河南省新乡市河南师大附中实验学校2022-2023学年高一年级上册期末数学试题（含答案解析）

河南省新乡市河南师大附中实验学校2022-2023学年高一上

学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列能正确表示集合MET。/｝和N=Wd+2x=o｝关系的是（）

X

A.0<x<—B.x>iC.x>2D.-1<x<3

2

3.已知log7［log3（log2X）］=0,那么等于（）

A.-B.正C.—D.3

3643

4.在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特

征.已知函数/（X）的部分图象如图所示，则函数“力的解析式可能为（）

9r2x、2%x2+1

A.MgB.Ax："C-=1-lxlD.小）=1

5.函数f（x）=3sin（5+s）（<y>0,|*|苦）的最小正周期是万，若将该函数的图象向右

平移与个单位后得到的函数图象关于点］

对称，则函数/*）的解析式为（）

A./（x）=3sin（2x-"B.f（x）=3sin（2x-3）

C./(x)=3sin^2x+^jD./(%)=3sinf2x+y

6.已知a>0,则当9a+，取得最小值时,

a的值为（）

111

c3

A.9-B.-63_D.

7.若是R上周期为3的偶函数，且当0<xv|时，/(力=咋〃，则/卜£)=()

A.—2B.12C.—D.g

22

8.已知函数—3,若/■(/-2«)+〃5“-4)<0,则实数。的取值范围是

()

A.(YO,T)U(l,+oo)B.(-4.1)

C.(T»,T)(4,-KO)D.(-1,4)

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.如果a是第一象限的角，则-a是第四象限的角

B.如果a,4是第一象限的角，且&<7?,则sinevsin/7

C.若圆心角为7的扇形的弧长为乃，则该扇形面积为?

D.若圆心角为，的扇形的弦长为46，则该扇形弧长为1

10.下列不等关系正确的有（）

A.若则B.若x>y,则孤〉/

C.若x>y,则;？>y3D.若a>b,c>d,则

11.关于函数〃x）=sin（2x+g）,xeR,下列命题正确的是（）

A.函数y=/（x）的图象关于点卜7,0卜寸称

B.函数y=/（x）在,专注）上单调递增

C.函数y=/（x）的表达式可改写为y=cos（2x-小

D.函数y=/（x）图像可先将y=sinx图像向左平移g,再把各点横坐标变为原来

0

的3得到

试卷第2页，共4页

三、单选题

12.下列结论中是正确的有()

A.函数〉=/-3*_4的零点是(4,0),(-1,0)

B.已知基函数y=(〃--3M+3)，-z的图象不过原点，则实数附的取值为1

C.函数f(x)=2+log“(x+l)(其中a>0且.Hl)的图象过定点(0,2)

D.若〃司=1叫任+6-。)的值域为口，则实数。的取值范围是(^,-4)(0,田)

四、填空题

13.已知f(«+l)=x-2,则/(力=.

14.求值：sin70°sin50°+cos110°sin40°=.

15.函数/。)=1。80.3(2》-9)的单调递减区间是.

Y~+2xxv]

,'"，若函数y=/(x)-无恰有两个不同的零点，则实数左

1X,x>1

的取值范围是—

五、解答题

17.(1)化简求值：(0.064r-(1-l)°_(3*j+*2+log2(4>Q)

35cos2a

(2)已知sina=m，cos(a+/?)=—,a,4为锐角，求丁方的值.

18.定义一种新的集合运算A：AAB={x\xGA,HxeB].

31

若集合A={X|4X2+9X+2＜。},8=卜—7>Q,M=B^A.

x+1J

(1)求集合M；

⑵设不等式(x-2a)(x+a-2)<0的解集为P,若xwP是xeM的必要条件，求实数a

的取值范围.

19.已知函数/(%)=log“(aA-l)(a>0,a丰1)

⑴当a时，求函数f(x)的定义域；

⑵当时,求关于3的不等式⑴的解集;

20.如图，某公园摩天轮的半径为40机，点。距地面的高度为50m,摩天轮做逆时针匀

速转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点尸的起始位置在最低点处.

(1)已知在时刻r(分钟)时点尸距离地面的高度/(/)=Asin((yf+e)+〃，,>0,网4日,

求2018分钟时刻点尸距离地面的高度；

(2)当离地面5()+206机以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看

到公园全貌？

21.已知f3=$山(聿-2*).

