2023-2024学年北京顺义一中高一数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年北京顺义一中高一数学上学期期中考试卷

2023.11

（考试总分：150分考试时间：120分钟）

一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

[设集合4三{削x<3x-l},B={x|-l<x<3},则AB

)

A.(―L+8)B.3C.(f3)D.

P7

2.下列函数是偶函数且在（0,+o。）单调递减的是（）

.2C=l

A.y=xB.V=xyD.y=-/4-1

X

3.若“幻与g（力是同一个函数,且/（＞）=x,则g。）可以是（)

x2

(

A.g(x)=(J7)2B.gx)=Cg(x)=ED-g(x)=一

x

4.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元;超过3分钟后，每增加1分钟

收费01元，不足1分钟按1分钟计费.通话收费S（元）与通话时间t（分钟）的函数图像可表示为下图中的

（）

s

0.6-

0.4-

A.

0.2。

36

龙"图像经过点（3,t],则下列命题正确的有（

5.已知幕函数/（%）=)

A.函数,f（x）为偶函数B.函数/（x）为增函数

/（玉）+/（々）x+x

C.若尤＞1,则〃力＞1D.若0"，则}2

22

6.已知〃：x..k,q:（2—x）（x+l）＜0,如果P是夕的充分不必要条件，则％的取值范围是（）

A.[2,00)B.C.[l,+oo)D.(2,+co)

7.奇函数/（x）在（0,田）上单调递增，且/⑴=0,则不等式‘（»一,（二"）＞0的解集为（）

x

A.(-1,O)U(1,4W)B.

c.(-1,O)U(O,1)D.(^o,-l)U(l,+oo)

8.已知函数-如—1,“玉eRJ(x)20”为假命题，则实数，〃的取值范围是()

A.(-4,0］B.(-4,0)C.(-00,-4)(O,-H»)D.(-oc,-4)u［0,+oo)

'2

一厂—ux—7,%W1

9.已知函数/(x)={a，在R上单调递增，则实数”的取值范围是()

一,x>1

、x

A.［-4,0)B.(—oo,—2］C.(—<x\0)D.［—4,—2］

10.定义新运算㊉：当。2Z?时，。㊉b=a；当。</?时，Q㊉〃=/,则函数

/(x)=(l㊉x)x—(2㊉x),x€［—2,2］的最大值等于()

A.-1B.1C.6D.12

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

11.函数/(尤)=:一+反推的定义域为.

x-1

_____2

12.正3>+(7一3)°—+(0丫=-------

,1

13.已知函数人刈为R上的奇函数，且当l>0时，/(x)=x2+-,则/(-1)=—.

x

14.若偶函数/(x)在［0,+。)上单调递减且/(1)=(),则不等式/(x-3)2()解集是.

15.1859年，我国清朝数学家李善兰将，加”•标川”一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数,

则此为彼之函数

①若/(-2)=〃2),则函数/⑶是偶函数

②若定义在R上的函数在区间(—0,0］上单调递增，在区间［0,+e)上单调递增，则函数/(x)在R上

是增函数

③函数y=/(x)的定义域为［。,句，a<c<b,若/")在［a,c)上是增函数，在［c,5］上是减函数，则

/(初皿=/(c)

④对于任意的方,工2€(0，+8)，函数/(X)=4满足/

上面关于函数性质的说法正确的序号是.(请写出所有正确答案的序号)

三、解答题(共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)

16.已知集合集={x|28秘},B={x|l<x<6},C={x\x>a},U=R.

(1)求AUB,©A)"B-

(2)若An。。，求a的取值范围.

4

17.设函数y（x）=x+—.

（1）判断函数/（X）奇偶性；

（2）当xw（O,+。。）时，求函数“X）的最小值；

（3）直接写出函数/（X）的单调增区间（不需证明过程）.

18.己知函数“刀片/一2欧+1.

（1）若函数/（力为偶函数，求实数“的值；

（2）若函数/（X）在（-8,4］上是减函数，求实数。的取值范围；

（3）求函数/（力在1,2］上的最小值.

y_1_/7

19.已知定义在区间（—1,1）上的函数/（%）=/手■为奇函数.

（1）求实数。的值；

（2）判断函数/（X）在区间（—1,1）上的单调性并用定义证明；

（3）解关于/的不等式/（2f—1）+/（。<0.

20.2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施,

进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环

的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元.若该公司一年内共生产该款运动手环x万

100-Ax,0<x<20

只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为R（x）万元，且R（X）=121009000攵当该公

----------—,x>20

、xx

司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元.

