江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期第一次调研数学试卷

2023-2024学年江苏省宿迁市沐阳县九年级第一学期第一次调研

数学试卷

一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分.）

下列方程中，是一元二次方程的是（)

A.x(x+1)=x2B.(x-1)(x+2)——

X

C.x2^-bx+c=0D..r2-2xy+y2=0

2.已知3a—2b（aWO,,下列变形错误的是（）

3__2且上包工

A.B.cD.包上

b3a3a223

3.已知XI、X2是一元二次方程N+4x+3=0的两根，则X1+X2+1VIX2的值为（）

A.-2B.-IC.ID.2

4.能判定△ABCs△QEF的条件是（）

胆ACAC

A,=B.—=ZA=ZF

DEDFDEDF

妲AC

CL,NB=NED.空=ZA=ZD

DEDFDEDF

5.若〃是。和c的比例中项，则关于x的一元二次方程nF-2以+c=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

6.如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△£：£/,则NABC+/ACB

的度数为（）

A.135°B.90°C.60°D.45°

7.已知关于》方程/+公+。=0的两个实数根是制=2,及=-3,则方程(x-4)2+b(x-4)

+c=0的两个实数根是()

A.x\="2,X2=-1B.xi=2,X2=1

C.xi=6,X2=-1D.xi=6；%2=1

8.如图，已知在Rt/XABC中，ZC=90°,点G是△ABC的重心，GE_LACf垂足为E,

如果CB=8,则线段GE的长为()

CB

二、填空题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题纸相应位置上)

9.关于x的一元二次方程N=3x的解为.

10.已知三=3，则士生的值为

y3y--------------------------

11.已知关于x的一元二次方程2x2-3x-k=0的一个根为1,则另一个根

为.

12.已知点C是线段A8的黄金分割点(AOBC),若线段AB的长10cm,则线段AC的

长为.

13.已知〃是关于x的方程N-2%-2021=0的根，则代数式加2--2”+2023的值

为.

14.在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿

平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道(如图中阴影部分所示)，剩下部分种植

蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为米.

15.若关于x的一元二次方程依2_6x+9=0有实数根，则k的取值范围

是.

16.如图，过原点。的直线与反比例函数yi="(JC>0)和"(x>0)的图象分别

xx

0Aiok]

交于点A”A,若则二」

2k

0A222

17.如图，在平面直角坐标系中，点A、8的坐标分别为(-4,0)、(0,4),点C(3,

n)在第一象限内，连接AC>BC.已知N8。=2NCAO,则n

18.如图，在△A8C纸板中，AC=8,8c=4,AB=\\,P是AC上一点，过点尸沿直线剪

下一个与aABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围

三.解答题：(本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

19.解下列方程

x2-2x-1=0；

(2)x2-6x+9=(2x-1)2.

20.如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为0(0,0),B(3,-1)、C(2,1).

(1)以点。(0,0)为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△O8C放大为△

OB'C,放大后点8、C两点的对应点分别为B'、C,画出△OB'C,并写出点

夕、C的坐标：B'(,),C'(,)；

(2)在(1)中，若点〃(x,y)为线段8c上任一点，写出变化后点M的对应点M'

22.小明同学要测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长

为0.8米，同时测量旗杆A8的影长时;由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长

BC为6米，留在墙上的影高CO为3米，请利用以上信息，求旗杆4B的高度.

□□

□□

□□

□□

□□

23.已知关于x的方程r-2(%-2)x+R=0有两个实数根X”X2.

(1)求女的取值范围;

(2)若Xl+X2=1-X1X2,求A的值.

24.新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平

均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价

每降低1元时，平均每天就能多售出2件.

(1)若降价2元，则平均每天销售数量为件；

(2)当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？

25.己知：如图，矩形。EFG的一边QE在△ABC的边BC上，顶点G、尸分别在边AB、

AC上，AH是边BC上的高，A"与GF相交于点K,已知BC=12,AH=6,EF：GF=

1：2,求矩形OEFG的周长.

26.如图：在矩形4BCD中，AB=6m,BC=8〃z,动点P以2/n/s的速度从A点出发，沿AC

向C点移动，同时动点Q以Im/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点

移动的时间为f秒(0<f<5).

(1)f为多少时，以尸、。、C为顶点的三角形与△ABC相似？

(2)在P、。两点移动过程中，四边形A8QP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此

时，的值；若不能，请说明理由.

