2024年中考数学核心几何模型重点突破-几何变换之翻折模型（解析版）

专题31几何变换之翻折模型

内容导航：模型分析T典例分析一

【理论基础】

翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对

应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程

思想来考查。那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或

利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。

对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论

型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型

就没问题了。

解决翻折题型的策略

1.利用翻折的性质：

①翻折前后两个图形全等。对应边相等，对应角相等

②对应点连线被对称轴垂直平分

2.结合相关图形的性质（三角形，四边形等）

3.运用勾股定理或者三角形相似建立方程。

翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，

或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，

以及常见的解题套路。

翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或

利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，

需要准确的画图，才能准确分析。

【例1】如图，在中，点。是线段48上的一点，过点。作。E〃/C交3c于点E,

将"DE沿DE翻折，得到"'DE，若点C恰好在线段B7）上，若NBCD=90°,DC：CB'=3：

2,AB=16也，则的长度为（）

B'

A.472B.D-2

【答案】C

【分析】设DC=3无，CB'=2x,贝l]D3=5x,由折叠的性质得出。2=D8,,NBDE=NB'DE,

BE=B'E,由勾股定理求出8C=8近，设CE=a,则8£=8近-.=88，由勾股定理列

出方程求出。的值，则可得出答案.

【解析】解：设。C=3x,CB'=2x,贝ljD8'=5x,

将沿DE翻折，得到"'DE，

:.DB=DBr,/BDE=/B'DE,BE=B'E,

DE//AC,

;./A=/BDE,ZACD=ZCDE,

：.ZA=ZACD,

/.CD=AD=3x,

/.AB=AD+DB=3x+5x=8x=16\/2，

X=2V2>

:.CD=6亚，BD=\Q6，B'C=4V2，

BC=^BD2-CD2=872,

设CE=。，则BE=8C-a=B'E，

■：CE~+B'C2=B'E2,

2

解得a=3A/2，

:.CE=3m，

故选C.

【例2】如图，点E是菱形45CD的边CO上一点，将△/D£沿/E折叠，点。的对应点产

DF

恰好在边3c上，设匕=左

CE

A

--,D

（1）若点尸与点C重合，贝！U=

（2）若点/是边8C的中点，贝！U=

【答案】12

【分析】（1）若点尸与点C重合，则可知即可得出结果；

（2）点尸是边8c的中点，延长/E,与8C的延长线交于点H,根据折叠的性质以及菱形

的性质证明即可得出答案.

【解析】解：（1）当点尸与点C重合时，DE=CE,

CE

故答案为：1;

（2）延长ZE,与的延长线交于点H,

AD//BC,AD=BC,

ADAH=/FHA,

由折叠的性质知：AD=AF,/DAH=/FAH,

：.ZFAH=ZFHA,

：.FH=FA=AD,

・・•点厂是边5C的中点，

CF=-BC,

2

：.CF=-FH,

2

CH=CF=-FH=-AD,

22

・・•AD//CH,

：.AADE^AHCE,

.DEAD0

CEHC

故答案为：2.

【例3】(1)发现：如图①所示，在正方形48CD中，E为/。边上一点，将△/匹沿

翻折到△BE尸处，延长所交8边于G点，求证：△BFGHBCG.

(2)探究：如图②，在矩形4BCD中，E为/。边上一点，且4D=8,AB=6.将△/班

沿BE翻折到ABE尸处，延长所交8c边于G点，延长3尸交CD边于点X,S.FH=CH,

直接写出/£的长.

9

【答案】(1)证明见解析；(2)|

【分析】(1)根据将△/仍沿BE翻折到跖处，四边形ABCD是正方形，得AB=BF=BC,

ZBFE=ZA=90°,可得/瓦％=90。=/。，可得结论；

(2)延长4)交于。，设FH=HC=x,可得82+/=(6+x『，可得x的值，由尸G"丛BCH,

6_BGFG

§=，=尸'可得尸6,由石。〃68,。。〃。8,可求。。，进而可求/E；

33

【解析】(1)证明：•.•将沿BE翻折到△5£尸处，四边形/BCD是正方形.

