2023-2024学年青海省西宁市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年青海省西宁市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知直线/垂直于平面a,另一直线“也垂直于平面a,则直线/,加的位置关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.异面

【正确答案】A

【分析】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行，理解判断.

【详解】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行.

故选:A.

2.已知等边Z8C的直观图的面积为卡，则/8C的面积为（）

A.立B."C.26D,4石

22

【正确答案】D

【分析】由原图和直观图面积之间的关系S1s=乎5悚即可得结果.

【详解】因为直观图©8'C'的面积为#,

所以#S葭解得%=4石，

故选：D.

3.设命题?：玉0©11,芯+1=0,则命题p的否定为（）

A.Vx£R,X2+1=0B.VxeR,x2+1^0

C.3x0R,XQ+1=0D.3x0eR,x^+1*0

【正确答案】B

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.

【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，

命题p的否定为VxeRX+lxO.

故选：B.

4.若a,beR且"片0,则畔<1”是“a<6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】若〃=1力=-1，满足此时。>分，排除充分性，

b

若a=-2,b=-l,满足“<b,此时£>1,排除必要性，

b

故选：D

5.已知抛物线/=2々5>0）上一点/（皿1）到其焦点的距离为2,则P=（）

A.2B.-2C.4D.±4

【正确答案】A

【分析】根据抛物线的定义即可求得答案.

【详解】由题意，抛物线的准线方程为尸-j由抛物线的定义可知尸|=l+5=2,；.p=2.

故选：A.

3

6.已知椭圆的长轴长为10,离心率为（，则椭圆的短轴长为（）

A.3B.4C.6D.8

【正确答案】D

【分析】根据已知求出凡。，再求出6即得解.

【详解】由题意，得2。=10,-=j,所以。=5,c=3,所以b=G77=4，

a5

所以椭圆的短轴长为8.

故选：D.

7.设耳，E分别是双曲线二-仁=1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且

445

31P娟=5归用，则谯的面积等于（）

A.1473B.75/15C.15bD.55/15

【正确答案】C

【分析】根据双曲线定义得到1pHi=10，俨用=6,用余弦定理和面积公式求出答案.

【详解】设|尸周=5x,|PR|=3x,则由双曲线的定义可得：

阂-陶=5x-3x=2x=2a=4,所以x=2,故阀|=10,|p周=6,又阳阊=14,故

._100+36—1961..ll-Ar>r-rr->J,--r.-.

cosZFtPF2==,故sin/6PF,=X-,所以△咫鸟的面积为

2x10x622

-xl0x6x—=15^.

22

故选：C.

8.已知抛物线C:y=〃*(加>0)上的点力(凡2)到其准线的距离为4,则加=()

A.-B.8C.-D.4

48

【正确答案】C

【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定5的值，再根据焦半径公式求解.

【详解】x2=-y,(〃?>0),

m

因为点/(a,2)到C的准线的距离为4,所以-^+2=4,得加=1.

4m8

故选：C

9.如图，在矩形Z8C。中，AB=2,8c=3,沿8。将矩形N8C。折叠，连接/C,所得

三棱锥/-8CO正视图和俯视图如图所示，则三棱锥/-8CO的侧视图为()

【正确答案】D

【分析】根据正视图和俯视图得到该几何体的直观图，然后确定侧视图即可.

【详解】由正视图和俯视图得到该几何体的直观图如下图所示：

A

所以该几何体的侧视图是等腰直角三角形，选项D符合，

故选：D

10.过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的

侧面积是（）

A.12A/2TTB.16〃C.84D.10乃

【正确答案】B

【分析】根据截面是面积为16的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的

侧面积.

【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形*5。，

面积为16,故边长Z8=/C=4,

即底面半径R=2,侧棱长为XC=4,

则圆柱的侧面积是S=2iR/C=16;r,

故选：B.

11.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0C.2x+y-2=0D.x+2y-l=0

【正确答案】A

【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.

【详解】设与直线万一2〉-2=°平行的直线方程为4一21，+0=0,亿*—2）,

将点（1°）代入直线方程x-2y+c=°可得l-2x0+c=0,解得c=-l.

则所求直线方程为x-2p-l=0.故A正确.

本题主要考查两直线的平行问题，属容易题.两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不

存在.所以与直线本+为，+C=0平行的直线方程可设为,4x+By+C'=0.

