鲁教版七年级数学上册复习知识点总结

鲁教版初二上数学知识点梳理

第一章三角形

L三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边三个内角三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所

组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点三角形ABC用符号表

示为ABC三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c5表

示BC可用a表示.

注意1三条线段要不在同一直线上且首尾顺次相接

2三角形是一个封闭的图形

3ABC是三角形ABC的符号标记单独的没有意义

2.三角形的分类口

Q)按边分类

(2)按角分类，

，wA(底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形J

三角形＜I等边三角形

、不等边三角形

直角三象形

三角形＜

锐角三角形

斜三角形,

.钝角三角形

3.三角形的主要线段的定义口

1三角形的中线

三角形中连结一个顶点和它对边中点的线段

表示法LAD是ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=1BC.

2

注意三角形的中线是线段

三角形三条中线全在三角形的内部

三角形三条中线交于三角形内部一点

中线把三角形分成两个面积相等的三角形

2三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交这个角顶点与交点之间的线

段

表示法LAD是ABC的BAC的平分线.

2.1=2=1BAC.

2

注意三角形的角平分线是线段

三角形三条角平分线全在三角形的内部

三角形三条角平分线交于三角形内部一点

用量角器画三角形的角平分线

3三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线顶点和垂足之间的线

段

表示法LAD是ABC的BC上的高线.

2.ADBC于D.

3.ADB=ADC=0.

注意三角形的高是线段

锐角三角形三条高全在三角形的内部直角三角形有两条高是边钝角三角形有

两条高在形外

三角形三条高所在直线交于一点

如图5,6,7三角形的三条高交于一点锐角三角形的三条高的交点在三角形内部钝角三

角形的三条高的交点在三角形的外部直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶

图6图7

4三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意1三边关系的依据是两点之间线段是短

2围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边

5.三角形的角与角之间的关系

⑴三角形三个内角的和等于180。；三角形的内角和定理

(2)直角三角形的两个锐角互余.

图8

6三角形的稳定性

三角形的三边长确定则三角形的形状就唯一确定这叫做三角形的稳定性

注意1三角形具有稳定性

2四边形没有稳定性.

7三角形全等

全等形能够完全重合的图形叫做全等形.

全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

对应顶点对应边对应角把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点

重合的边叫做对应边重合的角叫做对应角.

全等三角形的性质全等三角形的对应边相等对应角相等.

三角形全等的判定方法

1.三边对应相等的两个三角形全等可以简写成边边边或SSS.

2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可以简写成边角边或SAS.

3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可以简写成角边角或ASA.