(1)求函数在R上的单调递减区间；

⑵求函数在0,|上的值域；

(3)求不等式在［-兀,可上的解集.

22.已知函数/(力=甲一小2向

⑴若/［-£|=0,求°的值；

⑵讨论在区间卜1』上的最小值；

(3)记/(x)在区间［-U］上的最小值为g(a),若g(2疗+%)<g(〃?)对于eR恒成立,

求攵的范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

I.A

【分析】求出集合N,再求出McN即可得答案.

【详解】解：N={x,+2x=0}={-2,0},

故MN={0},

故选：A

2.C

【分析】由不等式得x>l,根据充分不必要条件的定义可判断出答案.

X

【详解】由不等式得x>l,

X

0<x<g是x>l成立的既不充分也不必要条件，故A不正确；

x>l是x>l成立的充要条件，故B不正确；

x>2是x>l成立的一个充分不必要条件，故C正确；

-l<x<3是x>l成立的一个既不充分也不必要条件，故D不正确.

故选：C

3.C

【分析】利用对数运算性质求出x,再代入计算即可.

【详解】由条件知log3(log2X)=l，所以1吗*=3,即X=23=8,

1_1_V2

所以£5=8^

故选：C.

4.A

【分析】根据函数定义域排除B,取特殊值排除C,根据函数的奇偶性排除D,得到答案.

【详解】小)="函数的定义域为R,不符合函数图像，排除B；

当x>l时，/(*)=丁一<0,不符合函数图像，排除C；

ITx|

I1

/W=lJ2=/(_x),故函数为偶函数，不符合函数图像，排除D.

x--l

故选：A.

5.D

答案第1页，共11页

【分析】由周期求出0,由平移变换求出。即可

【详解】由题。=至=2,则将该函数的图象向右平移£个单位后得到的函数为

y=3sin（2x-%+0）,图象关于点径,0］对称则2x1-=乃+夕=攵％.・.°=攵4+£（左£2）

3\6）633

I*1<!<.*=（故函数fM的解析式为Ax）=3sin（2x+?

故选：D

6.C

【分析】利用基本不等式求最值即可.

【详解】；a>0,

Z.9iz+->2>/9=6,

a

当且仅当9。=1，即〃=:时，等号成立，

a3

故选：C

7.C

【分析】根据“X）是R上周期为3的偶函数，结合对数运算求解.

【详解】因为/（x）是R上周期为3的偶函数，且当时，/（x）=log4x,

所以不同=娉卜心+外电）,

11

2

=log4-=log44=---

故选：C

8.B

【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，进而利用性质解抽象不等式即可.

【详解】Vy=x3,y=3'-3T均为奇函数，且为R上的增函数，

，函数/（x）为奇函数，在R上为增函数，

由/（/一2“）+/（5〃-4）<0,可得/（/一2。）<―/（5a-4）=f（4-5a）,

••cr—2。<4—5〃,即+3ci—4<0>

；・Yvav1,

故选：B

答案第2页，共11页

9.AD

【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C,D作

答.

7T

【详解】对于A,a是第一象限的角，即2%rva<2k乃+],A?Z,贝ij

乃

-—・2k兀<a<-2k兀,k?Z,

2

是第四象限的角，A正确；

对于B,令a=_"=ja,夕是第一象限的角，且夕<尸，而sina=sin4，B不正

66

确；

对于C,设扇形所在圆半径为r,则有?r=乃，解得/'=3,扇形面积S=；x3x;r=技，C

不正确；

对于D,设圆心角为《的扇形所在圆半径为依题意，〃一.万一％扇形弧长

3sin—

3

.2),87〜丁”

I=~r~r=~r~9D正确.

33

故选：AD

10.BC

【分析】AD选项可通过举反例判断其错误，BC选项可通过不等式性质判断.

【详解】A.若x=l,y=-2,满足x>y,但是则A错误；

B.由不等式基本性质6可知B正确；

C.由不等式基本性质7可知C正确；

D.若a=2,b=-2,c=-l,"=-2,贝ijac=-2,b"=4,

ac>bd不成立，D不正确.

故选：BC.

11.AC

【分析】对选项A,根据/(-看)=0即可判断A正确；对选项B,根据〃x)=sin(2x+。)

在区间(-先增后减即可判断B错误;对选项C,根据“X)=sin(2x+()=cos,.)