（1）求出女的值并写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式W（x）；

（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

21.对于正整数集合A,记A-{a}={x|xeA,xwa},记集合X所有元素之和为S（X）,S（0）=0.若

HxeA,存在非空集合A、4,满足：①A4=0；②44=A-{x}；③s（A）=s（4）,

则称A存在“双拆”.若WxeA,A均存在“双拆”，称A可以“任意双拆”.

（1）判断集合",2,3,4}和{1,3,5,7,9,11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？

（不必写过程，直接写出判断结果）；

（2）A={al,a2,aJ,a4,a5},证明：A不能“任意双拆”；

（3）若A可以“任意双拆”，求A中元素个数的最小值.

【答案】

1.B

【分析】化简结合A,再应用交集的运算即可.

【详解】集合A三{#x<3x—1}={X|X>—},8={x|-l<x<3},则4B=\-,3.

2)

故选：B

2.D

【分析】由函数的单调性与奇偶性直接判断.

【详解】对于A,y=f是偶函数，在(0,+8)上单调递增，不符合题意；

对于B,丁=%是奇函数，在(0,+8)上单调递增，不符合题意；

对于C,丫=」是奇函数，在(0,+o>)上单调递减，不符合题意；

X

对于D,y=-/+l是偶函数，在(0,+8)上单调递减，符合题意；

故选：D.

3.B

【分析】根据相同函数的判断法则，定义域和对应法则要相同去判断A、D选项函数的定义域与已知函

数不同，C选项函数的对应法则和已知函数不一样，B选项对应法则和定义域和已知函数都一样，即可

得出答案.

【详解】解：/(X)=X的定义域为R.

A选项：8。)=(«)2定义域为［0,+8),与/(幻=》的定义域不同，所以，(x)与g(x)不是同一个函数,

A错误；

B选项：g(x)=#F=x，其定义域为R，所以/(*)与g(x)是同一个函数，B正确；

C选项：g(x)=J7=W，与/(x)=x对应法则不一样，所以/(©与g(x)不是同一个函数，C错误；

2

D选项：8。)=工的定义域为(，2。)^(0,+8),与/。)=彳的定义域不同，所以/㈤与g(x)不是同

x

一个函数，D错误.

故选：B

4.B

【详解】

【分析】由题意知，当0<tW3时，S=0.2.

当3<tW4时，S=0.2+0.1=0.3.

当4<tW5时，S=0.3+0.1=0.4.

所以对应的函数图像为B.

故选B.

5.A

【分析】代点求出解析式，即可判断A,B,C,作差法判断D.

【详解】将点（3：）代入函数〃力=£,得"=3",则a=—2,

即"x）=＜2,所以是偶函数，且在（0,+8）单调递减，A正确，B错误;

当X＞1时，!＜1,即/（X）＜1,C错误;

X

当0＜%＜々时，/（/；/⑸-/（詈）

11

整理得下+了＞

X\X2

化简得U+：2)-+8+：)2〉&,

5W

即证明（3+：）=1+生+4+4■+生+1>8成立,

不X1芍%2

利用基本不等式，1+蛋+与+与+”+122+2石+2=8,

Mx}x2x2

因为。＜玉＜%2，故等号不成立，.'.1H--H—+--+1＞8,

%%]%x2

即止？功〉/（詈）D错误

故选：A

6.D

【分析】先将9化简，再根据充分不必要条件可判断得解.

【详解】（2-x）（x+l）＜0,解得》〈一1或x〉2,或x〉2,

因为P是0的充分不必要条件，即。对应的集合是《对应集合的真子集，2.

故选：D.

7.D

【分析】

本题首先可根据奇函数的性质将不等式转化为祖。〉0,然后分为x>l、（）<x<l、一l<x<（）、

X

》<-1以及x=l、-1五种情况进行讨论，根据函数单调性和奇偶性判断出函数值的大小，即可得出结

果.

【详解】因为函数/（X）是奇函数，

所以/（一力=一/（力，不等式/（X）—/（?）>0即也立>0,

XX

因为奇函数“X）在（0,+8）上单调递增，且/⑴=0,

所以当x>l时，/（x）>0,此时-2/1立〉0,

X

当0cx<1时，/（x）<0,此时2/（x）<o；

x

当一1cx<（）时，/（x）>0,此时2,，<o；

x

当x<—l时，/（x）<0,此时21（X）〉0,

x

当x=l、-1时，^1^=0，

X

综上所述，不等式/a）一〃T）〉0的解集为（—8,—l）U（l,~F9。）,

X

故选：D.