4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成角角边或

AAS

［对应角相等

［对应边相等

‘边边边

全等形•全等三角形边角边=应用

判定•角边角

角角边

斜边、直角边

作图

角平分线

性质与判定定理

三角形全等的应用测距离

要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等

1已知条件中有两角对应相等可找

夹边相等ASA任一组等角的对边相等（AAS）

2已知条件中有两边对应相等可找

夹角相等（SAS）第三组边也相等（SSS）

3已知条件中有一边一角对应相等可找

任一组角相等（AAS或ASA）夹等角的另一组边相等（SAS）

第二章轴对称

轴对称现象

1.轴对称图形：（1）如果一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合这个图

形叫轴对称图形这条直线叫对称轴（注意:对称轴是一条直线，不是线段,也不是射线）

（2）轴对称图形至少有一条对称轴，最多可达无数条

例：圆的对称轴是它的直径（）直径是线段，而对称轴是直线（应说圆的对称轴是过圆心

的直线或直径所在的直线）；

角的对称轴是它的角平分线（）角平分线是射线而不是直线（应说角的对称轴是角

平分线所在的直线）；

正方形的对角线是正方形的对称轴（）对角线也是线段而不是直线

1.把一个图形沿着一条直线折叠如果直线两旁的部分能够完全重合那么这个图形就叫

微轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们也说这个图形关于这条直线阂

.对称

2.把一个图形沿着某一条直线折叠如果它能与另一个图形完全重合那么就说这两个

忸关于这条直线对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点点做对称同

2.轴对称：（1）对于两个图形如果沿一条直线折叠后它们能够完全重合那么称这两个图

形成轴对称这条直线就是对称轴（成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形）

（2）轴对称图形与轴对称的关系：

联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个

整体时，它是一个轴对称图形

区别:轴对称图形是一个图形，轴对称是两个图形之间的关系

用坐标表示轴对称小结

1.在平面直角坐标系中

关于X轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等；

关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数

与X轴或Y轴平行的直线的两个点横纵坐标的关系

关于与直线X=C或Y=C对称的坐标

点X,y关于x轴对称的点的坐标为_X,-y.

点x,y关于y轴对称的点的坐标为―-x,y—.

简单的轴对称图形

有两边相等的三角形叫等腰三角形

1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高重合也称为三线

合一，它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴注意:对于一般的等腰三角形，一定要说

清哪边上的中线高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一，任意一边上的中线和高

及其所对的角的平分线

2.等角对等边，等边对等角:如果一个三角形有两个角相等那么它们所对的边也相等；如果

一个三角形有两个边相等那么它们所对的角也相等

3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离（垂线段）相等

4.中垂线定理（1）概念:既垂直又平分线段的直线叫垂直平分线，简称中垂线

（2）定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离（与端点的连线）相等

3三角形三条边的垂直平分线相交于一点这个点到三角形三个顶点的距离相等

5.等腰三角形）知识点回顾

L等腰三角形的性质

.等腰三角形的两个底角相等等边对等角

.等腰三角形的顶角平分线底边上的中线底边上的高互相重合三线合一

理解已知等腰三角形的一线就可以推知另两线

2等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等等角对等边

6等边三角形知识点回顾

L等边三角形的性质

等边三角形的三个角都相等并且每一个角都等于600

2等边三角形的判定

三个角都相等的三角形是等边三角形

有一个角是600的等腰三角形是等边三角形

3.在直角三角形中如果一个锐角等于30o那么它所对的直角边等于斜边的一半

探索轴对称的性质

1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分

2.轴对称图形对应线段相等对应角相等

利用轴对称设计图案

1.画点A关于直线L的对应点A:1过点A作对称轴L的垂线垂足为B

2延长AB至A使得BA=AB

3点A就是点A关于直线L的对应点

2.画线段AB关于L的对应线段AB:1过点A作对称轴L的垂线AA使CA=CA

2过点A作对称轴L的垂线BB使DB=DB

知识回顾:3连接ABAB即是关于直线L的对应线段

、轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形轴:时称

图形弋

2

—X

卜指，一个L

轴对称所形7轴对称是指网1、图形

区别具有特殊形状的图形，的悄天系必须涉及

只对一彳'图形而言到形

对称轴不一一定只有一条只有一条对称轴

如果把轴对称图形沿对称轴如果把两个成轴对称的图形

联系分成两部分那么这两个图形拼在一起看成一个整体那

就关于这条直线成轴对称么它就是一个轴对称图形

第三章勾股定理

探索勾股定理

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c那么a2+b2=C2,即直角三角形

两直角边的平方和等于斜边的平方（一个直角三角形，以它的两直角边为边长所作的两正方

形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积）

在我国古代人们将直角三角形中短的直角边叫做勾长的直角边叫做股斜边叫做

弦

注意:电视机有多少英寸，指的是电视屏幕对角线的长度

勾股数

1.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长abc满足a2+b2=C2则该三角形是直角三角

形

在4ABC中，abc为三边长，其中c为最大边，

若a2+b2=C2,则AABC为直角三角形

若a2+b2>c2，则4ABC为锐角三角形

若a2+b2<C2,则AABC为钝角三角形

2.勾股数:满足a?+b2=C2的三个正整数（即能构成一个直角三角形三边的一组正整数）称

为勾股数（勾股数是正整数）

规律:一组能构成直角三角形的三边的数，同时扩大或缩小同一倍数（即同乘以或除以同一个

正数），仍能够成直角三角形

一组勾股数的倍数不一定是勾股数，因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数

常用勾股数：3,4,5（三四五）9,12,15（3,4,5的三倍）5,12,13（5.12记一生）

8,15,17（八月十五在一起）6,8,10（3,4,5的两倍）7,24,25（企鹅是二百五）

勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5连续的偶数勾股数只有6,8,10

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长abc满足a2+b2=.c2那么这个三角形是直角三角形