：.AB=BF=BC,ZBFE=ZA=90°,

ZBFG=90°=ZC,

,:BG=BG,

：.RtABFG沿RtABCG；

(2)解：延长交于。，如图，

设FH=HC=x,由矩形及对折可得：AB=BF=CD=6,AD=BC=8,

在Rt丛BCH中，BC2+CH2=BH2,

/.82+X2=(6+X)2,解得x=g,

：.DH=DC-HC=—,

3

，/BFG=/BCH=9。。,/HBC=/FBG,

:.ABFGsABCH,

6BGFG

BFBG黑，即8

6+Z~T

~BCBHHC

33

5G咛FG=(

EQ//GB,DQ//CB,

:.AEFQSAGFB,/\DHQ^/\CHB,

7

BCCHan87

：'~DQ=~DH'即而=TT'

J

DQ=y

设AE=EF=m，贝lj£)E=8-m,

.ccc88144

・・EQ=DE+DQ=S-m+—=--------m

7

YEFQsAGFB,

144

-------777

・••以丝，即

BGFG257

44

Q

解得m=~,

2

一、单选题

1.一张正方形的纸片，如图进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线

剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和

是（）度.

A.1080°

【答案】A

【分析】根据题意可得展开图的这个图形是八边形，进而求出内角和.

【解析】解：展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8-2）x180。=1080°.

故选：A.

2.如图，四边形A8CD为平行四边形，若将△NC3沿对角线/C翻折得到连接成＞,

则图中与度数一定相等（除NC4。外）的角的个数有（）

A.2个B.4个C.5个D.7个

【答案】B

【分析】设/。与CE交于点。，由平行四边形的性质和折叠的性质得到证明

△O4C和△OEO都是等腰三角形即可得到答案.

【解析】解：设/。与CE交于点。，

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD,ZB=ZODC,AD//BC,BC=AD,

：.ZCAD=ZACB,

由折叠的性质可得：AE=AB,/B=NAEO,BC=CE,

：.AE=CD,ZAEO=ZCDO,AD=CE,

又：ZAOE=ZCOD,

：./XAOE^/^COD(AAS),

：.OD=OE,

：.OA=OC,

：.ZCAD=ZACO,ZOED=ZODE,

,：ZAOC=ZEOD,

AZOED+ZODE=ZOAC+ZOCA,

：.ZCAD=ZACO=ZOED=ZODE,

.•.与NC4D度数一定相等的角的个数为4个,

故选B.

3.如图，点D,E是正两边上的点，将△8AE沿直线DE翻折，点3的对应点恰好

落在边ZC上，当NC=5/尸时，些的值是()

【答案】A

【分析】根据等边三角形的性质得到N4=N2=NC=60。，根据折叠的性质得到/。雁=

DF)JD_DF)4F

N5=60。，BD=DF,BE=EF,根据相似三角形的性质得到器=二=笑,设//=

BECFCE

x,则4C=5x,CF=4x,解方程组即可得到结论.

【解析】解：•••△45C是等边三角形，

,ZA=ZB=ZC=60°,

•・,将△5OE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边4。上，

：・NDFE=/B=60。,BD=DF,BE=EF,

：.ZAFD+ZADF=ZAFD+ZCFE=120°,

NADF=/CFE,

：.AADFsACFE,

.BDAD

••而一三'

.BDAB-BDAF

,•耘一CF一~CE'

'：AC=5AF,

・•・设//=x,则4C=5x,CF=4x,

.BD_5x-BD_x

BE4x5x—BE

：.9BD=6BE,

・BD2

••=一,

BE3

故选：A.

4.如图，在△45C中，AB<AC,ZC=45°,AB=5,BC=4e,点。在4C上运动，连

接5。，把△BCD沿5。折叠得到△BC。，BC交AC于点、E,CD〃AB,则图中阴影部

分的面积是（）

A

——JC

20

D.—

7

【答案】D

【分析】作N足L3C,利用等腰直角三角形和勾股定理求出NC,再利用△功『-△/eg求

出/E,从而利用A/3£SA£）C£求出和CD,作8G_L/C,求出8G,即可求解.

