2023-2024学年福建省三明重点中学高二（上）月考数学试卷一（8月份）（含解析）

2023.2024学年福建省三明重点中学高二（上）月考数学试卷（一）（8

月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知点4（，弓,1）,B（3C,3），则直线AB的倾斜角是（）

A.60°B.30°C.120°D.150°

2.已知点AQ3）和点B（5,2）到直线2的距离相等，且/过点（3,-1）,则直线，的方程为（）

A.x+4y+1=0或x—3B.x+4y-1=0或x=3

C.%+4y+1=0D.%4-4y—1=0

3.若直线QX+3y+1=0与直线，2：2x+（a+l）y+1=0互相平行，则a的值是（）

A.-3B.2C.-3或2D.3或一2

4.圆C].・+y2=1与圆（%—3）2+（y+4）2=m2（巾＞0）内切，则实数TH的值为（）

A.4B.5C.6D.7

5.设％,y6/?,向量方=（%,1,1）,下=（2,—4,2）且五1至，b//c，则|力+另|=（）

A.27~2B.3C.V-10D.4

6.已知正方体4BC0-4的棱长等于a,则温•跖的值为（）

A.a2B.2a2C.3a2D.y/~6a2

7.已知实数％,y满足3%-4y-6=0,则//+丫2一2y+1的最小值为（）

A.2B.13C.|2D.19

8.已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直线I：2x+y+2=0,P为I上的动点，过点P作。M的切线P4

PB,切点为4,B,当|PM|•|4旬最小时，直线48的方程为

（）

A.2%—y—1=0B.2%+y—1=0C.2x-y+1=0D.2%+y+l=0

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知直线八mx+y+1=0,4（2,1）,6（0,-1）,则下列结论错误的是（）

A.直线I恒过定点（0,1）B.当m=l时，直线I的倾斜角为当

C.当m=0时，直线/的斜率不存在D.当m=-l时，直线/与直线AB平行

10.已知圆4：x2+y2-2y-3=0,则下列说法正确的是（）

A.直线x=-1与圆4相切

B.圆4截y轴所得的弦长为4

C.点在圆4外

D.圆4上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为3

11.在正方体488-4/1的。1中，E为。5的中点，F在棱CWi上，下列判断正

确的是（）

A.若昆尸〃平面&BE,则F为G5的中点

B.平面L平面4屎

C.异面直线为B与CE所成角的余弦值为!

D.右48=1,则以［-B1BE=g

12.过原点的直线，与圆M：/+丫2+2%一2丫-16=0交于4,B两点,且（不经过点M,则（）

A.弦4B长的最小值为8

B.△M4B面积的最大值为

C.圆M上一定存在4个点至4的距离为2/7

D.A,B两点处圆的切线的交点位于直线x-y-16=0上

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.过点（1,一1）且与直线2x+3y-6=。垂直的直线方程为.

14.已知空间向量五=（2,—1,3）、3=（—1,4,一2）、口=（45,5）共面,则实数;I的值为.

15.若4（6,-1,4）,F（l,-2,1）,C（4,2,3）,则△4BC的形状是.（选填：锐角三角形、直角三角形或钝

角三角形）

16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点4,B距离之比为常数2（4>0且4*1）的点的轨迹是

一个圆心在直线48上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：

可波亨尼贝斯

如图，在长方体4BC0-AiBiGOi中，AB=2AD=2AAT=6,点E在棱4B上，BE=2AE,动点P满足BP=

CPE.若点P在平面4BC。内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为;若点P在长方体4BC0

内部运动，尸为棱GDi的中点，M为CP的中点，则三棱锥M-&CF的体积的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知丘=(3,2,-1),b=(2,1,2).

(1)求0+区)•0—2石)；

(2)当1时,求实数k的值.

18.(本小题12.0分)

已知△ABC的顶点2(1,1),C(3,-4),边BC的垂直平分线所在直线方程为x-y-5=0.

(1)求边BC所在直线方程；

(2)求△ABC的面积.

19.(本小题12。分)

如图，三棱柱4BC-4B1G中，底面边长和侧棱长都等于1,NB441=4C441=60。.