根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤

(1)确定最大边

(2)算出最大边的平方另两边的平方和

(3)比较最大边的平方与另两边的平方和如果相等则此三角形是直角三角形不要盲

目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系

勾股定理的作用勾股定理揭示了直角三角形的三边关系其作用有

(1)己知直角三角形的任两边求第三边问题

(2)证明三角形中的某些线段的平方关系

(3)作长为无理数的线段.

注意若已知直角三角形的两边求第三边时先确定是直角边还是斜边若求直角

边则利用勾股定理的变形式或若求斜边则利用c?=a2+b2若不能确定则分以

上两种情况讨论

题型一直接考查勾股定理

例.在A4BC中ZC=90°分析直接应用勾股定理

a2+62=C2

已知AC=68c=8求成的长解AB=y/ACi+BC2=10

已知A8=17AC=15求BC的长解BC=4ABAAC2=8

题型二应用勾股定理建立方程

例.在A4BC中ZACB=90°AB=5cmBC=3cmCQJLA8于Z)CD

已知直角三角形的两直角边长之比为3:4斜边长为15则这个三角形的面积为

已知直角三角形的周长为30cm斜边长为13c、m则这个三角形的面积为

分析在解直角三角形时要想到勾股定理及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘

积有时可根据勾股定理列方程求解

解AC=yjAB2-BC2=4CD=AC'BC-=2.4

AB

设两直角边的长分别为3&4%，（3&）2+（4&）2=152:.k=35=54

设两直角边分别为ab则a+b=17.2+从=289可得M=60S=Lb=30而

2

例.如图AABC中ZC=90°Z1=Z2CD=1.5BD=2.5求AC的长

分析此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解作QE_L49于E

Z1=Z2ZC=90°

DE=CD=1.5

在MDE中

ABED=90°,BE=yjBDi-忘=2

'Rt\ACD=Rt/^AED

AC=AE

在RfAABC中ZC=90°

ABI=AC2+BC2（AE+EB）2=AC2+42AC=3

例4.如图RMA8CNC=90。AC=3,8C=4,分别以各边为直径作半圆求阴影部分面积

答案6

题型三口实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树一棵高8cm另一棵高2cro两树相距8cro一只小鸟从一棵树的

树梢飞到另一棵数的树梢至少飞了m

▲

分析根据题意建立数学模型如图43=8mCD=2mBC=8m过点。作

DE_LAB垂足为E则AE=6mDE=8m

在RAADE中由勾股定理得A£>=jAE2+r>E2=10

答案10m

题型四口应用勾股定理逆定理口判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为abc判定A48c是否为RS

a=1.5h=2c=2.5“=*%=]c=z.

43

解42+62=1.52+22=6.25C2=2.52=6.25

\ABC是直角三角形且NC=90。

h2+C2=—〃2=—/?2+C2「.△AB。不是直角三角形

•.916

例7.三边长为QbC满足〃+b=10而=18c=8的三角形是什么形状

解此三角形是直角三角形

理由〃2+枚=(〃+b)2-lab=64且0=64

・•

：.a2+b2=C2所以此三角形是直角三角形

题型五［］勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.己知MBC中AB=\3cmec-iocmBC边上的中线45=12cm求证

