高等数学函数与极限题库 含参考答案

函数与极限题库

、选择题

1.下列函数相同的是(D).

于(x)=卮,g(x)=x

A、/(九)=|x|,g(x)=(«)2B、

C、/(x)=Inx2,g(x)=21nxD、/(x)=lnx2,g(x)=21n|x|

2-x,x<0,fx<f)

2.设函数g(x)=</(%)=''则矶/(x)]=(D).

x+2,x>0,-x,x>0,

2

2+X2,X<0,2-x,x<0,

A、<B、《

2-x,x>0.2+X2,X>0.

2-x2,x<0,2+X2,X<0,

C、《D、

2-x,%>0.2+x,%>0.

3.函数y=J3—f+ln1的自然定义域为(C).

A、｛x10<x<s/3｝B、｛x|0<x<^3｝

C、｛x|0<x<百｝D、｛x|0<x<>/3｝

4.设/(x),g(x)是［-/,/］上的偶函数，/z(x)是［-/,/］上的奇函数，则中所给的函数

必为奇函数。(D)

A、/(x)+g(x)；B、f(x)+h(x)；C、f(x)［g(x)+h(x)］；D、f(x)g(x)h(x)=

5.数列｛%｝有界是数列｛七｝收敛的(B)条件.

A、充分非必要B、必要非充分

C、充分且必要D、既非充分又非必要

6.关于数列［二一］的说法正确的是(D)

［10"J

A、极限不存在B、极限存在且为1C、极限情况无法确定D、极限存在且为0

7./(%)在/的某一去心邻域内有界是存在的(C)

A、充分必要条件；B、充分条件；C、必要条件；D、既不充分也不必要条件.

8.函数在一点的极限存在和函数在该点的左右极限的关系是(A)

A、若左右极限都存在且相等，则函数在该点极限存在

B、若函数在该点极限存在，则左极限不一定存在

C、若函数在该点极限存在，则右极限不一定存在

D、若函数在一点极限不存在，则左右极限中至少有一个不存在

9.«(%)=---,/3(x)=l-y/x,则当无一>1时有_____。(C)

1+x

A、。是比高阶的无穷小；B、a是比低阶的无穷小;

C、a与尸是同阶无穷小;D、a〜0

10.下列说法正确的是（B）

A、非常小的数是无穷小B、零是无穷小

C、两个无穷小的商是无穷小D、两个无穷大的和是无穷大

11.设函数—则当xf0时，有（A）.

A、y（x）与x是等价无穷小

B、/（x）与x是同阶非等价无穷小

C、/（x）是比x高阶的无穷小

D、/（x）是比x低阶的无穷小

%_]JQ<]

12.设函数/(%)=—―'-'则/'(X)在x=l处(C).

3-ln(x-l),x>l,

A、左、右极限都存在B、左极限不存在，右极限存在

C、左极限存在，右极限不存在D、连续

13.极限lim生当X=(C)

73x

23

A、0B、1C、D、

32

2-l，

14.当尤f1时，函数-x----"T的极限（D）

X-1

A、等于2；B、等于0；C、为oo；D、不存在但不为oo。

15.数列极限（九一=。（B）

M—>CO

A、1；B、一1；C、oo；D、不存在但非co。

「sinx/—

16.lim-------=(D

\x

A、1；B、-1；C、0；D、不存在。

£

17.lim(l-x)x=(D)

%-o

-1

A、1；B、1；C、e；D、eo

18.limX(A/X2+1-x)=(C)

X—>00

A、1；B、2c；Cc、一1；D、0o

2

无之

19.已知函数/(%)=<'f)<—X<—]'在x=l处连续，贝lja=____.(D)

a+x.1<x<2,

A、1B、不存在C、2D、0

x-1,x<0

20.函数/(x)=0,x=0在x=0点的极限情况是(B)

x+1,x>0

A、极限存在等于0B、极限不存在C、极限存在且为1D、极限存在且为T

2

x-l

21.x=l是函数y=—y的(A)间断点

A、可去B、跳跃C、无穷D、第二类

22.x=l是函数y=吉的(D)间断点

A、可去B、跳跃C、第一类D、第二类

+x-1

23.函数/(%)=<>1+%一1’*”一，在1=0处连续，则左=o(A)

kx=0

2।八

A、2B、—；C>1；D>0o

23

sinx

XH-----x---<--0

X

24./(x)=,0x=0,则x=0是/(x)的o(C)

1

xcos—x>0

X

A、连续点；B、可去间断点；C、跳跃间断点；D、振荡间断点。

25.函数/(X)在点x=x0处有定义是当工—%时/(%)有极限的(D)条件.