27.若一元二次方程以2+法+0=0QW0)的两实数根为耳、及，则两根与方程系数之间有

如下关系：©+及=■，加也=£.这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应

aa

用很多，请完成下列各题：

(1)已知。、匕是方程x2+15x+5=0的二根，求亘上的值.

ba

x=x[fx=x2

(2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x,y

=

yYiy=y2

的方程组X-y+k=°的两个不相等的实数解.问：是否存在实数3使得

,x-y=l

X1x2

-=2?若存在，求出该式的％值，若不存在，请说明理由.

Y1iY2o-x--2--~~X1

28.在四边形A8CD中，EF分别是AB、AO边上的点，DE与CF交于点G.

(1)如图1,若四边形A8C。是正方形，且OEJ_CF,求证：DE=CF；

(2)如图2,若四边形ABCO是矩形，且。E_LCF,求证：空我；

CFCD

(3)如图3,若四边形ABC。是平行四边形，试探究：当NB与/EGC满足什么关系

时，弟我成立？并证明你的结论.

CFCD

参考答案

一.选择题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题纸相应位置上)

1.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.x(x+1)—X2B.(x-1)(x+2)=—

x

C.x2+bx+c—OD.x2-2xy+y2—0

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

解：A.x(%+1)=N整理可得x=0,是一元一次方程，故本选项不合题意；

B.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；

C./+法+°=0,是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；

D.x2-2xy+)2=0是二元二次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关

键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一

元二次方程.

2.已知3。=28(。/0,匕#0),下列变形错误的是()

人a2r,b2cb3ab

b3a3a223

【分析】根据比例的性质进行变形，再判断即可.

解：A、-：3a=2h,

两边都除以泌得：且=?,故本选项不符合题意；

b3

B、\*3a=2b,

两边都除以2a得：且=提，故本选项符合题意；

a2

。、3a=2b,

两边都除以2a得：？=热，故本选项不符合题意；

a2

D.・：3a=2b,

两边都除以6得：4=4'故本选项不符合题意；

23

故选：B.

【点评】本题考查了比例的性质，能熟练地运用比例的性质进行变形是解此题的关键.

3.已知XI、X2是一元二次方程必+4工+3=0的两根，则X1+X2+2X1X2的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】利用根与系数的关系得到%l+X2=-4,X1X2=3,然后利用整体代入的方法计算

X\+X2+2XIX2的值.

解：根据题意得：X\+X2--4,X|X2=3,

所以xi+x2+2xix2=-4+2X3=2.

故选：D.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若M、X2是一元二次方程如2+bx+c=0

=

（aWO）的两根时,Xi+x》="~，x.x9~-

14ai"a

4.能判定△ABCs△ofF的条件是（）

A旭=旭ABAC

,乙4=//

■DEDFDEDF

ABAC

,ZA=ZD

DEDF

【分析】根据相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形

的相似，进行判断即可.

解：A、当祟/时，不能判定△ABCS^OEF,故A不符合题意；

DEDF

B、当里■事，时，可判定△4BCSZ\Z）EF,故B不符合题意；

DEDF

C、当强■塔，NA=N£＞时，可判定故C不符合题意；

DEDF

D、当强■塔，N4=N£＞时，可判定△ABCS^DEF,故。符合题意；

DEDF

故选：D.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：

两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似.

5.若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程以2-26x+c=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【分析】由b是。和c的比例中项，得出b2=ac,再进一步由一元二次方程以2+2W+C

=0根的判别式探讨得出答案即可.

解：•.》是〃和c的比例中项，

.'.b2=ac,

——元二次方程ax2-2bx+c=0根的判另ij式：（-2b）2-4ac=4Z?2-4ac=0,

一元二次方程ax2+2bx+c^0有两个相等的实数根.

故选：B.

【点评】此题考查根的判别式的运用，以及比例中项的意义，注意整体代入思想的渗

透.

6.如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和则NABC+/ACB

的度数为（）

A.135°B.90°C.60°D.45°

【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出.

解：；AB=娓、AC=V7^,BC=5,DE=近、EF=2,DF=y/~1Q,

.AB_AC_BC_V10

下一后卜一市―-2-,

.♦.△ABCs△£）£/，

.../BAC=/OEF=180°-45°=135°,

.•./A2C+NAC8=180°-ZBAC=45°.

故选：D.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等.

7.已知关于元方程/+法+。=。的两个实数根是幻=2,X2=-3,则方程（x-4）2+b（x-4）

+c=0的两个实数根是（）

A.xi一2,%2=-1B.xi=2,%2=1

C.xi=6,X2=~1D.xi=6；%2=1

【分析】设t=x-4,则方程(x-4)2+b(x-4)+c=0变为t2+ht+c=O,根据方程N+bx+c

=0的两个实数根是XI=2,X2=-3,得X-4=2或-3,即可求出方程(x-4)2+b(x

-4)+c=0的两个实数根.