【解析】解：如图，过点/作NFLBC于点尸，

VZC=45°,

：.AF=CF,AC=41CF,

•：AB=5,BC=4也，

：.BF=BC-CF=4yj2-CF,

在RtzX/8尸中，

AB2=BF2+AF2,

即52=(4V2-CF)2+CF2,

解得：CF=旦或应,

22

'AB<AC,

.AC=42CF=1,

,/\BCD沿BD折叠得到△BCD,

.CD=C'D,NC'=NC=45°,

'CD//AB,

.ZABE=ZC'=45°,

ZABC=ZABE+ZCBE=45°+ZCBE,/ABE=/C+/CBE=45。+NCBE,

・：/ABC=/ABE,

：.△ABCS^AEB,

,AEAB

即A

57

；.AE=",

7

・24

：.CE=AC-AE=—,

7

：.CrD=CD=CE-DE=——DE,

7

,:CDIIAB,

：.^ABE^^DCE,

.CD_DE

••同一元’

24

——DE

DE

即7

7

解得：DE=y,

,.•S^5C=-/lF«SC=lx—X4J2=14,

222

如图，过点8作3GL4C于点G,

.,.14=-x7x5G,

2

：.BG=4,

.111020

••S网影部分=-DE'BG=-x-x4=­.

故选：D.

5.如图，正方形48。中，AB=4,延长。C到点尸（0<CF<4）,在线段C3上截取点P,

使得CP=CF,连接3RDP,再将△DC尸沿直线DP折叠得到△£>£/.下列结论：

①若延长。P,则。尸_LE8；

②若连接CE,则CE〃68；

③连接尸尸，当E、P、下三点共线时，CF=4Q-4；

④连接/£、AF、EF,若是等腰三角形，则C尸=40-4；其中正确有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】证明乌△3CF,利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理可判断①，证

明。尸J_EC,结合5尸，。尸，可判断②，当E,P,尸共线时，求解/。尸。=/。尸£=

1OQO_/CPF

-----------------=67.5°.在CD上取一点J,使得CJ=CP,则ZCJP=ZCPJ=45°,DJ=JP,

2

设G7=CP=x,则D/=〃=0x,可得收x+x=4,解方程可判断③，连接C£,BD.由③

可知，当CF=4虚-4时，ZCDP=ZEDP=22.5°,证明点£在。8上，EA=EC,可得

ZECF>ZEFC,EF>EC,可判断④，从而可得答案.

【解析】解：①如图1中，延长DP交BF于点、H.

D

AB

图1

:四边形/BCD是正方形，

：.CD=CB,/DCP=NBCF=90。,

在△DC尸和△BC尸中，

CD=CB

<ZLDCP=NBCF,

CP=CF

:.ADCP沿4BCF(SAS),

:./CDP=NCBF,

■:/CPD=NBPH,

，ZDCP=ZBHP=90°,

：.DP±BF,故①正确.

@VC,£关于。尸对称，

：.DP±EC,

■:BF上DP,

：.EC//BF,故②正确.

③如图2中，当E,P,F共线时，ZDPC=ZDPE=-"比=67.5°.

图2

在CD上取一点J,使得CJ=CP,则/CJP=/C7V=45。,

NJDP=90°-67.5°=22.5°,

Z.JDP=4JPD=22.5°,

：.DJ=JP,

设C7=CP=x,则

»•x+x=4,

•«X=44?

；.CF=4亚-4,故③错误，

④如图3中，连接CE,BD.

图3

由③可知，当。尸=4逝-4时，ZCDP=ZEDP=22.5°,

：.ZCDE=45°,

二点E在。8上，

'：A,。关于2D对称，

：.EA=EC,

'：ZECF>ZEFC,

：.EF>EC,

：.EF>EA,

...此时△，£尸不是等腰三角形，故④错误.

故选：C.

3

6.已知：如图，在中，ZA=90°,48=8,tanZABC=~,点N是边NC的中点，

2

点M是射线上的一动点（不与3,C重合），连接儿W,将△CW沿MN翻折得△EMM

连接BE,CE,当线段BE的长取最大值时，sin/NCE的值为（）

【答案】D

【分析】由翻折可知：NC=NE,所以点£在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点8,N,

E共线时，如图所示：此时BE最大，由翻折可知：是CE的垂直平分线，延长GN交

AB于点D,可得DN平分NANB,过点。作D//_L3N,然后证明必△/ND也必AffiVO(HL),

可得NN=//N=6,根据勾股定理即可解决问题.