(1)设瓯=有，荏=石,AC=c＜用向量五，B，不表示西，并求出BG的长度；

(2)求异面直线4当与BQ所成角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

已知圆心为C的圆经过三个点。(0,0)、力(一2,4)、8(1,1).

(1)求圆C的方程；

(2)若直线I的斜率为-2在y轴上的截距为-1,且与圆C相交于P、Q两点，求AOPQ的面积.

21.(本小题12.0分)

正三棱柱4BC-&B1C1中，BC=CJ=2,。为BC的中点，点E在71公上.

(1)证明：BC1平面44D；

(2)若二面角4-DE-G大小为30。，求以4，E,D,G为顶点的四面体体积.

22.(本小题12.0分)

如图，圆M：(x-2)2+y2=1,点P(-l,t)为直线I：x=-l上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分

别为4,B.

(1)若t=-l,求切线所在直线方程；

(2)若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点，求|S7|的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析［解：•.•心8=泉

设直线4B的倾斜角是0,

tand=?且0。<0<180°,

e=30°.

故选:B.

根据斜率公式以及定义即可求出.

本题考查了斜率公式问题，考查直线的倾斜角，是基础题.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率公式、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

先求出直线4B的斜率，由点4(1,3)和点B(5,2)到直线/的距离相等，且I过点得到直线呜直线4B平

行，且直线2过点(3,-1),或直线/的方程为x=3,由此能求出直线/的方程.

【解答】

解：•••点力(1,3)和点B(5,2),二七8=仔=一；，

•••点4(1,3)和点3(5,2)到直线，的距离相等，且，过点

•••直线I与直线4B平行，且直线/过点(3,-1),或直线I的方程为x=3,

.1.直线［的方程为：y+l=—；(x—3),或x=3,

整理得：%+4y+1=0或%=3.

故选：A.

3.【答案】A

【解析】解：直线I］：QX+3y+1=0与％：2x+(a+l)y+1=0互相平行，

则a(a+1)=2x3,解得Q=2或a=-3,

当a=2时，直线匕，G重合，不符合题意，

当。=一3时，直线。平行，符合题意.

故选：A.

根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查直线平行的性质，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由题知Cl：+y2=1,(X—3)2+(y+4)2=巾2(根>0)

所以C1(O,O),夕=1,C2(3,-4),r2=m,

因为圆G；/+y?=1与圆(x—3)2+(y+4)2=>0)内切，

所以IC1C2I=匕一即5=|1—TH|,

因为m>0,

所以m=6>

故选：C.

由圆C1，内切得IGC2I=匕一句即可解决.

本题主要考查联立圆与圆位置关系的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：X,yeR,向量五=(x,l,l),b=(l,y,l)-m=(2,—4,2)且五13，b//c>

可得x+y+l=0,1解得x=1,y=-2,

则日+9=(2,-1,2)，

则|五十旬=J22+(—1尸+22=3,

故选:B.

利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解即可.

本题考查空间向量的垂直与共线，向量的模的求法，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：如图所示,

建立空间直角坐标系：

则A(a,0,0),B(a,a,0),^(O,a,a),

ACX—(—a,a,a)>BCr—(—a,0,a)>

,1,4G•BC[=a2+0+a2=2a2-

故选:B.

如图所示，建立空间直角坐标系.利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论.

本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：vyjx2+y2—2y+1=yjx2+(y—1)2>

.•.上式可看成是一个动点M(x,y)到定点N(O,1)的距离，

即为点N到直线3x-4y-6=0上任意一点M(x,y)到定点N(O,1)的距离，

S=|MN|的最小值应为点N到直线，的距离，

c_|3x0-4xl-6|__

即：5min-I-4

J32+(-4)2

故选：A.

因为J%2+y2-2y+i=J为+3_1)2,原式的最小值即为点N(0,l)到直线3x-4y-6=0的距离，

即可得答案.

本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，也考查了转化思想，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求法，属于拔高题.

