2023-2024学年吉林省长春市高二年级上册期末数学模拟试题(三)(含解析)

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.经过点4(1,4)和点8(5,12)的直线的斜率是()

A.2B.-2C.4D.-4

【正确答案】A

【分析】代入直线的斜率公式求解.

【详解】由点4(1,4)和点5(5,12)可得,

直线的斜率左1=2宏-4:=2,

故选：A

2.抛物线V=2x的准线方程为()

11

A.y=--B.y=——

48

1

C.x=一D.x=——

2

【正确答案】D

【分析】若抛物线方程标准方程_/=2px,则准线方程x=-5.

【详解】抛物线的方程V=2x,则。=1,焦点在x轴上，开口向右，，其准线方程为x=-g.

故选：D.

3.现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间,

则不同的选法共有()

A.7种B.9种C.14种D.70种

【正确答案】C

【分析】根据分类加法计数原理求解即可

【详解】分为三类：

从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不

同的选法，

根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法；

故选：C

4.双曲线C的两焦点分别为(-6,0),(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为

()

【正确答案】B

根据双曲线的定义求出。，然后可求得答案.

【详解】2a=口(-5+6)2+2?-J(-5-6>+2?卜4君

所以4=2#>，又c=6,

所以b^c2—a2=36-20=16.

所以双曲线的标准方程为二-仁=1

2016

故选：B

5..如图，在平行六面体48co中，AB+AD—CQ=()

UUUL--

A.AC,B.4cC.C、BD.DB、

【正确答案】A

【分析】用向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可解决.

【详解】AB+^D-CIC=AC-C,C=AC+CCI=AC,.

故选：A

6.点P(2,0)关于直线/:x+y+l=0的对称点。的坐标为()

A.(-1,-3)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)

【正确答案】A

【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.

【详解】设点2（2,0）关于直线工+），+1=0的对称点的坐标为（凡6）,

60

-

4o_T

--一

a2

J一

-a+2C-

++o

22-1=

所以点。的坐标为（-1,-3）

故选：A.

7.将6名实习教师分配到5所学校进行培训，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学

校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）

A.600种B.900种C.1800种D.3600种

【正确答案】C

【分析】将6名教师分组，只有一种分法，即1,1,1,1,2,然后按照分组组合的方式计算即可.

【详解】将6名教师分组，只有一种分法，即LLLL2,共有空空G,

再分配给5所学校，可得生除&XA；=I800

故选:C

8.已知点力（-2,0）,8（2,0）,在尸”中，阳|=后眼|,则48面积的最大值为（）

A.16近B.8啦C.472D.272

【正确答案】B

【分析】由|"|=虚|尸耳求出尸点的轨迹方程，最后可得点尸处在圆的上（下）顶点时PAB

面积的最大.

【详解】设尸（x,y）,由|射=&归8|得：

（x+2）2+y2=2（x-2）2+2y2

整理得一+/-⑵+4=0（”0）,即（X—6）2+/=32,（XWO）

故点P在以（6,0）为圆心，4夜为半径的圆上.

y

所以当点尸处在圆的上（下）顶点时面积的最大，最大值为

Smax=1|JB|X4A/2=1x4x4V2=8^

故选:B.

结论：己知点A,8为两定点，若动点P满足=则点P的轨迹为圆.

此题在求出点尸在圆上之后利用圆的动点求最值.

二、多选题

9.已知双曲线C过点（3,应），且渐近线方程为y=±孚X,则下列结论正确的是（）

A.双曲线C的方程为5-/=1B.双曲线C的离心率为百

C.双曲线C的实轴长是2百D.双曲线C的虚轴长是1

【正确答案】AC

【分析】根据己知条件双曲线C的方程，进而求得a,4c,由此对选项逐一分析即可得解.

【详解】对于A,设双曲线方程为//+今2=1（”<0）,

将点（3,立）代入，可得9/+28=1,

A1

又双曲线的渐近线方程为y=所以』=-;，

D3

’94+28=1

4=-2

联立41，解得一3,所以双曲线C的方程为土-/=1,故A正确;

—=—3

[B3B=-\

对于B,因为双曲线C为^—y?=1,所以a==l,c=2,

3

所以双曲线。的离心率为£=二=2叵，故B错误;

aV33

对于C,因为2a=2石，所以双曲线C的实轴长是20,故C正确;

对于D,因为26=2,所以双曲线C的虚轴长是2,故D错误.

故选：AC.

10.已知圆(X-l)2+(y+2)2=4,圆。2：(X-5)2+/=9,则()

A.|«Q|=2指

B.圆Q与圆。2的公共弦所在直线方程为8x+4v-l5=0

C.圆Q与圆相离

D.圆。「与圆。2的公切线有2条

【正确答案】ABD

【分析】对A：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；对B：将两圆方程相减得公共弦所

在直线方程；对C：判断|斗-引,{+4与依。」大小关系判断两圆位置关系；对D：根据两圆

的位置关系判断公切线的条数.