【点睛】解抽象函数解不等式方法：（1）化简不等式；（2）确定函数的单调性；（3）画出函数的草图,

或求出函数的零点；（4）根据图象或单调性，求出不等式的解.

8.A

【分析】由'勺彳€凡，姓2一如一120，，为假命题，得到“VxeR,"?/一根^一1<0，，为真命题，利用判别

式法求解.

【详解】因为'勺xeR,肛2一,依一120，，为假命题，

所以“VxeR,mx1-/nr-1<0”为真命题,

当〃2=0时，-1<0成立;

[m<0

当〃2工0时，｛/、2八解得Y<mv0,综上：-4<m<0,

[△=（一相）+4m<0

所以实数，”的取值范围是（T,0].

故选：A.

9.D

【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.

—dx—7,xW1

【详解】由函数/(X)=]Q在R上单调递增函数，

一,x>1

-«>1

2

则满足，解得-4WaW-2,即实数。的取值范围为[-4,-2].

-I2-a-1<a

故选：D.

10.C

【分析】当—和1<XW2时，分别求出函数/(X)的表达式，然后利用函数单调性或导数求出

函数/(X)的最大值.

【详解】解：由题意知

3

当-2Wx〈l时，f(x)=x-2,当1<XW2时，f(x)=x-2,

XVf(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域上都为增函数，，f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.

故选C.

【点睛】该题考查的是有关新定义运算以及函数最值的求解问题，在解题的过程中，需要对题中所给的

条件正确转化，再者就是对函数最值的求解方法要灵活掌握.

(l,4w)

【分析】根据函数的解析式，列出函数解析式满足的不等式组，即可求得答案.

【详解】要使〃x)=——+有意义，则L,、，解得且XO1,

''x-\[2+x»0

则其定义域为：[—2,1)(1,+8).故答案为：[—2,1)(1,+8)

12.-4

【分析】根据指数基的运算性质求解即可.

【详解】^37+(7t-3)0-85+(^4)3=V9+l-(23p-4

3x-

=3+1-23-4=-22=-4-

故答案为：-4.

13.-2

【分析】利用奇函数的定义即可求解.

【详解】当x>0时，f(x)=x2+-,故/(1)=1+1=2.

X

•：fM为奇函数，.•./(-I)=一/(1)=-2.

故答案为：-2.

14.［2,4］

【分析】先对/(%-3)20化简为“x-3)2〃l),然后利用函数/(X)为偶函数并结合其单调性质从

而求解.

【详解】由题意知函数"X)为偶函数，且"1)=0,八%一3)20,

所以得:/(x-3)>/(l),

又因为函数/(x)在［0,+向上单调递减，所以得：忖一3区1,

解之得：2WxW4,即解集为：［2,4］.

故答案为：［2,4］.

15.函数性质的说法正确的序号是.(请写出所有正确答案的序号)

【答案】②④

【分析】结合函数的奇偶性，单调性，最值和基本不等式应用对选项一一判断即可.

【详解】对①，偶函数是对定义域内任意X,都有/(-x)=/(x),仅取X=2时成立，不能确定是偶函数,

故①错误；

对②，定义在R上的函数/(X)在区间上(7,0］单调递增，在区间［0,+8)上单调递增，其中x=()时

两段函数图像相接，

故函数在R上是增函数，所以②正确；

对③，函数y=的定义域为域］,a<c<h,若“X)在［a,c)上是增函数，在［c,可上是减函数,

不一定有F(x)max如当/(x)={?>0»

—X—Z,X2U

故③错误;

对④，由基本不等式可得。2+〃224匕，即2,2+〃）2（a+6）2,进一步可得小《产2审,当

且仅当a=b时等号成立，

对任意玉,马«0,+8）,则爱,惠;后,当且仅当玉=9时等号成立，

由/（x）=VL则21（））；/（%）,故④正确

故答案为：②④.

16.（1）AUB={x|l<立8},（Q/A）B-[x\\<x<2}（2）{a|a<8}

【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；

（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.

【小问1详解】

AUB={x|2<r<8}U{x|la<6}={x|l<烂8}.

；"A={X|x<2或x>8},；.（屯A）PB={x[1<x<2].

【小问2详解】

,：AnC^0,作图易知，只要a在8的左边即可，

-------------------------------->-

2a8x

的取值范围为囹。<8}.