由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得S四边形PAMB=：|PM|,=27|PM|2-4,说明要使

最小，则需|PM|最小，此时PM与直线Z垂直.写出PM所在直线方程，与直线/的方程联立，求得

P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得4B所在直线方程.

【解答】

解：化圆M为1)2+(y—1)2=4,

圆心M(1,1),半径r=2.

•••S四边形PA.=\\PM\-\AB\=2S^PAM=\PA\.\AM\=2\PA\=2j|PM|2-4,

要使|PM|•|4B|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直.

直线PM的方程为y-1=-1),即y=gx+g.

f_11

联立一/十5,解得P(-I,O).

12%+y+2=0

则以PM为直径的圆的方程为久2+⑶一界=右

叱安仔2+y2-2x-2y-2=0

lx2+y2-y—1=0

可得直线4B的方程为2x+y+1=0.

故选：D.

9.【答案】ACD

【解析】解：•••直线Lmx+y+l=0,令x=0,可得y=—l,故直线计亘过定点(0,—1),故A错误;

当m=l时，直线唧x+y+l=0,它的斜率为一1,故它的倾斜角为率故B正确；

当?n=0时，直线I即y+l=0,它的斜率为0,故C错误；

当m=—1时,直线Z即一％+y+1=0,即％—y—1=0,

由4(2,1),B(0,-l),可得直线AB的方程为？二=汽，即x-y-l=0,

故当m=—1时，直线，与直线重合，故。错误，

故选：ACD.

由题意，利用直线的斜率和倾斜角，直线的斜率公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的斜率公式，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：由圆4：%2+丫2-2丁一3=0得/+(丫-1)2=4,

所以圆心4(0,1),半径r=2,

对于4：圆心4到直线x=-1的距离为1,所以直线x=-1与圆4不相切，故A不正确；

对于B：圆心4在y轴上，故圆4截、轴所得的弦长为2r=4,故B正确;

对于C：把点8(-1,一1)到圆心力的距离d=J(-1—0)2+(—1一=[§>2,所以点B在圆A外，故C

正确；

对于D：圆4上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为圆心4到直线的距离减去圆的半径，

.|0-4+19|....,

又圆心4到直线的距离d=了不了=3,所以圆4上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为3-2=1,

故。错误.

故选：BC.

首先将圆的方程化为标准方程，即可确定圆的半径，利用圆心到直线的距离可判断4,利用y轴过圆心可得

圆截y轴的弦长可判断B,求出圆心到8的距离可判断C,求得圆心到直线的距离即可确定圆上的点到直线距

离的最小值可判断0.

本题考查圆的切线的判断方法，过圆心的弦长的求法，点与圆的位置关系，圆上的动点到直线的距离的最

小值的求法问题，属基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为2,

所以4(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),E(0,2,l),8式2,0,2),F(x,2,2)(xG[0,2]),

对于4选项，所以项=(2,0,—2),砧=(0,2,-1),帝=(%-2,2,0)，

设祐=Qi，yi，Zi)是平面&BE的法向量，

则偿啕:。故令%=1，则元=(2,1,2),

所以瓦？•元=2(%-2)+2=0，解得x=l,此时F为6么的中点，故A选项正确；

对于B选项，设记=(久2/2*2)是平面ADCiBi的法向量，

由于而=(0,2,0),福=(2,0,2)，则像：：0°，即已？Z2，

令Z2=1得前=由于云=(2,1,2),所以记•钻=0,所以平面ADGBi_L平面&BE,故B选项正确；

对于C选项，A^B=(2,0,-2),C£=(-2,0,1)>所以cos〈项，荏>=।就需।=?曰N=一^裂，

所以异面直线4B与CE所成角的余弦值为富，故C选项错误；

对于。选项，若2B=1,则以「/BE="-4/避=gxgx1x1x1=/故。选项正确.

故选：ABD.

