随机变量的分布列（决策类）-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练48—随机变量的分布列(决策类)

i.在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的

概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在

使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”

(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算

机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为一卜，它们之间相互不影响.

(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值；

(2)当r=0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；

(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知，

计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损

失，有以下两种方案：

方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在09更新设备硬件总费用为8

万元；

方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.

请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？

解：(1)要使系统的可靠度不低于0.992,

则尸(X蝎)=1一尸(X<l)=l-P(X=0)=l-(l-r)30.992,

解得r..0.8,故r的最小值为0.8.

(2)X正常工作的设备数，由题意可知，X~B(3,r),

尸(X=0)=c；X0.9°x(l-0.9)3=0.001,

P(X=1)=C；x0.91x(l-0.9)2=0.027,

P(X=2)=C；x0.92x(l-0.9)1=0.243,

P(X=3)=C；X0.93x(l-0.9)°=0.729，

从而X的分布列为

X0123

P0.0010.0270.2430.729

(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1,X2,

采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9,由(2)可知计算机网络断掉

的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,

因为E(X1)=80000+0.001x500000=80500元.

采用方案2,对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络

断掉的概率为0.008,

E(X2)=50000+0.008X500000=54000元,

因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2.

2.为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实

体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一

些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时要进行调查统计.某一小型工厂自己没有

管理软件的高级技术员，欲购买软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理

软件服务公司提供了如下两种方案：

方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，每次提供软件服务时，再另外收取200

元.

方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次,

不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次的收费标准为500元.

(1)设该管理软件服务公司月收费为y元，每月提供软件服务的次数为无，试写出两种

方案中y与X的函数关系式.

(2)该工厂对该管理软件服务公司近20个月每个月为另一个工厂提供软件服务的次数

进行了调查统计，得到如图所示的条形图.该工厂要调查服务质量，服务次数为13次和

16次的月份中任选3个月，求这3个月中恰好有1个月的服务次数为13次，2个月的服

务次数为16次的概率.

(3)依据条形图中统计的数据，从节约服务成本的角度考虑，以一个月管理服务费的平

均值为决策依据，从两种方案中选择一种，该工厂选择哪种方案更合适？请说明理由.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

解：(1)由题意知方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为：

y=200x+4800,xeN.

方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：

’7600,x<15,且x€N,

y=i

500x+100,x〉15,且x€N.

(2)记选择的3个月中，恰好有1个月的服务次数为13次，2个月的服务次数为16次

为事件A,

由题中条形图得服务次数为13次的2个月份，分别记为A,B,

服务次数分别为16次的4个月份记为a,b,c,d,

从这6个月中随机选择3个月，所有可能的情况有20种，分别为：

(A,B,a),(A,B,Z?),(A,B,c),(A,B,d),

(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),

(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),

(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),

(〃，b,c),(〃，b,d),(〃，c,d),Qb,c,d),

这3个月中恰好有1个月的服务次数为13次,2个月的服务次数为16次包含的基本事件

有12种，分别为：

(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),

(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),

・••这3个月中恰好有1个月的服务次数为13次，2个月的服务次数为16次的概率为P

=1一2二—3•

205

(3)设方案一中管理软件服务公司的平均收费为同，

由已知和(1)中的结果可得二二工(7400X2+7600X8+7800X2+8000X4+8200X4)

丫120

=7800(元)，

设方案二中管理软件服务公司的平均月收费为二二工乂(7600X12+8100X4+8600X4)

y220

=7900(元)，

•..•.从节约服务成本的角度考虑，记工厂选择方案一更合适.

3.为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实

体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一

些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计.某一小型工厂自己没

有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某

一管理软件服务公司有如下两种收费方案.

方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费

200元；

方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次,

不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元.

(1)设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为无，试写出两种

方案中y与x的函数关系式；

(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进

行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次

和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务、2个14次服务的概率;

(3)依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种

方案更合适，请说明理由.

解：(1)由题意知，方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y=

200x+4800,x£N,

方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：

<7600,x<15,x€N,

y=i

500x+100,x>15,x€N.

(2)记选择的3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务为事件A,

CoCo7

则P(A)=:8=,

c315

^10

(3)对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为孑元,

由条形统计图得W的取值为7400,7600,7800,8000,8200,

P(^=7400)=0.1,

P聂=7600)=0.4,

P(1=7800)=0.1,

P(3=8000)=0.2,

P(§=8200)=0.2,

的分布列为：

74007600780080008200

P0.10.40.10.20.2

E(p=7400X0.1+7600X0.4+7800X0.1+8000X0.2+8200X0.2=7800.

对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为“元，

由条形统计图得n的可能取值为7600,8100,8600,

P(T]=7600)=0.6,

P(口=8100)=0.2,

P5=8600)=0.2,

Ail的分布列为：

n760081008600

P0.60.20.2

E(口)=7600X0.6+8100X0.2+8600X0.2=7900.

■:E(p<£(T]),

•••从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适.

4.小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲

方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励,

超过54单的部分每单奖励20元.

（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数〃的函数关系式;

（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下

条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在

（二二工，21]（〃=1,2,3,4,5）时，日平均派送量为50+2〃单，若将频率视为概率，

55

回答下列问题：

①估计这100天中的派送量指标的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）：

②根据以上数据，设每名派送员的日薪为x（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的

日薪X的分布列及数学期望.请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合

适？并说明你的理由.