解：设-4,则方程(x-4)2+b(x-4)+c=0变为於+初+c=0,

:方程X2+Z?X+C=O的两个实数根是XI=2,X2=-3,

'.t=2或-3,

.\x-4=2或-3,

.,.x—6或1,

二方程(x-4)2+b(x-4)+c=0的两个实数根是xi=6,X2=l.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键.

8.如图，已知在RtZVlBC中，NC=90°,点G是△ABC的重心，GE1AC,垂足为E,

如果CB=8,则线段GE的长为()

CB

【分析】延长AG交BC于D,如图，利用三角形重心的性质得到CD=BD=4,AG=

2GD,再证明GE〃CD,则可判断△AEGS/XACD然后利用相似比可求出EG的长.

解：延长AG交BC于。，如图，

•.•点G是△ABC的重心，

.".CD=BD=—BC=4,AG=2GD,

2

'：GELAC,

：.Z/4EG=90°,

而NC=90°,

J.GE//CD,

：./\AEG^/\ACD,

.EG一AG一AG一2

.而■—而'—AGKD一q'

：.EG=—CD=—X4=—.

333

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶

点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质.

二、填空题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题纸相应位置上)

9.关于x的一元二次方程x2—3x的解为xi=于及=3.

【分析】利用因式分解法解方程.

解：x2=3x,

x2-3x=0,

x(x-3)=0,

解得：xi=0,X2—3.

故答案为：X|=O,X2—3.

【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方

法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

io.已知三=3，则"的值为4.

y3y-3—

［分析］根据合比性质，可得答案.

故答案为：

【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键.

11.已知关于X的一元二次方程2x2-3x-%=0的一个根为1,则另一个根为《.

一2一

【分析】根据两根之和等于-上，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根.

解：；关于x的一元二次方程2x2-3x-k=0的一个根为1,设方程的另一根为7,

2，

即另一个根为日.

故答案为：4-

【点评】本题考查了根与系数的关系：X”X2是一元二次方程办2+法+C=0(«¥0)的两

bc

根时，Xl+X2=---，X1>X2=­•

aa

12.已知点。是线段AB的黄金分割点(AO8C),若线段A8的长1057,则线段4C的

长为(5A/S-5)cm.

【分析】根据黄金分割的定义得4。=近二48,代入A8的长计算即可.

2

解：；点C是线段A3的黄金分割点(AOBC),AB=\Ocm,

."C=在"I人8=在"IX10cm=(5J5-5)cm,

22"

故答案为：(575-5)cm.

【点评】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键.

13.已知〃?、〃是关于x的方程/-2%-2021=0的根，则代数式机2-4机-2"+2023的值为

4040.

2

【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出m-2m=202\,m+n=2,

将原式化简求值即可.

解：；山、”是关于x的方程N-2x-2021=0的根，

.,.m2-2/n=2021,m+n=2,

.\m2-4m-2〃+2023

—m2-2m-2(m+n)+2023

=2021-2X2+2023

=4040,

故答案为：4040.

【点评】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握

一元二次方程根与系数的关系是解题关键.

14.在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿

平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植

蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为1米.

【分析】设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20-x）米，宽为（10-x）米的

长方形，根据“剩下部分种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于x的

一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

解：设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20-x）米，宽为（10-x）米的长方

形，

根据题意得：（20-x）（10-x）=171,

整理得：/-30X+29=0,

解得：M=1,及=29（不符合题意，舍去），

小道的宽为1米.

故答案为：1.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

15.若关于x的一元二次方程fcv2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是且k#

0.

【分析】根据一元二次方程有实数根，可得按-4ac=（-6）2-4h9=36-364，0,再

根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可.

解：•.•关于x的一元二次方程近2-6x+9=0有实数根，

；.△=（-6）2-4h9=36-36Z20,

解得kW1>

又•••日2-6A+9=0是关于x的一元二次方程,

“W0,

.”<1且20,

故答案为：々W1且AW0.

【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别

式和一元二次方程的定义是解题的关键.

16.如图，过原点0的直线与反比例函数yi=2L(x>0)和(x>0)的图象分别

xx

0A)okin

交于点4,A2,若则丁4.

-

0A22k2—4

【分析】XQA\NsMOAIM,根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解.

解：分别过点4、4作x轴的垂线，垂足分别为M、N,

则△OA2M和△04N的面积比为：9：4,

k,2SAOA.MQ

而「J砥：———=4-

k22SAOA.N4

故答案为：-y.