A、必要B、充分C、充要D、无关

26.(君)都存在是四”(九)存在的(B).

A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、无关条件

27.若lim/(x)=oo,limg(x)=oo,下列正确的是(D).

X—>xo\/X—>AQ\/

A、lim(/(x)+^(%))=ooB、则小)-g(x))=°

与

C、lim——------=0D、lim4f(%)=oo(左为常数，kwO)

x->Ab

28.若/(%)在闭区间［凡可上取得最大值M和最小值加，贝hB).

A、/(x)在［〃,可上一定连续B、4工)在［〃,可上不一定连续

C、必有/(a)=M/(，)二mD、必有/(a)=加,/(，)="

29.设函数满足/z(x)</(x)<g(x),且lim〃(％)=a,limg(%)=「,〃£>,则lim/(%)

X-X-X-

(C).

A、一定存在，在。力之间B、一定存在，等于〃或Z?C、不一定存在D、一定不存在

30.设函数〃x)=%5二1，则尤=0是〃%)的(D).

ex+1

A、可去间断点B、连续点C、第二类间断点D、跳跃间断点

31.当X—>0时，l-cosx与xsinx相比较(D).

A、是低阶无穷小量B、是等阶无穷小量C、是高阶无穷小量D、是同阶无穷小量

32.若函数/(幻在某点与极限存在，贝曙B).

A、/(x)在玉)的函数值必存在且等于极限值

B、/(x)在玉)的函数值可以不存在

C、/(x)在/的函数值必存在，但不一定等于极限值

D、如果/(%)存在则必等于极限值

33.下列极限计算正确的是(D).

(1V1sinx1

A、lim1+—=eB、limxsin—=1C、lim----=1D、limxsin—=1

Xf01X)x—0Xxf8xXf8X

二、填空题

L"x)=1+J100-4的定义域是一一10。<2且THI——•

一书

2.函数y=Ji—%?+arctan2x的定义域为_-1<X<1—

3.设/(%+1)=%n+3x+5,则/(犬)=_+%+3______.

4.设〃%)=卜+1则勤/(乃=].

cosxx>0

5.设〃x)==i,则(1)1山^⑴二.1,(2)lim/(x)=

1

JX\-121x—>0--------------------------x—>oo----------

1-

6.函数〃无)=—心匕一的连续区间是__[_i,i)_(i,^x))—.

(x-l)(x+2)

x2-1,x<0

7.设函数/(元)=卜，0<x<l的间断点x=0

2-x,l<x<2

,4-41

8./(%)=，%2—2,当。=3时，/(%)在X=1处连续.

ax=l

9.若lim(l+—)2，=e,则左=1

X2

10-lim(l+tanx)x-e2

11.极限lim—sinx=___0______

X—>00JQ

Y2—4

12.极限lim----=4

x-2

X-1

13.X=1是函数y=-----的可去_______间断点。（填:可去、跳跃或者第二类）

X—1

14.单调且_______有界的数列一定有极限。

,1+2+3+...+n—11

15.极限hm--------------_____—_______

asri2

16.函数y=3%+sin2x的连续区间为（-oo,+oo）

17.x-0时，tan2x是sin3x的一同阶无穷小。（填：高阶，低阶，同阶）

%

18.已知刖5)=l+c°sx,则e)=_2sin%

3尤11

19.函数/(x)=arcsin----的定义域是___--<x<—

1+x42

20.lim(yjn+J〃+l)(J〃+2—y/n)=2

n—>+co

21.x-0时，tanx-sinx是x的__3阶无穷小。

22.limexarctanx=__0。

%f-00

e*+]r>Q

23.f(x)=\'在x=0处连续，贝ijb=—2

x+Z?,x<0

.rln(3x+l)1

24.lim----------=___—____o

%-。6x2

25.设/(x)的定义域是[0,1],则/(Inx)的定义域是—[l,e]

26.函数y=l+ln(x+2)的反函数为y=ex~l-2

27.设。是非零常数，则—。

asx-a

28.设函一数“小、)=■e~x,，x<x0>0,则/、cLosxxx—<0

r2-4

29.函数/(%)=------的水平渐近线为_____y=l_____.

x-x-2

“「sinax八7八\a

30.lim------z(aw0,bw0)=___—________.