解：（1）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数”的函数关系式为：y=100+”，nGN,

乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=

fy=140,n<54

J、，

y=20n-940,n》55,

⑵①(0.1X1+0.3X1.5+0.5X1+0.7X1+0.9X0.5)X0.2=0.44

②所以X甲的分布列为:

X甲152154156158160

P0.20.30.20.20.1

所以E（X甲）=152X0.2+154X0.3+156X0.2+158X0.2+160X0.1=155.4,

所以X乙的分布列为：

X乙140180220260

P0.50.30.20.1

所以E（X乙）=140X0.5+180X0.3+220X0.2+260X0.1=176,

由以上的计算结果可以看出，E（X甲）＜E（X乙），

即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.

5.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互

独立.在A处每投进一球得3分，在8处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分

逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则

应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：

方案1：先在A处投一球，以后都在8处投；

方案2：都在3处投篮.

已知甲同学在A处投篮的命中率为工，在8处投篮的命中率为居.

45

（I）若甲同学选择方案1,求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）；

（II）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.

解：（I）设甲同学在A处投中为事件A,在8处第次z•投中为事件5册=1,2）,

由己知p（A）=[,X的取值为0,2,3,4.

则P(X=0)=P(AB1B2)=P(A)P(B1)P(B2)4-X^-X^-=-^r

i，1/455100

——R41R146

P(X=2)=P(ABB)+P(ABB)=TX-FXF+TXFXF=7F，

‘1乙2,1乙243343b

1—QA4.19

P(X=3)=P(A)4，P(X=4)=P(AB1B2)=yX-^X-^=^-

4’4455N3

X的分布列为:

X0234

P3612

10025125

X的数学期望为：6(乂)=0><磊+2又条+3又4+4又条或今=3.15，

1UU4ZD1UU

(II)甲同学选择方案1通过测试的概率为P1,选择方案2通过测试的概率为P2,

则Pi=P(X=3)+P(X=4)4m^7=0-73，

TC1UU

——AAlA4414119

P2=P(B1B2)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=?X-4yX-X-4TX-X-=I2ro.896

•：P2>P1,

.•.甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.

6.2017年H月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光,

一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将

四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实

物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是

否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p(0<p<l),

若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据

市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的

30%,且这两种情况发生的概率分别为。和1-p.

(1)记X(单位：百万元)为投资项目一盈利额，求E(X)(用p表示)；

(2)试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项

目，并说明理由.

解：(1)由题意，记为盈利的田坑院个数，则Xi〜8(20,p),

则盈利的田坑院数的均值E(Xi)=20p,

故盈利的均值为£(X)=E(0.08X1)=0.08E(Xi)=0.08X20p=1.6p；

(2)记X2为投资项目二盈利额，则X2的分布列为：

X22-1.2

PP1-p

盈利的均值E(X2)=2p-12(1-p)=3.2p-1.2.

①当E(0.08X1)=E(X2)时，L6p=3.2p-1.2,

解得p=2,故两个项目均可投资；

4

②当E(0.08X1)>E(X2)时，L6p>3.2p-1.2,

解得0<p<3,此时选择项一；

4

③当E(0.08X1)<E(X2)时，1.60<3.2p-1.2,

解得p>旦，此时选择项二.

4

7.某智能机器人生产企业对一次性购买4台机器人的客户，推出了3种超过质保期后延期

2年内维修优惠方案：

方案1：不交维修延保金，维修1次费用6000元；

方案2：交纳延保金3000元，维修费用每次3000元；

方案3：交纳延保金5000元，在延保期内总共免费维修2次，超过2次每次维修费用2000

兀.

通过大数据得知，每台智能机器人在2年延保期内没有故障的概率为2,每台机器人出

3

现1次故障的概率为工.

3

记X表示这4台智能机器人超过质保期后延保的2年内，共需维修的次数.

（1）求X的分布列；

（2）以3个方案所需费用（所交延保金及维修费用之和结果，保留为整数）的期望值作

为决策依据，客户选择哪种延保方案更合算？请说明理由.

解：（1）X的所有可能取值为0,1,2,3,4

则P(X=0)=

P（X=l）=「1X邑）3x」=丝,

匕匕，381

P(X=2)=C：X(y)2x

母2噜

P(X=3)=「3义(A)3=W,

4381

p(x=4)=4=J_,

所以X的分布列为

X01234

P16322481

81比瓦81-81

（2）选择延保方案1,所需费用H元的分布列为:

Y106000120001800024000

P16322481

81

E(H)=0XJA+6000X32.+12000X^1+18000X_^+24000X_1_=8000,

8181818181

选择延保方案2,所需费用“元的分布列为:

Y23000600090001200015000

P16322481

81比8?8181

选择延保方案3,所需费用n元的分布列为：

Y3500070009000

P81

比81

E(73)=5000X.§.+7000X-L+9000X-L^5247,

98181

E(丫3)<E(P2)<E(Ki),

所以客户选择第3种延保方案更合算.

8.经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农

民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤

桃进行测重，其质量分布在区间［200,500］内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率

分布直方图如图所示：

(I)按分层抽样的方法从质量落在［350,400),［400,450)的白凤桃中随机抽取5个,

再从这5个白凤桃中随