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，利用三角形相似比的平方等

于面积比是解题的关键.

17.如图，在平面直角坐标系中，点A、8的坐标分别为(-4,0)、(0,4),点C(3,

〃)在第一象限内，连接AC、BC.已知/BC4=2NCAO,则"=普

一5-

【分析】作CO_Lr轴于D,CE_Ly轴于E,则BE=4-”，CE=3,CD=〃,4。=7,根

据平行线的性质得出NECA=/CAO,根据题意得出/BCE=/CA。，通过解直角三角

形得到tan/CA0=SD=tan/8CE=毁，即可得到心上^,解得即可.

ADCE3+43

解：作C£)J_x轴于£>,CEJ_y轴于E,

•.,点4、B的坐标分别为(-4,0)、(0,4),点C(3,〃)在第一象限内，则E(0,

n),D(3,0),

：.BE=4-n,CE=3,CD=n,A£>=7,

'JCE//OA,

：.ZECA=ZCAO,

'：ZBCA^2ZCAO,

：.ZBCE^ZCAO,

在RtaCAQ中，tan/CAO=里，在RtZ\CBE中，tan/BCE=些，

ADCE

型;吗即

ADCE3+43

解得〃=¥，

5

故答案为善.

5

【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，证明N8CE

=/CA。，得出丝=丝是解题的关键.

ADCE

18.如图，在aABC纸板中，AC=8,8c=4,A6=ll,P是AC上一点，过点P沿直线剪

下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围

是6W4PV8.

【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范

围.

解：如图所示，过P作PO〃AB交BC于。或PE〃8c交AB于E,则

或△APEs”08,

此时0<AP<8；

如图所示，过尸作交4B于凡则△APFS/\ABC,

如图所示，过尸作/CPG=NC8A交BC于G,则△CPGSACBA,

此时，△CPGS^CBA,

当点G与点B重合时，CB2=CPXCA,即42=CPX8,

:.CP=2,AP=6,

...止匕时，6WAPV8；

C

A-"r―---------------—(G)

综上所述，AP长的取值范围是6WAPV8.

故答案为：6WAPV8.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相

等.

三.解答题：(本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

19.解下列方程

⑴N-2x-1=0；

(2)x2-6x+9=(2x-1)2.

【分析】Q)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

解：(1)N-2%-1=0,

x2-2x=1,

X2-2x+l—2,即(x-l)』2,

1=±亚，

/.XI=1+^/2，X2=l-1/2；

(2)x2-6x+9=(2x-1)2,

(x-3)2-(2x-1)2=0,

[(x-3)+(2,r-1)][(x-3)-(2x-1)]=0,

3x-4=0或-x-2=0,

...XI=—4,X2=-)2.

3

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属

于基础题型.

20.如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为0(0,0),B(3,-1)、C(2,1).

(1)以点。(0,0)为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△

OB'C,放大后点8、C两点的对应点分别为B'、C,画出△OB'C,并写出点

B'、C的坐标：B'(-6,2),C(-4,-2)；

(2)在(1)中，若点M(x,y)为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M'

【分析】(1)延长B。，CO,根据相似比，在延长线上分别截取AO,BO,CO的2倍,

确定所作的位似图形的关键点A',B',。再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位

似图形△08C；再根据点的位置写出点的坐标即可；

(2)M'的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数.

解：⑴如图

B'(-6,2),C(-4,-2)

【点评】本题考查了画位似图形.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别

连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图

形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

AR9

21.已知如图，直线A力〃BE〃C/，—,DE=6,求Ef的长.

AC3

D

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到黑=瞿，求出DF,再根据EF=DF-DE

ACDF

即可得出结果.

解：'：AD//BE//CF,

•ABDE

AC-=DF

..AB=2

.而一石DE=6,

：.DF=9,

：.EF=DF-DE=9-6=3.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

22.小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长

为0.8米，同时测量旗杆A8的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长

8c为6米，留在墙上的影高CO为3米，请利用以上信息，求旗杆48的高度.

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【分析】过。作QEJ_AB于E,首先证明四边形CD8E为矩形，可得8c=Z)E=6,CD

—BE—3,设AE=x,则仔，求出x即可解决问题.

0.86

解：过。作于E,

'：DC±BC,AB1BC,

；.NEBC=NDCB=NDEB=90°,

二四边形QCBE为矩形，

：.BC=DE=6,CD=BE=3,

设AE=x,

0.86

解得：x=7.5,

...旗杆的高A8=4E+8E=7.5+3=10.5米.

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【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型.

23.已知关于x的方程X2-2(«-2)x+N=O有两个实数根x”及.

