单调性的定义证明：fX在(-1,+8)上是增函数；

⑵求函数fX在区间［1,4］上的值域.

r*融】、口日•f2x32(x1)5_5

【1羊解】(1)证明.fx-----=-----------2—,

X1X1X71

任取XI,X2d(-1,+8)，且应〈范

55555(x］)5(%D5(xx)

f⑶)一f(X2)=(2-)-(2--)=­(xi1)(X21)力r

又由T<X1<X2,则X「X2<0,Xi+1>0,X2+1>0,

故f(Xl)-f(X2)<0,即f(Xl)<f(X2),

所以在(-1,+8)是增函数；

(2)由⑵知，的在［1,4］上单调递增,

所以f(x)min=«)=寺,f(x)max=f(4)=1,

故f(x)在［1,4］上的值域是［4，1］.

18.已知二次函数fx的最小值为1,且f0

f23.

⑴求fx的解析式；

⑵在区间3,1±,yfx的图象恒在y2x2m1的图象上方，确定实数m的取值范围.

【详解】(1)解：根据题意，二次函数fx满足f0f23,可得函数fx的对称轴为x1,

因为函数fx的最小值为1,可设,1

a(x1)2

fx

又因为，可得fxa13

f03，解得a2,

试卷第6页，共8页

所以函数fX的解析式为2(X1；21

fx2x24x3.

(2)解：由函数fx2x2*4x3

yfx的图象恒在y2x2m1的图象上方，

若在区间31上，

则由2x2

4x32x2m1在区间31上恒成立，

即mx23x1在区间31上恒成立，

设gxx23x1,其对称轴为x-gx在31上单调递减，

2,则*

所以函数g*的最小值为g15,则有m5,

所以实数m的取值范围为

,5.

19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划

对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元该建筑物每年的能源消

3n

耗费用P(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：Px7l(xR,0x8)若

4x5

不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元设fx为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和

⑴求m的值及fx的表达式

⑵当隔热层的厚度为多少时，总费用fx达到最小，并求最小值

【详解】(1)设隔热层厚度x,由题设，每年的能源消耗费用为：Px-―-

4x5

令9,解得m15,

由P0b

建造费用为8x,最后得隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为

fx40Px8x40—8xl80°8x(0x8)

4x54x5

c,»01800门1800

⑵由⑴知fXL8x「

2