2023-2024学年辽宁省沈阳市高一年级下册期初考试数学试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳市高一下册期初考试数学试题

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知扇形的周长为20,则该扇形的面积S的最大值为（）

A.10B.15C.20D.25

【正确答案】D

【分析】设扇形圆心角为。，扇形半径为八由题可得厶。间关系，后用，•表示S,即可得

答案.

【详解】设扇形圆心角为。〉0,扇形半径为『，厂>0,

20

由题有2尸+尸。=20n。—2,

r

则S=丄dr2=-f--2>1r2=10r-r2=-（r-5）2+25<25,当

22（尸丿''

r=5,3=2时取等号.

故选：D

（3（71、

2.已知。是第四象限角，且sin0+-=一二，则tan。一一=（）

I4丿5I4丿

443

A.----B.-C.----I

334

【正确答案】B

【分析1利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求出tan（。-当］的值.

【详解】因为=

所以sin(6+：)=cos(£-e]=-g

IT

又2左兀-y<0<2kMk£Z),

_.71八兀…兀/,r、

/-2ATC---<。H—<2knH—(kGZ)

444

故选：B.

TT

3.已知函数/(x)=Atan(a)x+(p)(u)>0,|(p|<—),y=f(x)的部分图象如图，则/

「V3

D.2-V3

3

【正确答案】B

37r

【分析】根据函数的图象，求岀函数的周期，然后求岀3,确定/的值，根据(——，0)

8

7T

求出山的值，图象经过(0.1)确定力的值，求岀函数的解析式，然后求出f(——)即可.

24

7T

【详解】由题意可知7=—,所以3=2,

2

3万37r

函数的解析式为：fix)=4tan(3矛+。)，因为函数过(——,0)所以0=4tan(——4-4)

84

7T7T7T

图象经过(0,1),所以，l=4tan—,所以A=l,所以fix)=tan(2x+—)则f(—)

4424

7CTCI-

=tan（----1—）=

124r

故答案为B.

本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，

考查计算能力.

4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政

全书》中用图I描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒

都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m,筒车的轴心。到

水面的距离为1m,筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点尸从水中浮现

（即兄时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从勺运动到点尸时所用时间为“单位：s）,

且此时点尸距离水面的高度为〃（单位：m）.若以筒车的轴心。为坐标原点，过点。的水

平直线为x轴建立平面直角坐标系xQy（如图2）,则〃与/的函数关系式为（）

图1图2

兀

A.h=2sin^—+1,/e[0,+oo)B.〃=2sin—1+—+1,

156)

tG[0,+oo)

.C.(乃)1

C.h=2sinl1+1,tG[0,+oo)D.//=2sm7rt+—+l,

I6丿

tG[0,4-OO)

【正确答案】A

【分析】

TTTT

首先先求以OP为终边的角为;一/-三，再根据三角函数的定义求点尸的纵坐标，以及根据

156

图形表示//«).

TT7T

【详解】vZxOP=-所以。兄对应的角是——，

i)6f6

2x27TTC

由OP在内转过的角为一0一/=百/,

7171

可知以0X为始边，以OP为终边的角为f-七，

71576

则点尸的纵坐标为2sin]自一看)，

,、(717t\

所以点P距水面的高度人(a)表示为f(s)的函数是/?=2sin—+1.

、156)

故选：A

关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以。尸在《5)内转过

0X/7FTT7T7T

的角为上’二/,再求以OP为终边的角为二f—X.

6015156

5.已知向量同=2,W=l,且忖-34=4，则向量不出的夹角是()

5K712兀兀

A.—B.-C.—D.一

6633

【正确答案】D

【分析】由归-3可'=7可求得云帀，根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】•••忖-3可2=|司2-6展5+9归『=13-6屐6=7,.•.展5=1，

_ra-b1_jr

.•.cos<a,b>=^q^=5,又<3,6>e[0,7t],6>=弓.

故选：D.

6.定义Z*心冋网sin。，6是向量々和B的夹角，|£|、⑻是两向量的模，若点么(一3,2)、

8(2,3),O为坐标原点，则方*丽=()

A.-V13B.0C.V13D.13

【正确答案】D

【分析】先判断力丄砺，然后根据新定义运算求得正确答案.

【详解】设演,砺的夹角为6,

•.•4(—3,2)、8(2,3),.•.5.方=-3x2+2x3=0，；•戸丄万，9=5，sin8=l,

O4*05=|O4|-|^|-sin^=713x713x1=13.