【解析】解：如图，由翻折可知：NC=NE,

所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点8,N,E共线时，如图所示：此时BE最

大，

在放△N3C中，ZA=90°,

4c3

*.*AB=8,tan/ABC==—，

AB2

：.AC=12,

・・•点N是边ZC的中点，

：.AN=CN=6,

:・NE=6,

由翻折可知：MN是C£的垂直平分线，

/ENG=NCNG,

延长GN交N8于点。，

，ZBND=ZAND,

:.DN平济/ANB,

■:DALAN,

过点D作DHLBN,

：.DA=DH,

：.DB=AB-AD=S-DH,

在Rt/\AND和RtAHND中,

\DN=DN

[DA=DH，

：.Rt/\AND^Rt^HND(HL),

：.AN=HN=6,

在中，4B=8,AN=6,

BN=>JAB2+AN2=10，

BH=BN-HN=lQ-6=4,

在RtADBH中,DB=S-DH,根据勾股定理得：

DB2=DlP+BH2,

/.(8-D/f)2=DH2+42,

解得DH=3,

在此△//中，DH=DA=3,AN=6,根据勾股定理得:

DN2=AD2+AN2,

/.W=32+62=45,

：.DN=3y[5,

VZA=ZNGC=90°,ZAND=ZGNC,

：.ZADN=ZNCG,

AN6_2y[5

VsinZADN=—

DN

k

：.smZNCG=sinZNCE=—9

5

7.如图，nABCD^,对角线ZC与3。相交于点E,/ADE=15。,BD=2®，将沿

/C所在直线翻折180。到其原来所在的同一平面内，若点2的落点记为玄，恰好夕E,

若点/为8C上一点，则B户的最短距离是（）

【答案】C

【分析】由折叠的性质，可得NBCB'=2NACB,NAEB=ZAEB',BC=BC,由'和

ZADE=15°,可得ND/£=30。，由平行四边形和折叠的性质可求得N8C8'=60。，连接，

易知△55'C是等边三角形，继而可得NB'BC=60。，然后根据平行四边形和折叠的性质可求

得，利用勾股定理可求得B2'=2,由垂线段最短可知，当8'尸，时，8户最短，然后根

据勾股定理即可求得答案.

【解析】解：由折叠的性质，可得：ZBCB'=2ZACB,NAEB=ZAEB',BC=BC,

•/BE±B'E,

NBEB'=90°,

NAEB'=45°,

NADE=15°,

：./D/£=30。，

•；四边形ABCD是平行四边形，

J.ADHBC,

：.NACB=ZDAC=3(F,

NBCB'=2NACB=60°,

如图，连接89，作

/.△33'C是等边三角形，

/LB'BC=60°,

V四边形ABCD是平行四边形，

DE=BE=-BD=-X2A/2=y[i=B'E,

22

在RtABB'E中,BE=B'E=4i，

BB'=y)BE2+B'E2=2，

由垂线段最短可知，当BNLBC时，B'F最短,

在R2YB3'尸中，ZB'BF=60°,B'B=2,

/.BF=-BB'=\,

2

B'F=ylB'B2-BF2二下＞■

故选：C.

8.如图，将四边形纸片/BCD沿过点A的直线折叠，使得点3落在CD上的点/处，折痕

为AP；再将△尸CM,△/£＞河分别沿尸M,4W折叠，此时点C,。落在/尸上的同一点N

处.下列结论不正确的是（）

A.W是CD的中点

B.MN1AP

C.当四边形/尸是平行四边形时，AB=43MN

D.AD//BC

【答案】B

【分析】由折叠的性质可得CM=MN,即"是的中点；故①正确；ZB=

ZAMP,NDAM=/MAP=NPAB,NDMA=/AMN,NCMP=NPMN,/D=NANM,

ZC^ZMNP,由平角的性质可得ND+NC=180。，ZAMP=90°,可证4D〃8C,由平行线

的性质可得/D48=90。，由平行四边形和折叠的性质可得NN=PN,由直角三角形的性质

可得AB=#,PB=CMN.

【解析】解：由折叠的性质可得：DM=MN,CM=MN,

：.DM=CM,

即M是CO的中点；故A正确；

由折叠的性质可得：ZB=ZAMP,ZDAM=ZMAP=ZPAB,ZDMA=ZAMN,/CMP

=ZPMN,ZD=ZANM,/C=/MNP,

,/ZMNA+ZMNP=ISO°,

：.Z£>+ZC=180°,

：.AD〃BC,故D正确；

ZB+ZDAB^1SO°,

'：ZDMN+ZCMN=180°,

：.ZDMA+ZCMP^9Q0,

：.乙4Mp=90°,

：.NB=N4MP=90°,

：.ZDAB=90°,

若MNLAP,

则ZADM=ZMNA=ZC=90°,

则四边形/BCD为矩形及/CD,而题目中无条件证明此结论，故B不正确；

・・•ZDAB=90°,

：.ZDAM=ZMAP=NK45=30。，

由折叠的性质可得：AD=AN,CP=PN,

・・・四边形APCD是平行四边形，

：.AD=PC,

：.AN=PN,

又丁ZAMP=90°,

:・MN=；AP,

VZPAB=3009NB=90。,

：・PB=；AP,

：.PB=MN

:.AB=CPB=MMN,故C正确；

故选：B.