(1)求％的取值范围；

(2)若Xl+X2=1-X1X2,求上的值.

【分析】(1)根据△》()，列出不等式，解不等式即可；

(2)利用根与系数的关系，把问题转化为方程即可解决问题；

解：(1)由题意△>(),

.\4(&-2)2-4g0,

(2)"."XI+X2=2(R-2),xtX2=k2,

A2(&-2)=1-R,

解得k=-或-1-

:.k=-I-yf().

【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

24.新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平

均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价

每降低1元时，平均每天就能多售出2件.

(1)若降价2元，则平均每天销售数量为24件；

（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？

【分析】（1）根据平均每天销售量=20+2X降低的价格，即可求出结论；

（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润=每件利润义

销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

解：（1）20+2X2=24（件）.

故答案为：24.

（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2%）件，

依题意，得：（40-x）（20+2x）=1200,

整理，得：x2-30x+200=0,

解得：xi=10,X2—20.

当x=20时，40-x=20<25,

.\x=20舍去.

定价=80-10=70（元）

答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

25.已知：如图，矩形OEFG的一边QE在△ABC的边8C上，顶点G、尸分别在边A3、

4c上，AH是边BC上的高，A”与GF相交于点K,已知BC=12,AH=6,EF：GF=

1：2,求矩形DE/G的周长.

【分析】设EF=x,则GF=2x.根据GF〃BC,AH_LBC得到AKLGF.利用G尸〃BC

得到△AGFS^ABC,然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值,

进而求得矩形的周长.

解：设EF=x,则GF=2x.

'：GF//BC,AHLBC,

：.AKLGF.

'：GF//BC,

：./\AGF^/\ABC,

•AK=GF

"AH-BC'

VAH=6,BC=\2,

•6-x一2x

,，-6-―12'

解得x=3.

矩形QEFG的周长为18.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，难度适

中.

26.如图：在矩形ABCD中，AB=6m,BC=8w,动点P以2/n/s的速度从A点出发，沿4c

向C点移动，同时动点。以lm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点

移动的时间为t秒(0<f<5).

(1)f为多少时，以P、0、C为顶点的三角形与△ABC相似？

(2)在P、。两点移动过程中，四边形ABQP与△CP。的面积能否相等？若能，求出此

时，的值；若不能，请说明理由.

【分析】(1)先利用勾股定理计算出AC=10,由于/PCQ=N4CB,根据三角形相似

的判定，当NPQC=NB时可判断CQPs^CBA,利用相似比得到也冷=_|；当/

PQC^ZBAC时可判断△CQPs^CAB,利用相似比得到四答=心,然后分别解方

O10

程求出/的值即可；

(2)作PHYBC于H,如图，先证明△CPHs^CAB,利用相似比可得到PH=

殁善■，再利用四边形48Q尸与△CPQ的面积相等得到S.C=2SAC/12,利用三角形面

积公式得到2・得十丝普=得・6・8,然后解关于/的方程可判断四边形ABQP与△CPQ

43乙

的面积能否相等.

解：(1)在RtaABC中，AC=VAB2+BC2=762+82=10(cm),

VZPC(2=ZACB,

二当NPQC=/B时，△CQPs/\CBA,则生=",即比红=工，解得.=殁

ACCB10813

当NPQC=NBAC时，XCQPs4cAB,则空=以，即比21=_L,解得

CBCA8107

时，以P、Q、C为顶点的三角形与△A8C相似;

(2)四边形48Q尸与402。的面积不能相等.理由如下:

作P”_L8C于H,如图,

'：PH//AB,

：.^\CPH^/\CAB,

.PHPC0nPH10-2t

ABAC610

.„r7_30-6t(、

..PH------------------(an),

5

当四边形ABQP与△CP。的面积相等时，

SMBC-S色CPQ=SdCPQ，即SAABC=2S〉CPQ，

,•.2»—»r30-6t»6»8,

252

整理得产-5f+20=0,此时方程无实数解,

...四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.熟练应

用相似比计算线段的长.

27.若一元二次方程,*+以+,=0(aWO)的两实数根为足、及，则两根与方程系数之间有

如下关系：M+X2=-且，xi%2=-.这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应

aa

用很多，请完成下列各题：

(1)已知。、人是方程P+15x+5=0的二根，求■的值.

ba

X=X[x=x2

(2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x,y

y=y1y=y2

的方程组X的两个不相等的实数解.问：是否存在实数3使得

,x-y=l

X1x2

yjyr——=2?若存在，求出该式的火值，若不存在，请说明理由.

x2X1

【分析】(1)根据m6是/+15X+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出且+上的

ba

值；