故选：D

7.已知向量1HG,|3|=1,对任意的feR,恒有一应以。一)|,则()

A.a±eB.a±(a-e)

C.el(a-e)D.(5+e)±(5-e)

【正确答案】C

【分析】根据数量积的运算律求得万兆，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析,

即可判断和选择.

【详解】由丨万一传闫万一即可得同2—2位•G+/同22同2一2G.0+同2,

又同=1,令无0=m则上式等价于2〃〃+2加—120,对任意的feR恒成立，

故△=4〃，-4（2加一1）（0,解得（加一1）2=0,解得加=1,即晨0=1：

对A：由5电=1。0,故万丄，不成立，A错误；

对B：a\a-e）=\af-a-e^\af-I,不确定其结果，故。丄伍一3）不一定成立，B错误;

对C：e-（d-e）=a-e-l=0,故）丄伍一0）,C正确；

对D：伍—G）•伍+》）=同2一%不确定其结果，故伍+。）丄（1-。）不一定成立，D错

误.

故选：C.

8.已知“3C中，|荔卜8,|元|=2,且］益+（2—2/1）就（XwR）的最小值为26,

若P为边4B上任意一点,则而.庁的最小值是（）

【正确答案】B

【分析】设通=4就，由题可得G、B、力三点共线，进而可得卜G|的最小值为A到8。

边上的高，根据几何关系求出NA4O=；,将丽.定化成|两，通过几何关

系求出|同"的最小值即可.

【详解】设而=4%，故历理=|诟卜8,若

AA5+（4-4/l）^C=/lA5+（l-2）ZD=^G,

由4+（1-4）=1,则8,G,。共线，故3GL,=4百，

由图得，当前丄丽时|彳可有最小值，又|彳司=|力卜4卩心卜8,

AsinZABD=sinZADB=延=且，即N/8。=NADB=-,ZBAD=巴，即△48。

8233

为等边三角形.

由余弦定理，函2=|网2+岡『―2岡困kosN8/C=82+22—2x8x2x1=52,

设"为BC中点，丽•正=（而一g就）（而+；阮）=|而前『，

二当|西7|取最小值时，丽.定有最小值，

：尸为边上任意一点，

，当PM±AB时，|尸用|有最小值，

设PW丄过点C作CEJ.4B于点E，贝“C£|=MasinNA4C=G，

又PM//EC,PAf为ABCE的中位线,

II2112।I*111112

/—►—-x3149

：.[PBPC]=-------x52=--.

\/min444

故选：B.

关键点点睛：而=4配、4万+（4-44）然=而构造等边三角形△48。且8,G,

。共线，设〃为8c中点，由尸氏定=|「必-||5C|,（先求出8C）,数形结合判断

丽.定最小|尸〃|与相关线段位置关系.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得

2分.）

7

9.已知夕£（0,兀），sin。+cos。=一，则（）

17

八厶兀、八15八8

A.一,兀B.cos9=—C.tanO=——D.

（2丿1715

23

sin6-cos6=——

17

【正确答案】AD

【分析】运用平方法，结合同角的三角函数关系式、三角函数值的正负性逐一判断即可.

7

【详解】因为sin6+cos9=—,

4949240

所以(sin6+cos6)2-----=>1+2sin6cos6=------=>2sin6cos0---------<0,

289289289

因为。£（0,兀）,所以sin6〉0,所以有cos9<0,因此

因此选项A正确；

因为兀］所以

f49.24023

sin0-cos6sin6-cos9)2=J(sin夕+cosey—4sin夕cos夕=J•-2x

V28928917

因此选项D正确;

7[.八1515

sin6+cos8=sine=—

*Jsint/_13

所以有■17=>tan9=17,二——

23八8cos088

sinO-cos。=cose=———

17[1717

因此选项BC不正确，

故选：AD

10.已知平面向量)=(-2,1),1=(4,2),5=(2"),则下列说法正确的是()

A.若Z〃之,贝h=-l

B.若BH，贝卜=-4

C.若/=1,则向量Z在工上的投影向量为一《,

D.若f>-4,则向量3与工的夹角为锐角

【正确答案】ABC

【分析】A选项，利用向量共线的条件计算;

B选项，利用向量垂直的条件计算；

C选项，利用投影向量的计算公式求解：

D选项，注意向量3与"同向共线的情况.