17.17.奇函数18.419.（^,—2）和（2,+8）

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性定义可判断；

（2）利用基本不等式可得解；

（3）根据对勾型函数的图像可得解.

【小问1详解】

因为函数“X）的定义域为（一8,0）U（0,w）,

4

X/（-x）=-x--；=,

所以函数〃x）是奇函数.

【小问2详解】

0,

4/44

.-.f(x)=x+->2Jx--=4,当且仅当％=二，即x=2时等号成立,

xV%x

所以X€(0,+。。)时，/(X)的最小值为4.

小问3详解】

函数“X)的增区间为(F,—2)和(2,4w).

2-2a,a<1

18.(1)a=Q(2)(3)\-a2,l<a<2

5-4a,a>2

【解析】

【分析】(1)由偶函数定义可直接构造方程求得。的值；

(2)由二次函数单调性可确定对称轴位置，由此可得。的取值范围；

(3)分别在,1<。<2和的情况下，根据二次函数的单调性确定最小值点，进而得到最小值.

【小问1详解】

/(%)为偶函数，.•./(-x)=F(x),即炉+2以+1=丁-2ar+1,

:.2a=—2a,解得：a=0.

【小问2详解】

/(X)的对称轴为x=a,/(x)在(-8,4］上是减函数，,a",

即实数。的取值范围为［4,+8).

【小问3详解】

由题意知：/(x)开口方向向上，对称轴为x=a,

当aWl时，“X)在［1,2］上单调递增，.•./(x)min=/⑴=2—2a；

当l<a<2时，/(x)在［1,。)上单调递减，在(。,2］上单调递增，.・./(%*11=/(。)=1一〃；

当。之2时,“X)在［1,2］上单调递减，.•./(项代=/(2)=5—4a；

2-2a,a<\

综上所述：/(X)min=T—/』<a<2.

5-4a,a>2

19.(1)a=0(2)单调递增，证明见解析(3)(0,1)

【分析】(1)由题意/(0)=。=0,由此即可得解.

(2)由定义法证之即可.

(3)结合奇函数的单调性即可求.

【小问1详解】

因为定义在区间(一1,1)上的函数/(x)=MV_1_Z7■为奇函数，

则/(0)=a=0,经验证满足题意，则。=0；

【小问2详解】

由⑴知〃力=三丁/(x)在(-1,1)上单调递增,

%_(¥2-1)(赴一司)

证明如下：设-1<玉<*2<1考+1(%2

其中XjX2-1<0,x2-x1>0,

所以<0,即/(%)</(%),

故函数/(X)在上单调递增.

【小问3详解】

由/(2-1)+/⑺<0,又/(X)为奇函数，即/⑵一1)<一/«)=/(-。，

'2r-l<-t

又f(x)在区间(一1,1)上单调递增，贝卜-1,解得0<r<；.

-r<1

则解集

-2X2+80X-50,0<X<20

20.(1)k=2,W(x)=<2050-20x-^^),x>20

X

(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元.

【解析】

【分析】(1)由题意可得W(x)=xR(x)-20%-50,由W(5)=300可求出女，然后可得W(x)的解析

式；

(2)利用二次函数的知识求出当0<xW20时W(x)的最大值，利用基本不等式求出当x〉20时年(打的

最大值，然后作比较可得答案.

【小问1详解】

由题意可得W(x)=xR(x)-20x-50

当x=5时R（5）=100—5左，所以W（5）=5R（5）-20-5—50=500—25Z-150=300

解得左=2

-2X2+80X-50,0<X<20

所以W（x）=—20%-50-«“八2180002

2050—20x------,x>20

、x

【小问2详解】

当0cxM20时，W（X）=-2X2+80X-50,其对称轴为x=20

所以当尤=20时W(x)取得最大值750万元

1onnn900

当x>20时，W（x}=2050-20x-=2050-20x+<2050-20-2,

xx

当且仅当X=2也即x=30时等号成立

x

因为850>75()

所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元.

21.(1)答案见解析(2)证明见解析(3)7

【分析】(1)根据题中定义判断可得出结论；

(2)不妨设利用反证法，通过讨论集合A中去掉的元素，结合“任意双拆”的

定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立；

(3)分析可知集合A中每个元素均为奇数，且集合A中所有元素都为奇数，分析可知〃27,当a=7

时，A={1,3,5,7,9,11』3},根据“任意分拆”的定义可判断集合A可“任意分拆”，即可得出结论.

【小问1详解】

解：对于集合