即可判断C正确；对选项D,利用三角函数平移变换的性质即可判断D错误.

答案第3页，共II页

【详解】对选项A,〃x)=sin3+?J,/1-^=sin^-j+|j=O,故A正确.

对选项B,因为—■—<x<—,pJf\^0<2x+—<――,

6633

所以〃x)=sin(2x+f在区间,鼠)先增后减，故B错误.

对选项C,/(x)=sin^2x+y^j=sin+=cos(2x_7),

故C正确.

对选项D,y=sinx图像向左平移看得到y=sin(x+。

再把各点横坐标变为原来的3得到丫="2'+7卜〃"，故D错误.

故选：AC

12.C

【分析】对于A：根据零点的定义运算求解即可；对于B：根据塞函数的定义与性质列式求

解；对于C：根据对数函数的零点分析求解；对于D：根据对数函数的性质结合二次函数运

算求解.

【详解】对于选项A：令y=J-3彳-4=0,解得4一1或X=4,

所以函数y=/-3x-4的零点是-1,4,故A错误；

-

对于选项B：由题意可得：2'.二，解得〃2=1或相=2,故B错误；

对于选项C：令x+l=l,解得x=0,则/(0)=2+log〃l=2,

所以函数/(x)=2+log«(x+l)(其中a>0且awl)的图象过定点(0,2),故C正确;

对于选项D：若/(力=唾2卜2+ox—a)的值域为R,则A=/+4aZ0,

解得“20或“W-4,实数。的取值范围是(7>,T]U[0,E),故D错误.

故选：C.

13.x2-2x-l(x>1)

【分析】利用换元法求解即可

【详解】令/=4+1。21)，则％=产一2.+1,

答案第4页，共11页

所以，(力=产-2£+1-2=/一2/-1«21),

即/(x)=x2-2x-l(x>1),

故答案为：X2-2X-1(X>1)

14.3

【解析】利用诱导公式及两角差的正弦公式化简计算即可.

【详解】sin70osin50°+cosll00sin40°=sin70°cos400-cos70°sin40°=sin(70°-40°)=^,

故答案为：y.

15.(0,1)

【分析】先求得函数的定义域，然后根据y=2x-V这个二次函数的对称轴，结合复合函数

同增异减来求得函数的减区间.

【详解】解：令f=g(x)=2x-x?=X(2-尤)，令g(x)>0,解得0cx<2,

而g(x)的图象的对称轴为x=l,故g(x)在(0,1]上单调递增，在(1,2)上单调递减，

又0<0.3<lny=log03f递减,

所以根据复合函数单调性原则得函数f(x)的单调递减区间是(0,1)•

故答案为：(0,1)

16.(-l,0]u[l,3]

【分析】题目转化为％=/(x),画出函数图像，根据图像结合函数值计算得到答案.

-4-2元X<]

【详解】"x)=।,y=/(x)-^=0,即％=〃x),画出函数图像，如图所示:

/⑴=3,/(-1)=-1,根据图像知：左«-1,0][1,3],

故答案为：(―

答案第5页，共11页

【解析】(1)根据基的运算性质和对数的运算性质即可求出；

(2)根据二倍角公式cos2a=I-2sin2a易求出cos2e,再根据cos尸=cos[(a+/?)-a]展

开即可求出cos夕，从而得解.

359

【详解】⑴原式+

3(4274

(2)因为sina=匚，。为锐角，所以cos2a=l-2sin2a=1-2x-=一,cosa=-.

5255

51?

而a,夕为锐角，即有0<a+4<兀，因为cos(a+〃)==,所以sin(a+/?)==，

故8s/?=cos[(a+夕)-a]=cos(a+夕)cosa+sin(a+/)sina=Kx[+£x[=^|,

7

“Xcos2a2513

从而——丁=芸=).

cosB5640

65

【点睛】本题主要考查基的运算性质和对数的运算性质的应用，以及两角差的余弦公式，二

倍角公式的应用，属于基础题.

18.⑴卜一；—<2

19

(2){a|a<--^,a>-}

【分析】(1)解不等式求得集合AB,根据集合新定义即可求得答案；

(2)由xeP是xeM的必要条件可得MaP,分类讨论，列出不等式组，求得实数”的取

值范围.