【详解】A选项，由向量共线的充要条件，Z〃"=lx2=—2xf，解得E=-1,A选项正

确；

B选项，由向量垂直的充要条件，b丄16匸=0u>4x2+2xf=0,解得/=一4,B

选项正确;

C选项，/=1时，5=(2,1),由投影向量的公式，向量£在工上的投影向量为:

a-cc3c3-

C选项正确;

D选项，当/=1时，满足仮=2工，即3与"同向共线，此时夹角是0,但也满足f=l>—4,

D选项错误.

故选：ABC

11.下列论断中，正确的有()

A.AASC中，若A为钝角，则sin3+sinC<cos3+cosC

B.若偶函数/(x)对定义域内任意x都有/(x)=/(2-x),则/(x)为周期函数

c向量£与区共线=存在不全为零的实数4，%，使=6

D.向量白、B、c满足小很=。三,则万=。或3=1

【正确答案】ABC

【分析1A选项，根据三角形内角和关系，A为钝角则8+C,丛。均为锐角，然后根据诱

导公式和正弦函数的单调性判断；

B选项，利用奇偶性和题目条件进行推导即可；

C选项，利用向量共线的性质进行推导；

D选项，将等式移项后，根据向量垂直的条件进行判断.

【详解】A选项，根据三角形内角和关系，A为钝角则8+C,都为锐角，即

兀7171

0<B+C<-,于是0<6<-―C<-,根据正弦函数的单调性和诱导公式：

222

sin5<sin----C=cosC,同理sinC<cos8,于是sin6+sinC<cos8+cosC,A

12丿

选项正确；

B选项，由于/(x)为偶函数，故于是/(x)=/(2-x)=/(-x),再用一X

替代X,得到/(x)=/(2+x),根据周期函数的定义，/(X)是周期函数，B选项正确；

c选项，向量々与B若有零向量，充要性显然成立，若它们均是非零向量时，当向量々与反

共线时，根据共线定理，存在/leR,使得£=4书，即万—=故存在不全为零的实

数4=1，4=—%,使得=另一方面，若存在不全为零的实数4，4,使

A-

A,a+A2b=0,不妨//0,于是之=一半b,由向量的共线定理知向量£与否共线，故

C选项正确;

D选项,a-b=a-c＞则无伍一1)=0,可能是。丄仅一1),D选项错误.

故选：ABC

12.已知函数/(x)=sin(tyx+°)((y〉0,网4■为函数/(x)零点，直线x=:

为函数〃x)的对称轴，且“X)在［看胡上单调，

则①不可能等于(）

A.11B.9C.8D.6

【正确答案】ACD

JT-JT

【分析】根据x=—彳为函数/(X)零点及直线x=i为函数/(X)的对称轴，则

(yxl--1+^?=^,左eZ,a)x—+(p=n7r+—,”eZ,化简得到0=2(〃一4)+1,

再由/(x)在(■，二上单调，则一x—＞----------,即＜yV12,再逐项验证.

(1836丿2co3618

【详解】因为x=—?为函数/(x)零点，

所以0*(一：)+9=左左，keZ,

jr

又因为直线x=W为函数/(x)的对称轴,

”-7T71r

所以公乂彳+夕=”"+耳，HGZ,

所以0=2（〃—女）+1,

TV5）

上单调,

18?36

厂t127r57rn,

则一x—2--1--------，即①W12,

2G3618

1\JI

当。=11时，———卜（p=kjr,keZ,

71

：.(P=------

4

715TT

此时/（X）在上不单调，不满足题意;

18536

97r,

当g=9时，——~~(p~ki,keZ,

71

••(P——，

4

冗5〃

此时/（X）在上单调，满足题意;

18536

故⑦的最大值为9,

则①不可能等于11,6,8,

故选：ACD.

JI

方法点睛：（1）研究｛x）="sin（3x+p）（«#0）的对称轴，只需令3x+0=5+而（&CZ）即可；

（2）研究/（x）=/sin（tt>x+9）（。翔）的对称中心的横坐标，只需令5+夕=厶兀（/eZ）即可.

（3）研究/（x）=Nsin（cux+”）®¥0）的单调性，只需把酬+夕看作一个整体代入y=sinx的相

应单调区间内即可，对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数@的范围的问题，首先，

明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而

利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.己知角a终边经过点尸（〃?,一3）,且tana=（，则sina=.

【正确答案】---

【分析】由三角函数的定义及已知tana=上求参数加，再求sina.

12

【详解】由题设tana=«=2，则加=—些，

m125

-335

sina==

所以,(-y)2+(-3)39~13.