【详解】对于A,由已知«(1,-2),2(5,0),故曾勾=祁-1)2+22=2行故A正确；

对于C,两圆半径。=22=3,l=h-4|<|qa|<4+4=5,故两圆相交，故C错误；

对于B,将两圆方程(x-1)2+(y+2>=4与(x-5>+/=9相减得公共弦所在直线方程

8x+4厂15=0,故B正确；

对于D,两圆相交则两圆的公切线有2条，故D正确；

故选：ABD

11.设抛物线C：V=8y的焦点为尸，准线为/,尸(*。,九)为C上一动点，点4(2,1),则

下列结论正确的是()

A.焦点到准线的距离是8

B.当.=4时,|尸产|的值为5

C.|「/|+归可的最小值为3

D.|P"H尸刊的最大值为君

【正确答案】CD

【分析】对于AB,根据抛物线的方程和定义即可判断；C选项，利用抛物线定义得到

|尸山+「尸|=|尸H+|P8|,当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到

|尸山-卢尸|=卜尸|=斥1=亚.

【详解】x2=Sy=2py,所以。=4,

所以焦点到准线的距离是P=4,故选项A错误；

当x0=4时，％=日=2,|尸日的值为为+§=4,故选项B错误；

如图，过点P作尸8,准线于点8,则由抛物线定义可知：|尸尸|=|尸却，则

\P^\+\PF\=\P^+\PB\,当/、尸、8三点共线时，和最小,最小值为1+2=3,C正确;

由题意得：尸（0,2）,连接/尸并延长，交抛物线于点P,此点即为|/"|-|尸尸|取最大值的

点，此时归川-仍尸卜|/尸|="[=五，其他位置的点尸，由三角形两边之差小于第三边

12.已知F为椭圆C：三+反=1的左焦点，直线/：片自（心0）与椭圆C交于8两点,

168

轴，垂足为E,8E与椭圆C的另一个交点为P,则（）

,,,,14

A.Mq+忸尸|=8B.而+西的最小值为2

C.直线BE的斜率为!4D.NP/B为钝角

2

【正确答案】AC

【分析】对于A,利用椭圆与、=依的对称性可证得四边形/尸Ek为平行四边形，进而得到

|^F|+|5F|=8；

14

对于B,利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的+画的最小值；

对于C,由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到凝£=g后；

对于D,先由各点坐标结合椭圆方程可得到⑥从而可证得原由此

可知NPAB=90°.

【详解】由椭圆C：二+乙=1得a?=16万=8,贝！|a=4,b=2近，c?=8，c=2近，

168

对于A,设将圆C的右焦点为尸，如图，连接/尸，BF：

由椭圆与y=kx的对称性可知AO=BOQF=OF',则四边形AF'BF为平行四边形，

^［\AF\+\BF\=\AF\+\AF'\^2a^,故A正确；

对于B,

向+向，（网+阿。［前向〉那翎

BF^\AF\IIII,...16

当且仅当方=［肃，且只丹+忸尸1=8,即忸9|=2|"］=?时，等号成立，

149

故所［+画'的最小值为W，故B错误；

对于C,设N（Xo/o）,B（-x0,-y0）,£（xo,O）,故直线8E的斜率脸=与过=；,%■=；发,

故C正确；

对于D,设P（%〃），直线K4的斜率为右…直线尸5的斜率为％，则

22

〃+为二一凡

kpA,kpB="比

2

m+x0m-XQ

又点P和点4在椭圆C上，故式+厘=1,且+区=1,

168168

两式相减得直二考■+式二区■=(),则与当=一(，故kpA，kpB=_1

168m-X。22

易知心8=怎£=；［，则=得％=-)，

222k

所以3=(-：｝%=T，故NH8=90。，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13.从/地到B地要经过C地，已知从/地到C地有三条路，从C地到8地有四条路，则

从A地到B地不同的走法有种.

【正确答案】12

【分析】先确定从力地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到8地有4种不同的走法,

最后根据分步乘法计数原理求从/地到B地不同的走法种数.

【详解】根据题意分两步完成任务：

第一步：从/地到C地，有3种不同的走法；

第二步：从C地到8地，有4种不同的走法，

根据分步乘法计数原理，从/地到8地不同的走法种数：3x12种，

故12.

14.已知直线x+y—k=O与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8,则左的取值范围为

【正确答案】或左4-4

【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】令x=0,得y=M

令＞=0,得》=人，

由题意知左片0,由直线x+y-a=O与两坐标轴围成的三角形面积不小于8,

则/小阳28,

解得*24或左WT,

故实数左的取值范围为或％4-4.

故左24或左4-4

15.已知点M(”,b)在直线3x-4尹25=0上，则折行■的最小值为.

【正确答案】5

【分析】据题意可知，行方表示原点到直线3厂4卢25=0上的点的距离，求出原点到直

线3x-4y+25=0的距离为5,从而可得出V77F的最小值.