22

12.已知斜率为方的直线/与椭圆E:[+方=1（°＞人＞0）相交于4,8两点，与x轴，y轴

分别交于C,。两点，若C,。恰好是线段的两个三等分点，则楠圆E的离心率6为（）

A.yB.—C.—D.3

2223

【正确答案】C

【分析】设4（占,弘），8（七,%）,由三等分点可用不表示范，必表示力，一方面由两点坐

标得直线斜率，另一方面用点差法求得直线斜率，从而得dAc的关系式，求得离心

率.

【详解】如图，设，（再,必），8（Z,8）,分别是线段的两个三等分点，...aF，。），

则8,2》],-劣，

x2=-2X|53乂

得v=_A左==」.』，

%29玉一工23X12X]

W+*=L

b

利用点差法，由":[两式相减得x「》2)(x+%)(M-%)_n

1b2

[a2b2~'

整理得至1」号=驾，即第=4&2=^£1=公=所以e=3.

玉aa2a242

故选：C.

y

4J.

13.若曲线夕=-/的切线方程为夕=履+2,贝必=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【正确答案】C

【分析】先切点为（%,打），利用斜率相等，切点即在直线上，又在曲线上，即可求解.

,一k=—3%A[k=—?>

【详解】解：设切点为（x0,y。），又了=-3/,则有,、，解得：,,

-x0=o0+2[x0=1

故选：C

二、填空题

14.平面与平面垂直的性质定理

如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面.

【正确答案】垂直

【分析】根据平面与平面垂直的性质定理可得.

【详解】平面与平面垂直的性质定理为：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两

平面交线的直线与另一个平面垂直，

故垂直.

15.圆》2+/_2》-3=0与工2+/-4*+2尹3=0的交点坐标为.

【正确答案】（1，-2）和（3,0）

【分析】联立两圆的方程即可求解.

22

Y+v_2r-3=0

2二；cc八，两式相减得产y+3,将其代入一+/_2》_3=0中

）x2+y2-4x+2y+3=0

（x=3fx=1

得y=o或尸-2,进而得c或,

1^=0卜=-2

所以交点坐标为（1，-2）,（30）

故（1,-2）和（3,0）

16.已知圆+/=过点PQ1）作圆。的切线，则切线方程为.

【正确答案】、=1或4x-3y-5=0

【分析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程A=0求参

数%,即可写出切线方程.

【详解】由题设，22+l2=5>B故P在圆外，

根据圆0:/+/=1及P(2,1),知：过p作圆。的切线斜率一定存在，

二可设切线为…(x-2)+1,联立圆的方程，

整理得(1+k')x2+2k(1-2k)x+4k(k-1)=0,

4

AA=4Ar2(l-2k)2-16k(k-1)(1+)=0,解得左=0或左=§.

：.切线方程为N=1或4x-3y-5=0.

故N=1或4x-3y-5=0.

17.已知长方体N8CD-外接球的体积为36”，AA、=2后，则矩形面积的最

大值为.

【正确答案】8

【分析】先根据条件分析出外接球的半径，然后根据长方体外接球的半径与棱长的关系，求

解出+的值，利用基本不等式可求解出/8/O的最大值，从而矩形面积的

最大值可求.

【详解】设长方体的外接球的半径为R,

又长方体检CZ)-45CQ外接球的体积为36万，所以?*=36万，所以R=3,

又因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以(2尺)2=44：+/14+/。2,

所以=4x9-20=16，所以2N8WO416,

所以/8YOW8,取等号时/5=4。=2/，

所以矩形/8CO面积的最大值为8,

故答案为.8

Di

Bi

D

结论点睛：长方体、正方体的外接球的半径和棱长的关系:

（1）已知长方体的长、宽、高分别为凡Ac,则长方体外接球的半径R二五运运

2

⑵已知正方体的棱长为。，则正方体外接球的半径为人与

三、解答题

18.如图，空间四边形/8C。中，E、F、G、，分别是Z8、BC、CD、的中点.

求证：（1）£4〃平面BCD；

（2）BD〃平面EFGH.

【正确答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）推导出由此能证明E”〃平面8。；

（2）由BD〃EH,由此能证明平面EFG，.

【详解】（1）为△480的中位线,

J.EH//BD.

'：EM平面8。，BZJU平面8C£）,

，£7/〃平面BCD；

(2)为△C8。的中位线，

J.FG//BD,

：.FG//EH,

:.E、F、G、〃四点共面，

'：BD//EH,BDQ平面EFG，，E”U平面EFG”,

平面EFGH.