二、填空题

9.如图，在直角坐标系中，一次函数y=-2x+2的图象与x轴相交于点4与了轴相

交于点B.将“80沿直线AB翻折得到AABC.若点C在反比例函数了=々左*0)的图象上,

X

贝!U=.

32

【答案】石

【分析】过点C作CDLx轴于。，过点3作2ELDC交。C的延长线于E,求出04=1,

OB=2,由折叠的性质得：NC=CM=1,BC=OB=2,NACB=N4OB=90。,然后证明

Ar\r)cAC1kk

/\ADC~ACEB可得-==—,设C(a,—),则CD=—，OD=a,求出AD

fCEEBBC2aa

左左

=〃-1,CE=2~~,EB=a,可得左二—,然后由CE=24D得2一—=2(q—1),求出〃

a2a

的值，进而可得上的值.

【解析】解：如图，过点。作轴于。，过点3作交QC的延长线于E,

在一次函数V=-2x+2中，

令y=0,即—2x+2=0,解得：x=l,

令x=0,可得尸-2x+2=2,

：.A(1,0),B(0,2),

：.OA=1,OB=2,

由折叠的性质得：AC=OA=\,BC=OB=2,ZACB=ZAOB=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,

・・•ZACD+ZCAD=90°,

：.ZBCE=ZCAD,

又,:NADC=NE=90。,

：.AADC〜ACEB,

.ADDCAC_1

•・CE~EB~BC~2"

:・CE=2AD,EB=2DC,

设C(a,-),则CZ)=±,OD=a,

aa

,k

..AD=a~\,CE=2——,EB=a,

a

由班=2。。得：〃=竺，即左=必，

〃2

k

由CE=2AD得：2——=2(0—1),

a

.'.2——=2(a—1),

2

Q

解得：

10.如图，在中，ZA=90°,AB=46,AC=4,点。是48的中点，点、E是边BC

上一动点，沿DE所在直线把△8DE翻折到△皮〃£的位置，B'D交边BC于点F,若ACB'F

为直角三角形，则C夕的长为

【答案】2⑺或4

【分析】当△），尸为直角三角形时，需要分类讨论，点C,B',厂分别为直角顶点时，画

出图形求解即可.

【解析】解：在中，ZA=90°,AB=4C，/C=4,点。是48的中点，

:.BC=8,ZB=30°,AD=BD=273.

由折叠可知，BD=B'D=273,

AD=BD=B'D=273

①由点运动可知点C不可能是直角顶点；

②如图，当点歹为直角顶点，即/CF夕=90。，

:.DF=；BD=0,BF=y/3DF=3,

B，F=6CF=5,

CB'=7(V3)2+52=277;

③如图，当点*是直角顶点时，即/CSN=90。，连接CD,

在RtZ\/CD与Rt△B归D中，

[CD^CD

[AD=B'D

：.RtZUCD=Rt△3'CD(HL),

CB'=CA=4,

故答案为：2⑺或4.

11.如图，将口/2CX•沿对角线NC折叠，使点8落在点"处，若/1=38。，Z2=31°,则

ZD=

【答案】140°

【分析】利用平行四边形的性质得/B//CD，进而得出/比1夕=4=38。，利用折叠的性质

得/B4C=/B'4C,进而求出/8/。=工/切夕=工、38。=19。，利用三角形内角和定理求出

22

DB,即可求解.

【解析】解：在口/3C〃中，AB//CD,

.-.ZBABr=Zl=38°,

"/BCD沿对角线/C折叠，使点B落在点"处，

ABAC=AB'AC,

ZBAC=-ZBAB'=-x3S°=19°,

22

在ZU8C中，/8=180。-/3/。-/2=180。-19。-31。=140°.

ZD=140°,

故答案为：140。.

12.如图，/尸。。=90。，定长为。的线段端点/,3分别在射线。尸，。。上运动（点/,B

不与点。重合），C为4B的中点，作AO/C关于直线OC对称的△O4C,40交4B于点D,

当H）BD是等腰三角形时，ZOBD的度数为.