AB=AC

证明

A

A

BDC

AD为中线:.BD=DC=5cm

■•

在AABD中4)2+802=169/1B2=169/.AD2+BD2=AB2

:.ZADB=90°/.AC2=ADi+DC2=169AC=13cm/.AB=AC

第四章实数

「正整数

收数J零

厂有理数11典整数

＞有限小数或无限循环小数、

广£分数

分数七

J负分数

小数

1.实数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

实数与数轴上的点是一一对应的

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数

绝对值

a(a>0)

IaI=<0(。=0)

—a(a<0)

无理数

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示反过来任何有限小数或无限循环小数也

都是有理数

1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数（两个条件：无限不循环）

练习下列说法正确的是

A无限小数是无理数

B带根号的数是无理数

C无理数是开方开不尽的数

D无理数包括正无理数和负无理数

2.无理数：（1）特定意义的数如

⑵特定结构的数如2.02002000200002

（3）带有根号的数但根号下的数字开不尽方如

3.分类:正无理数和负无理数

算术平方根定义如果一个非负数X的平方等于小即尤2=〃

那么这个非负数X就叫做4的算术平方根，记为五,

算术平方根为非负数而20

正数的平方根有3个，它们互为相反数

平方根,0的平方根是0

负数没有平方根

2.无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a,即X2=”，那么这个数就

叫做a的平方根，记为土石

正数的立方根是正数

立方根■负数的立方根是负数

0的立方根是

定义：如果一个数x的立方等于a,即X3=”，那么这个数x

就叫做a的立方根，记为行.