%-0sinbxb

23

31.设+—)"=e-3,则％=_.

%-cox2

32.如果函数/'(x)当a时的左、右极限均存在，但/'(x)在x=a处不连续，则称

间断点x=a为第——一类间断点.

jr

33.如果x-0时，要无穷小量（1一cos%）与asin?万等价，a应等于2

三、计算题

%2—3x+2

1.lim-------------

x+4元-5

解：原式=lim(t1)(x二2)=[im==—!

x-i(1—1)(冗+5)犬+56

2.lim----------------r

111一％1-x

解：原式=lim---------------二lim——=

n(1一x)(l+x)31+%2

1.y/5x—4-yfx

3.lim-------------------

TX-l

角麻原式=lim------------/——==lim/——尸=2

*川(x-l)(j5x-4+Jx)J5%一4+Jx

4.lim+3尤+2—九

x—>4-00\

3+2

3+23

解：原式=lim,r=——二limX

f°G+3%+2+%…i3Ai2

+X+X+

5.limfl--Y

XJ

解：原式=lim1+」一

XfcoX

<、4?

1-COSX

6.lim

x-»0-1

7

解：原式=|吧a4

「tan3%

7.lim---------

%-。sin5%

3丫3

解:原式二lim——=—

35x5

2

「3X+2X+2021

8.lim-----------------------

…7X2+10X+2020

2021

3

解:原式二lim

r1020207

7+—+^^

x-3,x<0

9.请分析函数/(%)=10,%=0在x=0处的极限情况。

x+6,x>0

解：lim/(x)=limx-3=-3

x—>0-x—>0-

limf(x)=lim%+6=6,

%-o+Xfo+

lim/(x)wlim/(九)，所以/(%)在冗=0处极限不存在

x->0-%.0+

1-COSX

10.lim

x->0xsinx

x2

解：原式=lim3=，

x2

2

「7X+3X-2

11.lim--------------

%-002x+l

rc2

7x+3—

解：原式=lim--------二工=oo

2+-

x

12.请求出函数—的间断点并判定其类型。

X2-3X+2

解：y=--------------，在x=1和x=2处有间断点

(x-l)(x-2)

x-1

lim-1,为第一类可去间断点;

Xf1(x-l)(x-2)

x-1

lim为第二类无穷间断点

x—>2(x-l)(x-2)

x

13.吁si『

(.x\

sin——r

解：原式=lim212x=2x

n—>coX

n-\

27

CSCx-cotX

14.lim

x->0X

1COSXx2

sinxsin尤_^l^cosx

解:原式二lim

xfOXxsinx

i

15.hmx(ex-1)；

00

角星：原式二lim1("-1)=lim[Q)=1

-0t1ot

3x

2x+l

16.lim

X—>002x-l

解：原式=lim3

x—>00

「8cos2x-2cosx-l

17.lim------------------------

X^-2cosx+cosx-1

3

解：原式=1岬“J2"1=[岬"？⑹+2)=^8£+2=2

Y2t+iT”g)⑵+2)2t+2

A/1+xsinx-Vcosx

18.lim

x->0xtanx

xsinx+1-cosx

解:原式二lim

%-oxtan%(J1+尤sin%+Jcos%)

1(xsinx-1-cosx、3

—lim----------Film---------—lim]+lim乌

2xtanx%一。xtanx)2…x2…x24

k7

19.lim-------1--------bd-----------；

〃—8(1X22X3n(n+l)?

解：lim---+-------=liml-----=1

f°i223nH+1n+\

nn「ln(l+V2^x)

20.lim--一<；

arctanv4-x2

解：原式二lim—ln(l+p^^(%=t-2)

arctanW-r2

i.亚i.11

=lim-----==lim=—j=

i#/4—2-0^/f4-t孤

21.lim(l+3tan2x)cot2x

X-o