【答案】67.5。或72°

【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得/COA=ZCOA'=NBAO,

ACOA=ZCOA'=ZBAO=x°,然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出

ZBCO=2x°,ZA'OB=90°-2x°,NOBD=90。一x°,NBDO=NAOD+/BAO=3x。,从而

利用分类讨论思想解题.

【解析】解：,•,NPO0=9O°,。为48的中点，

OC=AC=BC,

ZCOA=ZBAO,ZOBC=ZBOC,

又由折叠性质可得=,

ZCOA=ZCOA'=ZBAO,

ACOA=ACOA=ABAO=x°,则/8CO=2尤。，NA'OB=90。-2x。,ZOBD=90°-x°,

ZBDO=ZAOD+ZBAO=3x°,

①当08=OD时，ZABO=ZBDO,

:.90°-x°=3x°,

解得x=22.5。,

ZOBD=90°-22.5°=67.5°；

②当=OD时，ZOBD=NA'OB,

.•.90。-苫。=90。-2尤。，方程无解，

...此情况不存在；

③当08=£)8时，ZBDO=ZA'OB,

.•.3X°=90°-2X°,

解得：x=18。，

.•./。3。=90°-18°=72°；

综上，的度数为67.5。或72。，

故答案为：67.5。或72。.

13.如图，抛物线y=/-2x-3与x轴相交于4,8两点，点C在对称轴上，且位于x轴

的上方，将△48C沿直线NC翻折得到若点"恰好落在抛物线的对称轴上，则点

C的坐标为.

【答案】（1,巫）

【分析】先求出点4,8的坐标，设抛物线的对称轴与x轴交于点X,则〃点的坐标为（1,

0）,AH=2,由翻折得/9=/8=4,然后解直角三角形即可.

【解析】解：令了=0,则/-2x-3=0,

x=

解得：iT，X2=3,

.,.抛物线与x轴交于/（-1,0）,B（3,0）,

：.AB=4,抛物线的对称轴为直线x=l,

如图：

设抛物线的对称轴与x轴交于点X,则8点的坐标为（1,0）,4H=2,

由翻折得AB'=AB=4,ZCAH=ZCAB'=-ZHAB',

2

在RMAB'H中，

/B'AH=60。,

：.NCAH=30。,

在中，

CH=tan300-AH=也x2=友,

33

平）,

故答案为：（1,正）.

14.四边形为平行四边形，己知48=而，8C=6,NC=5,点£是3c边上的动点,

现将沿/£折叠，点夕是点3的对应点，设CE长为x,若点夕落在△/£>£内（包括

边界），则x的取值范围为

B'

E

【答案】6-V13<x<3V3-2

【分析】如图1,当2,在/。上，易证由四边形CDB，E为平行四边形，得到CE==6-而；

如图2,过点工作于点G,过点。作DHL8c交3c的延长线于点X,当B，在DE

上，此时//班=//匹=/。/£,DA=DE=岳,在•△4BG和mZX/CG中，利用勾股

定理求出3G=2,可得/G=3=D〃，在RtADEH中,由勾股可得：£77=3#,可求得CE

的另一个临界值，问题得解.

【解析】解：如图1，

当夕在上，此时，AB=AB',ZB=ZAB'E=ZD,

：.BE〃CD,

'：AD//BC,

...四边形CDB'E为平行四边形，

：.CE=DB'^6-y/l3-,

如图2,过点/作《GL3C于点G,过点。作。XL8C交8C的延长线于点区

当3'在。£上，此时N/£8=//£8=ND4£,

••DA=DE=J13，

在RtAABG和RtAACG中，

AG1=AB1-BG2=AC1-CG1

：.(713)2-502-52-(6-SG)2

：.BG=2,

:.AG=3=DH,

在放△£>£//中，由勾股可得：EH=3应,

:.CE=3出一2；

综上：x的取值范围为：6-V13<x<3V3-2.

15.如图，点/、2分别在平面直角坐标系xQy的y轴正半轴、x轴正半轴上，且04=4,

（95=3,将△/0B沿48折叠，O的落点为尸，若双曲线产人过点P,则七.