（概念有理数和无理数统称实数

正数

有理数、

分类------或

无理数〜

负数

3.实数及其相关概念

绝对值、相反数、倒数的意义同有理数

实数与数轴上的点是一二对应

实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则

运算规律相同。

平方根

1.定义:如果一个数x的平方等于a即X2=a那么这个数x叫做a的平方根也叫做二次

2.表示方法：正数a有两个平方根一个是a的算术平方根另一个是它们是

一对互为相反数合起来是

3.开平方:求一个数a的平方根的运算叫做开平方（其中,a叫被开方数，且a为非负数）开平

方与乘方是互为逆运算

判断12是4的平方根

2-2是4的平方根

34的平方根是2

44的算术平方根是-2

517的平方根是

6-16的平方根是-4

小结：一个正数有两个平方根，它们互为相反数

0只有一个平方根，它是0本身

负数没有平方根

立方根

1.定义：如果一个数x的立方等于a即X3=a,那么这个数x叫做a的立方根（三次方根）

2.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0

3.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方（其中,a叫被开方数）

4.平方根与立方根的联系与区别：

⑴联系：0的平方根立方根都有一个是0

平方根立方根都是开方的结果

（2）区别：定义不同个数不同表示方法不同被开方数的取值范围不同

方根的估算

1.估算无理数的方法是1通过平方运算采用夹逼法确定真值所在范围2根

据问题中误差允许的范围在真值的范围内取出近似值

2.精确到与误差小于意义不同如精确到1m是四舍五入到个位答案惟一误差小于

1m答案在真值左右1m都符合题意答案不惟一在本章中误差小于1m就是估算到个

位误差小于10m就是估算到十位

用计算器开方

实数

知识回顾:1统称有理数

2叫做无理数

3有理数分为小数和小数

4有理数包括.零、

L实数:有理数和无理数统称为实数（正实数,0和负实数）

2.在实数范围内相反数倒数绝对值的意义和有理数范围内的相反数倒数绝对值

的意义完全一样

3.每一个实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的每一点都表示一个实数，即实数和

数轴上的点是一一对应的

例:a是一个实数,它的相反数是绝对值是

如果a0,那么它的倒数是

第五章平面直角坐标系

5.1确定位置

引例:电影票角教室座位经纬度

在平面上确定物体的位置一般需要两个数据a和b记作ab

a表示:排行经度角度

b表示:号列纬度距离

生活中还有哪些确定位置的其他方法

Q)如果全班同学站成一列做早操现在教师想找某个同学是否还需要用2个数据呢

⑵多层电影院确定座位位置用两个数据够用吗

必须有三个数据abc其中a表示层数b表示排号c表示座号即a层b排

c号

⑶确定小区中住户的位置必须有四个数据分别为楼号a单元号b层数c和住户号d

即a楼b单元c层d号

⑷区域定位法绘出所在区域代号如B3D5等排球比赛队员场上的位置等

准确定位需几个独立数据

(1)已知在某列或某行上，只需一个数据定位

⑵在一个平面内确定物体位置，需两个数据

⑶在空间中确定物体位置，需要三个独立数据

5.2平面直角坐标系

1.平面直角坐标系:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系

坐标原点(0,0),第一二三四象限，注意:坐标轴上的点不属于任何象限

2.坐标:在平面直角坐标系中一对有序实数可以确定一个点的位置反之任意一点的位

置都可以用一对有序实数来表示这样的有序实数对叫做点的坐标

规律1：

点Pxy在第一象限xOyO点Pxy在第二象限x0y0

点Pxy在第三象限x0y0点Pxy在第四象限x0y0

x轴上的点的纵坐标为0表示为x0,y轴上的点的横坐标为0表示为0y)

点Pxy到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为冈,到原点的距离是

例:到X轴的距离为2,到,y轴的距离为3的点有个,它们是

规律2:

关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数

关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数

关于原点对称的点的横坐标纵坐标都互为相反数

平行于x轴的直线上的点其纵坐标相同两点间的距离=

平行于y轴的直线上的点其横坐标相同两点间的距离=

一三象限的角平分线上的点横坐标等于纵坐标可记作mm

二四象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数,可记作m-m

点拨:同一点在不同的平面直角坐标系中其坐标不同

根据实际需要可以建适当的平面直角坐标系

第六章一次函数

6.1函数

常量:在变化过程中保持不变取值的量叫常量

变量:在变化过程中可以不断变化取值的量叫变量

函数:一般地设在一个变化的过程中有两个变量x和y如果对于变量x的每一个值变量

y都有唯一的值与它对应我们称y是x的函数其中x是自变量y是因变量

函数中自变量取值范围的求法

1用整式表示的函数自变量的取值范围是全体实数

2用分式表示的函数自变量的取值范围是使分母不为。的一切实数

3用奇次根式表示的函数自变量的取值范围是全体实数

用偶次根式表示的函数自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实

数

4若解析式由上述几种形式综合而成须先求出各部分的取值范围然后再求其公共范

围即为自变量的取值范围

5对于与实际问题有关系的自变量的取值范围应使实际问题有意义

6.2一次函数

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数,k不为零）的形式，则称y是x的一

次函数x为自变量,y为因变量特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数（正比例函数是特

殊的一次函数）

6.3一次函数的图像

1.函数图象的定义一般的对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为

点的横纵坐标那么在坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象

2.用描点法画函数的图象的一般步骤

1列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值

注意列表时自变量由小到大相差一样有时需对称

2描点在直角坐标系中以自变量的值为横坐标相应的函数值为纵坐标描出表格

中数值对应的各点

3连线按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来

3.函数有三种表示形式1列表法2图像法3解析式法

4.正比例函数与一次函数的概念

一般地形如y=kx（k为常数且k0）的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数

一般地形如y=kx+b（k,b为常数且k0）的函数叫做一次函数.

当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数是一次函数的特例.

5.正比例函数的图象与性质

1）图象:正比例函数y=kx（k是常数k0））的图象是经过原点的一条直线我们称它为

直线y=kx

（2）性质:当k>0时，直线y=kx经过第三一象限从左向右上升即随着x的增大y也增

大当k<0时，直线y=kx经过二，四象限从左向右下降即随着x的增大y反而减小

6.求函数解析式的方法：

待定系数法先设出函数解析式再根据条件确定解析式中未知的系数从而具体写出这

个式子的方法

1.一次函数与一元一次方程从数的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0

2.求ax+b=0（a,b是常数a0）的解从形的角度看求直线y=ax+b与x轴交点的

横坐