根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为2,进而根据坐标法依次讨论各选项即可得答案.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：M：x2+y2+2x-2y-16=0化为标准方程：M：(x+1/+(y-1产=18,设M到直线I的

距离为d,则dW|0M|=V~2,

对于4由垂径定理券=V18-卢2Q石=4,即|4B|N8,当且仅当d=。，即。M11时取等号，

故弦AB长的最小值为8,故A正确；

对于B：△MAS面积为:\AB\'d=dV18-cP=V-d4+18d2,令1=d?,贝ij：△MAE面积为""+18t，

te(0,2],而y=-/+18t=-«-9)2+81在(0,2]上单调递增，所以将仙=ylt=2=32,于是△M4B面

积的最大值为4，至，B正确；

对于C：当0MJU时，d=>J~2,至〃的距离为2/2的点由3个，C错误；

对于D：A,B两点处圆的切线的交点坐标为(m,n),则直线为切点弦所在直线方程，为：mx+ny+m+

x-(n+y)-16=0,由于直线AB过原点，所以m-n-16=0,即4B两点处圆的切线的交点位于直线

x—y—16=。上.

故选：ABD.

化简圆的方程为标准方程，结合已知条件求解选项即可.

本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长、面积、点到直线距离、切点弦直线方程，属于综合性较强的中

档题.

13.【答案】3x-2y-5=0

【解析】解：设与直线2x+3y-6=0垂直的直线的方程为：3x-2y+t=0,

将(1,一1)代入可得3x1-2(-1)+t=0,可得t=-5,

所以所求直线方程为：3x-2y—5=0.

故答案为：3x-2y-5=0.

求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

本题考查两条相互垂直的直线的性质的应用，属于基础题.

14.【答案】4

【解析】解：•.•苍=(2,—1,3),方=(一1,4,一2),下=(4,5,5)共面,

二存在实数％,y,使得2=xW+yB，

所以(尢5,5)=x(2,-l,3)+y(—1,4,-2)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),

2x-y=A仔=3

-x+4y=5,解得y=2

3x-2y=5=4

故答案为：4.

利用空间向量共面的条件，设2=刀五+丫石，列出方程组求出4的值.

本题考查了空间向量共面的条件，属于基础题目.

15.【答案】锐角三角形

【解析】解:因为4(6,-1,4),B(l,-2,1),C(4,2,3),

则荏=(一5,—1,-3)，AC=(-2,3,-1).就=(3,4,2)，

所以，|丽|二V25+1+9=V^5，\'AC\=V4+9+1=<14.\BC\=V9+16+4=V-^9-

所以，△ABC中，AB边最长,内角C最大，

所以，CA■CB—(2,—3,1),(—3,—4,—2)——6+12—2—4>0>

显然方、方不共线，故C为锐角，故△ABC为锐角三角形.

故答案为：锐角三角形.

利用空间中两点间的距离公式可知，AABC1中，4B边最长，内角C最大，求出琳.万，可判断出C为锐角,

即可得出结论.

本题考查了三角性的形状的判断，属于基础题.

16.【答案】2V~^；3

【解析】【分析】

本题考查了空间动点轨迹问题，考查了转化思想，计算能力，属于中档题.

①若点P在平面4BCD内运动时，如图以4为原点，所在直线为x轴，4D所在直线为y轴，建立平面直角

坐标系，可得E(2,0),B(6,0).设P(x,y),由BP=「PE可得BP?=3PF2.BP3(x-2)2+3y2=(x-6)2+y2,

^x2+y2=12.即可求得半径.

②若点P在长方体48。。-41公(71。1内部运动，由①可得点P在半径为2/3,球心为4球上.建立空间直角

坐标系，求得4到面FCB］的距离，即可求得P到面FC/的距离的最小值，从而求出M到面FC/的距离的最

小值，最后利用体积公式即可求解.

【解答】

解：①若点P在平面4BCC内运动时，

如图以A为原点，4B所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得E(2,0),6(6,0).

设P(x,y),由BP=V3PE可得BP?=3PE2.

即3(x-2)2+3y2=(%-6)2+y2,=>%2+y2=12.

则点P所形成的阿氏圆的半径为2/3.

②若点P在长方体48CD-内部运动，由①可得点P在半径为2「，球心为A球上.