5

故

13

14.若角A是三角形NSC的一个内角，且sin/-cosN=-丄，贝!|cosZ—sin4=

3

【正确答案】-Y叵

3

【分析】先判断cosZ-sinZ<0,再利用(cos/-sinN)~=l-2sin〃cosN,进而求解.

【详解】因为角A是三角形的一个内角，所以sin4〉0,

又sin/cos/=一丄，所以cosAcO,

3

所以cos/-sin力<0,

因为(cos4-sin二l-2sinZcos4=l-2x

所以cos/-sin/=一^^

3

故答案为.一姮

3

15.单位向量)与石=(3,4)夹角为90。，则"=

4_343

【正确答案】或

5，-5555

【分析】设e=(x,y)，由数量积为0及向量的模为1列方程组求解.

【详解】设e=(x,y)，由已知D=0，H=l,

x2+/=1

所以《,解得

3x+4y=0

-4343

e=

4343

故（不一?或（一不1）,

16.已知中，AB-2,AC=1,AB-AC—。为"8ct所在平面内一点，且

04+20B+30C=0则刀.死的值为

【正确答案】-1

【分析】在厉+2砺+30亍=6中，将砺=戸+刀，灰=方+就代入，用在与

就表示血，可得前=：刀+；就，故而•比=（g茄+；就）（衣—布），展

开根据已知条件代入数据计算即可.

【详解】••,戸+2丽+3历=6，

：.OA+2（OA+AB）+3（OA+AC）=0,

—1—1一

：.AO=-AB+-AC,

32

＞

：.JOBC=^-JB+-AC）（AC-7B）=]-AC2-]-AB2-L方.衣=一1.

32236

故答案为.-1

关键点点睛：解答本题的关键点在于将芯用在与％线性表示，将而.反^转化为方

与配之间的数量积运算问题来求解.

四、解答题（本题共6小题,17题10分，18—22题各12分，共70分.)

(X(71\flu

sin（2»-a）cos(%+(z)cos|一"i-tzcos-------a

------------拦一」~焉一/,若角a的终边过点

17.已知/（a）=-------------------

cos（万一a）sin1(3^--a)sin-a)sin1+a1

P（~4,3）.

（1）求+的取值.

（2）求^———丄--------的值.

4cosa-osmacosa

4

【正确答案】（1）一一

3

7T

【分析】（1）由诱导公式化简/（a）,化简/（a+y）,由三角函数定计算出tana可得结论.

（2）由平方关系化待求式为关于sina,cosa的齐次式，然后弦化切，代入（1）的结论计

算.

【小问1详解】

,、(一sina)(—cosa)(—sina)(—sina)

/a=1广八~1一~~-----L=Tana

(-cosa)sinasmacosa

3

:角a的终边过点尸(一4,3),:.tana=--,

A7ty(14

f\a+—=-tana+—=------=——.

I2丿I2)tana3

【小问2详解】

1_sin2of+cos2a_tan2of+1_25

4COS2CZ-6sincrcosa4cos2a-6sinacoscz4-6tana136

18.已知0(0,0),4(2,5),8(3,4),5=(-6,3).

(1)求方与M夹角的余弦值；

(2)若(耳次+.历〉为锐角，求f的取值范围.

【正确答案】（1）—独e

10

⑵-8,上D12丄

I11JU，2

【分析】（1）根据向量夹角公式即可代入求值,

（2）根据数量积大于0以及不共线即可求解.

【小问1详解】

因为方=(1,一1),所以

万•万_(1,T)・(_6,3)_3710

cosAB,a

|次卜同飞一6)+3210

【小问2详解】

04+rOS=(2,5)+/(3,4)=(3t+2,4f+5),

若无E+f方为锐角，则鼠(5+/瓦)>0,且£与而+t砺不共线，

|a-(O4+/d5)=(-6,3)-(3z+2,4/+5)=-6z+3>0,

\[3(3/+2)^-6(5+4/)

112

解得：，〈一且/工一一，

211

所以，/的取值范围是卜

19.已知函数/(X)=2cos((vx+(P)((D>0,-生<e<9的两个相邻零点之间的距离为

兀.己知下列条件：①函数/(X)的图像关于直线x=-1对称；②函数+为奇函

数.请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答.

(1)求函数/(x)的解析式;

(2)将函数/(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍(纵坐标不变)，再向右平移

字1]，求实

5个单位，得到函数g(x)的图像.若当〃”时，g(x)的值域为-

数〃？的取值范围.