答案第6页，共II页

【详解】(1)由题意解不等式(4x+l)(x+2)<0得：一2<工<-；,

W--—>1,即---1=------>0,得一lvxv2，

X+lX+lX+1

故A=(无卜2<x<-w卜B=1x|—1<x<21,

=BAA={x\xGB,且X£A}=8C3A

=1x|-l<x<2|n{x|x<-2ngx>-^-}=<x~^<x<2

(2)若XEP是XEM的必要条件，则MqP.

c1

2-a<——

49

①当2。>2—。即〃>|时，P={x\

2-a<x<2a^,则42a22,B|Jci>—；

24

a>—

3

2

a<一

3

②当2a<2—Q即a<|■时，P=[x\la<x<2-ci\,贝i卜2a<—,即—；

48

2-a>2

2

③当2a=2-a即。=：时，P=0,此时不满足条件，

1Q

综上，所求实数。的取值范围为；或〃>：}.

19.(l)(-oo,0)；

⑵(0,1).

【分析】⑴由/-1>0可求得函数的定义域;

(2)求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，然后利用函数的单调性解不等式.

【详解】⑴当";时，”x)=bgT),故5一1>0,解得x<0,

故函数的定义域为(-8,0);

(2)/(x)=log„(ax-l)(a>1),由a*-1>0(a>1),得尤>0,

所以f(x)的定义域为(0,+。)，

答案第7页，共II页

任取X1,X2e(0,+CO),且X1<x?,贝II

X1r

f(x2)-f(xl)=\oga(a-l)-log„(a'-1),

因为x?,所以a%>1,

所以*-l>4-l>0，

t!

因为a>1,所以loga(a-1)>log“⑷-1),

所以所以“X)在(O,+8)上的单调递增,

/、，、[x>0

所以由〃X)</(1),得x<1,

解得0<x<l,所以的解集为(0,1).

20.(l)70m

(2)0.5分钟

【分析】(1)首先确定A〃，T,由此可求得。，结合/(0)=10可求得夕，从而得到了。)；

代入”2018即可求得结果;

(2)令/⑺>50+2(\々即可求得f的范围，由此可得结果.

【详解】(1)由题意知：A=4Q,/?=50,T=3,"co=~jr=~^

又/(0)=40sine+50=10,即sinp=-l,又阚《夕■-(P=~

2zrTC

.\/(r)=40sin一t——+50(r>0)；

32

2zr5冗

/(2018)=40sinx2018--+50=40sin—+50=70,

2J66

即2018分钟时点尸所在位置的高度为70，〃.

(2)由(I)知：/(r)=40sin^yf-|^|+50=50-40cosyr(r>0);

☆/(r)>50+206,.・.-40cos^t>20g,即cos等f<-当，

解得：2k7r+^-<^-t<2k7r+^-(k&N),即3Z+:<3左+:(左eN)；

,+(卜(34+T=《，二转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌.

答案第8页，共II页

It,It,

21.(1)fkn——yfan---,ZeZ

|_63_

⑵T,；

/r、fi57r兀_p.7i兀i

(3){工|一彳<工<一5或Z<不<5}.

【分析】(1)通过诱导公式可得函数/(x)的单调递减区间相当于函数y=sin[2x-^J的单

调递增区间，直接由正弦函数的单调性即可得结果；

(2)通过x的范围得出?-2x的范围，由正弦函数的性质即可得结果;

6

(3)先求出在R上的解集，再结合给定区间即可得结果.

【详解】(1)/(x)=sinf^-2xj=-sin^2x—,

二函数f(x)的单调递减区间相当于函数y=sin(2x-「|的单调递增区间,

令2%一7上T£2^71--IT,2^71+7-T,kwZ,

6L22_

7T7T

则x£kn--y,kwZ,

63

TTTT

・•・函数在R上的单调递减区间为kit--,kn+-,keZ.

o

Tt

(2)xe0,—,

_2_

兀八「5兀兀

--2x£,—.

666」

当3—21=一弓，即x=g时，

O2J

当2—2x=£,即x=0时，/(%)_=/(0)=1,

oo2

jr1

二函数f(x)在0,-上的值域为-i,-.

(3)〃x)=sin(t-2x]<-；,

2/c7t----<—2.x<2E—,kEZ,

666

.71.7C,

/.—ku+—<x<—kn+—,kEZ,

62