如图以。为原点,。4。(7,。。1，所在直线为刀,、,2轴建立空间直角坐标系，可得4(3,0,0),尸(0,3,3)((0,6,0),

Bi(3,6,3),

则定=(0,3,-3),两=(3,3,0)，AC=(-3,6,0)

设面FaC的法向量为记=(x,y,z),

m-Tc=3y—3z=0

Wm=(1,-1,-1).

m-FB；=3x+3y=0

4到面FOB1的距离为d=嚅=言=3/3.

•••则P到面FCBi的距离的最小值为2/3=q,

・••M为CP的中点，M到面FC/的距离的最小值为年.

则三棱锥M-B】CF的体积的最小值为:SMCBJ?=gx?x(3<7)2x?=%

故答案为：2A/-3,去

17.【答案】解：(1)己知方=(3,2,—1),1=(2,1,2)，

则片=14»石2=9，4•b=6,

所以位+b)-(a-2b)=~a2-a-b-2b=14-6-2x9=-10；

(2)因为(kK+石)1(a-fcb)-

所以(人日+方”(苍一忆3)=九五2+(1一12)五/一忆32=wk+6(1—炉)-%=0>

解得k=|或_|.

【解析】(1)根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算即可；

(2)由(kE+另)1(a-kby得(kN+另)•(五-卜方)=0,再根据数量积的运算律结合数量积的坐标公式计算

即可.

本题考查了空间向量数量积的运算律，重点考查了空间向量数量积的坐标运算，属中档题.

18.【答案】解：(1)由题意边BC的垂直平分线所在直线方程为x-y-5=0,

则ABC=-1，

又C(3,-4)

•••BC边的直线方程为y+4=(-1)(%-3),

即x+y+1=0,

(2)由题意％-y—5=0是BC边的垂直平分线，

所以点B与点C关于％-y-5=0对称，

设B(a,b),则BC中点为(亨,殍)，

代入得二:,

所以B(—1,—4),

\BC\=J(-1-3尸+(-4+4G=4.

A点到BC的距离为

_11+1+11_3c

a~<2—2

所以SAABC=；X4x手=3<1.

【解析】(1)由题意先求BC的斜率，再求方程即可，

(2)先求B点坐标，再求BC的长度，再求三角形的高即A点到BC的距离，再求面积即可.

本题考查了直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)M=西+^7=五+1-弓

•••日/=五々=几不=|跖|=J(a+c-b)2=<7-

(2)丽=1+方，\ABi\=/^+b)2=y/~3>AB^-BC^=(a+K)(a+c-K)=1»

cos<丽区=

••・异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

6

【解析】(1)西=西+瓯=方+3一方，=(a+c-b)2'即可.

(2)先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基

底表示，

然后利用夹角公式求异面直线与BG所成角的余弦值即可.

题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，

考查学生的计算能力.

20.【答案】解：(1)设所求圆的方程为%2+y2++尸=o,

F=0

则4+16—2。+4E+尸=0,

.l+l+D+E+F=0

解得。=2,E=-4,F=0.

・・.圆C的方程为/++2%-4y=0；

(2)圆％2+y2+2%_4y=0的圆心坐标为C(-l,2),半径为，亏.

直线，的方程为y=-gx-1,即4x+3y+3=0.

,|—Ix4+2x3+3|1

圆心到直线］的距离心=-I2々=1，

J42+32

\PQ\=2J(<5)2-1=4-

,_10+0+31_3

原点0到直线I的距离血=不『=5,

Q3Z+4Z

OPQ的面积S=|x4x|=1.

【解析】本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，是中档题.

(1)设圆的一般式方程，把点的坐标代入圆的方程，求解方程组可得D,E,F的值，则圆的方程可求；

(2)写出直线，的方程，求出圆心到直线，的距离及弦长，还有原点。到直线I的距离，则△OPQ的面积可求.

21.【答案】(1)证明：•.•正三棱柱ABC-4B1G，则441平面2BC,乂8Cu平面ABC,二BC1,

又。为的中点，贝平面遇

BCIJ4C1.BC,AD.4AluAD,ADCtArA=A,

BC_L平面44D.

(2)解：由