【正确答案】(1)/(x)=2cos(x+|)

l\n4乃,

(2)r—,—]

123

【分析】(1)由函数/(x)的两个相邻零点之间的距离为兀，得出①=1,选条件①：得出

ITITIT

—^+e=E,结合即可求出s的值；选条件②：得出/0,EP[—?0

是/(x)的一个对称中心，得出西+8=巴+后兀，结合—四＜e＜四即可求出尹的值;

6222

(2)由条件得出g(x)解析式，根据x的范围和g(x)的值域，即可求出实数”的取值范围.

【小问1详解】

因为函数，(x)的两个相邻零点之间的距离为兀,

所以/(X)的周期7=2兀，

2兀

由7=——=2兀，得啰=1,

CD

兀7T

选①：由一]+9=而，解得：夕=]+左兀(左wZ),

兀兀兀

因为-—<(p<—,所以9=§

22

兀

故/(x)=2cosX+~

选②：因为/X+2是奇函数，即/0+看71=0,

6

所以0是/(X)的一个对称中心,

.7T兀,jr

由7+9=5+攵兀，解得：夕=§+左兀(攵wZ),

71717T

因为一所以

22

故/(x)=2c,：os[X+y

【小问2详解】

根据题意得，g(x)=2cos(+j,

,兀时，2呜€*2加+a

当XE一,m

2

r…c貧，17兀

因为g(x)的值域为,1],则2万42加+—«---,

66

11万4兀

解得:---<m<——

123

故实数〃？的取值范围是

20.已知同=2,岡=1,向量£与向量B的夹角为(，设向量所=万+広，向量方=历+2心

(1)求二B的值;

(2)设/(/)=玩•万，求/。)的表达式；

(3)设g«)=*,求g(。在［1,3］上的值域.

【正确答案】(1)5.S=l；

(2)/«)=产+6/+2

(3)2-^2+6,—

3

【分析】(1)进行数量积的计算即可求出。.方=1；

(2)进行数量积的计算即可求出/(。=『+6/+2,

(3)通过判断g(f)的单调性，可判断g(l),g(3),g(JI)的大小，从而得出g。)在［1,3］

上的值域.

【小问1详解】

展3=|才||可cos.1,B.=2xlxcos§=1；

【小问2详解】

f(t)^m-n=(a+tb)-{td+2b^t2d2+(t2+2)a-b+2ib2=t2+6t+2.

【小问3详解】

g(/)=*=/+g+6,在［1,亚］上单调递减，在［夜,3］上单调递增.

因为g(l)=9<g=g(3),g(行)=2竝+6,

所以g(x)max=g(3)=g,g(x)min=g(板)=2五+6.

故g(x)的值域是

21.已知函数〃x)=sin(2s:+e),(其中勿〉0,岡＜5)的最小正周期为",它的一

个对称中心为

(1)求函数y=/(力的解析式;

2万

(2)当xe0,—时，方程/(x)=2。一3有两个不等的实根，求实数。的取值范围;

(3)若方程/(x)=§在(0,乃)上的解为A,x2,求cos(x「X2)一

【正确答案】(1)/(x)=sin

【分析】(1)利用周期与对称中心分别求解8即可.

27r

(2)先求得当xe0,-y时/(x)的图像，再数形结合分析/(x)=2a-3有两个不等的实数

根的情况，进而得出实数。的取值范围.

SJT

(3)先根据图像性质得X,+X=—，再将cosa-%)转化为关于4的函数，进而根据玉的

26

函数求解即可.

2/\

【详解】(1)'：T=7T=—,=又•••/(X)的一个对称中心为一,0,

2co16丿

2x—+0J=0,-+夕=kjr,(p=k兀——,keZ,又二[同〈万,/•(P——■—,

.♦./(x)=sin[2x-[]

Jjr-rr-rryjr

(2)解法一：当xe0,—时，2x—《e，“当xe0,—时，方程/(x)=2。-3

71

有两个不等的实根”，等价于“当xe--,n时，方程sinx=2a-3有两个不等的实根”，

71

即“y=sinx与丿=2。-3的图像在一飞冗内有两个不同的交点”,

3

如图可知042Q—3＜1,，一《。＜2,

2

24

T与丁=2。-3的图像，如图，可知

0W2。一3<1,

33

・・・一(。＜2,即实数。的取值范围为-,2

22

口5万且/（xJ=sin（2X1_q）=；,

(3)如图,易知内+%2=----

6

本题主要考查了三角函数解析式的求解与