【答案】鲁

【分析】设尸（x,y）,过尸作心，》轴于。，过/作NCL尸。于C,由垂直定义得

OB=ZODC=ZC=90°,进而得/为C+N/PC=90。，再由折叠的性质得为=。4=4,

PB=OB=3,/AP3=90。,从而得N/PC+/3Pz>=90。，ZBPD=ZPAC,进而证明△/CPsZ\p£）g,

由相似三角形的性质即可求得点P的横、纵坐标，即可求解.

【解析】解：如图，设P（尤，y）,过尸作PD_Lx轴于。，过/作/C_LP。于C,

：P£>_Lx轴，AC±PD,x轴」_y轴，

/.ZAOB=ZODC=ZC=90°,

：.ZPAC+ZAPC=90°,

\-0A=4,0B=3,将△/。2沿折叠，。的落点为P,

：.PA=0A=4f尸5=05=3,ZAPB=90°f

ZAPC+ZBPD=90°9

：.ZBPD=ZPACf

：.△ACPsgDB

.ACAPCP日nx_4_4-y

’.而二茄=茄，即丁3=二？'

解得：x=H，

:双曲线尸勺过点p,

X

,,96726912

••kr=------X-------------------

2525625

故答案为：黑

625

16.如图，过点/折叠边长为2的正方形/BCD,使8落在"，连接点尸为。*的

中点，则。下的最小值为.

【答案】V5-1

【分析】连接N凡证明//ED=90。，则有尸在以/。为直径的圆上，取/D的中点G,连

接CG交圆于点R则C户为最小值，采用勾股定理即可求解.

【解析】解：连接/凡

:四边形/8C〃是正方形，

：.AB=AD,

:折叠边长为2的正方形/BCD,使3落在",

：.AB'=AB,

J.AB'^AD,

:尸为。2,的中点,

C.AFLDB',

：.ZAFD=90°,

，尸在以4D为直径的圆上，取4D的中点G,连接CG交圆于点尸，则CF为最小值,

CG=yjDG2+CD2=打=石,

CF=V5-1.

故答案为：V5-1.

三、解答题

17.如图，四边形/BCD中，AC=AD,ABAC=90°,ZBDC=45°.

(1)求/4BC的度数；

⑵把A3CO沿BC翻折得到ABCE,过点/作/TUBE,垂足为尸，求证：BE=2AF；

⑶在(2)的条件下，连接DE,若四边形/BCD的面积为45,8c=10,求。£的长.

【答案】(1)45。

(2)见解析

⑶12

【分析】(1)以点/为圆心，NC为半径作圆/,根据题意得N8/C=2N8OC,即可得点8

在圆/上，根据圆的性质得48=/C,则A4BC是等腰直角三角形，即可得；

(2)过点N作/GL8D交8。于点G,则/ZGB=90。，由等腰直角三角形的性质得

ZABD=ZADB,BG=DG=-BD,由折叠的性质得，BE=BD,CE=CD,NCBE=NCBD,

2

设ACBE=NCBD=x,则/ABG=45°—x,ZABF=45°+x,根据AFLBE得NBFA=90°,

即可得AABG=ZBAF,利用AAS可证LABF沿LBAG，即/尸=8G,即可得BE=2AF；

(3)作交于点M,CNLAD交于点、N,延长BC交DE于点、H,则SJ_££>,

根据题意运用勾股定理即可得45=5/，即可得三角形/BC的面积，即可得CN的长度，

在RtzX/CN中，根据勾股定理即可得/N的长度，用44s证明A/BM之ACN,即可得

BM=AN=3y/2,即可得三角形BCD的面积为:8。。〃=30,可得。2/=6,即可得.