本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化

归与转化思想，是中档题.

19.已知圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,圆M:f_4x+/-5=0.

(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；

(2)若过点(6,-2)的直线/与圆C相切，求直线I的方程.

【正确答案】(1)圆C与圆/相交，理由见解析

(2)3x+4y-10=0或x=6

【分析】(1)利用圆心距与半径的关系即可判断结果；

(2)讨论，当直线/的斜率不存在时则方程为x=6,当直线/的斜率存在时，设其方程为

y+2=k(x-6),利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.

【详解】(1)把圆〃的方程化成标准方程，得(X-2>+V=9,

圆心为"(2,0),半径4=3.

圆C的圆心为C(4,2),半径4=2,

因为1<|A/C|=j(4-2)2+22=272<5,

所以圆C与圆M相交，

(2)①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=6到圆心C距离为2,满足题意；

②当直线/的斜率存在时，设其方程为N+2=MX-6),

由题意得做二白亭3=2,解得上=_曰,

Jl+公4

故直线)的方程为3x+4y-10=。

综上，直线/的方程为3x+4y-10=0或x=6.

20.已知函数/(x)=-；x3+x2.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线的斜率；

(2)求函数/(x)的单调区间与极值；

【正确答案】(1)1

(2)/(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-%0),(2,+oo),极小值为0,极大值

【分析】(1)求导，求出/'(1)=-1+2=1即为切线斜率；(2)求导，列出表格，得到单调

区间和极值.

【详解】(1)因为/'(x)=f2+2x,所以/⑴=-1+2=1,因此曲线y=/(x)在点(1,|)

处的切线的斜率为1:

(2)令/'(x)=-x，+2x=0,解得：x=0或2.

X(-0)0(0.2)2(2,+8)

/'(X)——0+0—

/(X)极小值/极大值X

所以/(x)在(-8,0),(2,+oo)内是减函数，在(0,2)内是增函数.

因此函数/(x)在x=0处取得极小值/(0),且/(0)=0,函数/(x)在x=2处取得极大

4

值，且/(2)=—；

综上：〃x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-8,0),(2,+8),极小值为0,极

4

大值为

21.如图，在正方体/BCD—44GA中，。是4c与8。的交点，M是CG的中点.求证：

4。，平面池。.

【正确答案】证明见解析

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得4。，平面MB。.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的边长为2,则。(LL0),4(2,0,2),8(2,2,0)/(0,2,1),

OA,=(1,-1,2),08=0,04。〃=0,

由于。所以4。，平面

22.(1)设抛物线/=2py(p>0)上第一象限的点M与焦点厂的距离为4,点”到夕轴的

距离为回，求抛物线方程；

(2)求与双曲线《-乙=1有共同的渐近线，且过点(-3,26)的双曲线标准方程.

【正确答案】①/=10y；②至=1

4

【分析】(1)设根据抛物线上第一象限的点〃到V轴的距离为廊，求得M的

坐标，再利用抛物线的定义求解；

(2)设与双曲线二-己=1有共同的渐近线的双曲线的方程为工-乙=2,再由双曲线过

916916

点(-3,26)求解.

【详解】(1)设M(x,y),

因为抛物线V=2抄(p>0)上第一象限的点〃到歹轴的距离为历，

所以x="jj,

则(回)=2py,

3

解得y=；,

又因为点M与焦点F的距离为4,

由抛物线的定义得［+4=4,

22

解得P=5,

所以抛物线方程是f=10y；

(2)设与双曲线上-二=1有共同的渐近线的双曲线的方程为=-或=2,

916916

因为双曲线过点(-3,26)，

所卜I29121

所以一记="

占-乙-1

所以所求双曲线标准方程是勺一彳一.

4

23.在长方体初CD-44GA中，己知。4=。。=4,。4=3,求异面直线48与四。所成角

的余弦值.

【正确答案】

【分析】连接4。，由4。//5c可得，N84。是异面直线45与8c所成的角，利用余弦

定理可得结果.

【详解】连接小。，'：AiD//BiC,

NBAQ是异面直线AiB与B,C所成的角

连接BD,K^AiDB中，Ai=AiD=5,BD=4y/2

25+25-329

—-2S5—-25

.•.异面直线48与B/C所成角的余弦值是会

本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线

定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，

如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝

对值.

圆上一点.抛物线N:/=2px（p>0）的焦点厂与点M