【解析】(1)解：如图所示，以点/为圆心，/C为半径作圆/,

ABAC=90°,ZBDC=45°,

ABAC=22BDC,

二点2在圆/上，

，AB=AC,

.­.A/BC是等腰直角三角形，

ZABC=45°；

(2)证明：如图所示，过点/作NG,助交2。于点G,

则ZAGB=90°,

由（1）得，ZABC=45°,AB=AD,

：.ZABD=NADB,BG=DG=~BD,

2

由折叠的性质得，BE=BD,CE=CD,ZCBE=ZCBD,

设NCBE=/CBD=x,则//3G=45°-x,ZABF=450+x,

•・•AFVBE,

/BE4=90。，

・・・/BAF=90。—ZABF=90°-(45°+x)=45。一%

・・・AABG=ZBAF,

在"5月和"/G,

ZBFA=ZAGB

</BAF=ZABG

AB=BA

：・AABF会ABAG(AAS),

JAF=BG,

：.BE=2AF；

(3)解：如图所示，作交于点w,CNtAD交于点、N,延长交OE于点凡

则CHLED,

•；CE=CD,

：.DH=EH,

•••△/BC是等腰直角三角形，SC=10,

，AB2+AC2=BC2

2AB2=1QO

AB=5C，

**,^/\ARC==—x5A/2X5A/2=25,

ZXADC.22

:四边形ABCD的面积为45,

：.S^ZX,ALc.Un=-2AEhCN=^5-25=20

』x5五xCN=20

2

CN=4也

在Rt^/CN中，根据勾股定理得，

AN=slAC2-CN2=7(5V2)2-(4A/2)2=372，

•・•ZSAC=90°f

・・・/BAM+/ABM=/BAM+/CAN=90°,

・•・ZABM=ZCAN,

在MBM和△C4N中，

ZAMB=ZCNA

<ZABM=ZCAN

AB=CA

:“ABMACAN(AAS),

:,BM=AN=3日

.・・S=-AD^BM=-x5V2x3应=15，

△ADD22

SABCD=S四边物BCD一Z.0=45-15=30=；BGDH,

即180。〃=30,

2

-xlOxD/f=30

2

DH=6,

即DE=2DH=12.

18.(1)［初步尝试］如图①，在三角形纸片N3C中，/4CB=90。,将△/SC折叠，使点3

与点C重合，折痕为则⑷/与3M的数量关系为18；

(2)［思考说理］如图②，在三角形纸片N2C中，AC=BC=6,48=10,将折叠，使

点2与点C重合，折痕为求瞿的值；

BM

(3)［拓展延伸］如图③，在三角形纸片/2C中，AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,将△/8C

沿过顶点C的直线折叠，使点8落在边/C上的点夕处，折痕为CW.

①求线段ZC的长；

②若点。是边NC的中点，点尸为线段02'上的一个动点,将沿尸加■折叠得到AA'PM,

、、PF

点力的对应点为点H,AM与CP父于点F,求大的取值范围.

MF

c

o.

AW

“图①"个图②J图③

【答案】（1）AM=BM；（2）与；（3）①.；②jWV:

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

（2）利用相似三角形的性质求出即可.

（3）①证明△BCMsag/c,推出f=f=F，由此即可解决问题.②证明

ABBCAC

PFPA'PFPA'

APFAsAMFC,推出—=上,因为CM=5,推出三二="即可解决问题.

FMCMFM5

【解析】（1）解：如图①中，

C

折叠，使点5与点。重合，折痕为MN,

„垂直平分线段5C,

・・・CN=BN,

,/ZMNB=ZACB=90°,

：.MN//AC9

.BN_BM

,•CNAM'

■:CN=BN,

：.AM=BM.

故答案为：AM=BM.

(2)解：如图②中，

■:CA=CB=6,

/A=/B,

由题意得：MN垂直平分线段5C,

：.BM=CM,

：.NB=NMCB,

：.ZBCM=N4,

•・•/B=NB,

:ABCMs^BAC,

,BCBM

」而一热

.6_BM

>•=,

106

.\AM=AB-BM=IO=—,

55

32

.AM_5_16

一丽—18~~9'

5

（3）解：①如图③中，

由折叠的性质可知，CB=CB'=6,ZBCM=ZACM,

,：/ACB=2/A,

・•・ZBCM=ZACM=ZA.

•:/B=/B,

：・ABCMs/\BAC,

.BC_BM_CM

・•益―兹一工，

.6_BM

••—―，

96

：.BM=4,

：.AM=CM=5,

.6_J_

"9~AC，

AMB

图③-1

^4钿近彳aCF,PFA=^MFC,PAPA,

：.VPFA^VMFC,

.PFPA'

"FM~CM'

•：CM=5,

.PF_PA'

•・丽一丁’

•.•点尸在线段。夕上运动，ON=OC=?,AB'=^-6=^,

：.-<PA'<—,

24

•3<PF<3

*'10-FM-4'

19.综合与实践

在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的

数学活动一折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步发展了同

学们的空间观念，积累了数学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片48CD,使/。与2C重合，折痕为斯，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点

/落在罚上的点N处，并使折痕经过点8,折痕为破，把纸片展平，连接/N,如图①；

图③

(1)折痕8河所在直线是否是线段/N的垂直平分线？请判断图中A/