【详解】根据题意知，77寿表示原点到直线3x-4y+25=0上的点"(a,b)的距离,

・•.777F大于等于原点到直线3x-4y+25=0的距离,

25

原点到直线3x-4y+25=0的距离为=5,

J9+16

yja2+b2>5，

7a?+力的最小值为5.

故5.

16.己知椭圆G：5+/=l(a>b>0)与圆G：/+/=?,若在椭圆G上不存在点p,

使得由点尸所作的圆c2的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是.

【正确答案】

【分析】设过点尸的两条直线与圆G分别切于点M，N,由两条切线相互垂直，可知

\OP\=^-b,由题知|OP|>a,解得g>乎，又e

即可得出结果.

【详解】

设过户的两条直线与圆C?分别切于点

由两条切线相互垂直，知：|02|=播、¥^=邛06,

又在椭圆C上不存在点P,使得由尸所作的圆G的两条切线互相垂直,

所以|OP|>a,即得亚6>“，所以画，

5a4

邛，又e>0,

所以椭圆。的离心率e=£=

所以…手.

故答案为.0,

关键点点睛：首先假设过P所作的圆G的两条切线互相垂直求出|。尸再由椭圆的有界性

构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.

四、解答题

17.求解下列问题：

(1)求过点尸(4,2)且平行于直线/：3》一^+1=0的直线的方程；

(2)求过点尸(-2,3)且垂直于直线m：x-3y-4=0的直线的方程.

【正确答案】(l)3x-y-10=0

(2)3x+y+3=0

【分析】(1)由平行关系得到直线的斜率为后=3,由直线方程的点斜式，化简即得解;

(2)由垂直关系得到直线的斜率“'=-3,由直线方程的点斜式，化简即得解

【详解】⑴由题意，直线/：3x-y+l=0的斜率为左=3

由直线方程的点斜式有：y-2=3(x-4)o3x-y-10=0

即过点尸(4,2)且平行于直线/:3一、+1=0的直线的方程为：3x-j-10=0

(2)由题意，直线/：x—3y-4=0的斜率为左=；

故与直线垂直的直线斜率％'=-3

由直线方程的点斜式有：y-3=-3(x+2)o3x+y+3=0

即过点尸(-2,3)且垂直于直线机：工-3^-4=0的直线的方程为31+夕+3=0

18.已知圆f+/-2x-5=0,直线/：mx—y-\-1—m=0.

(1)写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线/与圆C的位置关系；

(2)若直线/与圆。交于不同的两点4,B,且|/同=夜，求直线/的方程.

【正确答案】(1)圆C的圆心坐标为(1,0),半径为&,直线/与圆C相交；

(2)x-y=0^,x+y-2=0.

【分析】(1)将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断

出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；

(2)求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出用=±1,求出直线方程.

【详解】⑴。:/+/-2》-5=0整理得：(X-1)2+/=6,

故圆C的圆心坐标为(1,0),半径为指，

直线/:，内一卜+1-机=0变形为卜-1="(》-1),故直线/过定点"(1,1),

因为(1-1>+仔<6,故加(1,1)在圆内，所以直线/与圆C相交；

(2)圆心(1,0)至I"：加x-y+1-加=0的旦巨离为d=,

V/W2+1+1

由垂径定理得："2+怨=6,即［了+彳］+(苧)=6

解得：加=±1,

故直线/的方程为x_y=o或x+y_2=0.

19.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为凡点M(%,4)在抛物线C上，且叼=4+勺

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线F用与抛物线C交于4点，O为坐标原点，求△M4。面积.

【正确答案】(l)_/=4x

(W

【分析】(1)根据抛物线得定义和几何关系即可求解；(2)根据△K4O面积公式的铅锤法

求面积即可求解.

【详解】⑴\MF\=4+^,

又点〃仇,4)在抛物线C上，

根据抛物线的定义，阿F|=%+女，

所以所|=4+卜/+勺

所以x0=4,

所以“(4,4),

代入/=2px(p>0)得，4,=2px4(p>0),

所以P=2,

所以抛物线C./=4x

(2)根据题意，尸坐标为(1,0),

“(4,4),

44

所以直线EW：y=§》一§.

44

联立尸A/:y=—x——和/-4x,

33

所以V-3y-4=0,

所以(尸4)(y+l)=0

所以必=T%=4,

所以S.O=；X|OP|XM_M|=；X1X5=|.

20.已知双曲线E：5■-，■=l(a>0,b>0)的左、右两焦点分别为耳卜布,0)、^(76,0),

户为E上一点，且归耳|-|尸闾卜乎国闾.

(1)求双曲线E的方程；

(2)是否存在直线/,使/被E所截得的弦的中点坐标是若存在，求出直线/的

方程，若不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴7六;

（2）不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解.

（2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标

公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解.

【详解】（1）因为川-6,0）,巴（布,0）,所以闺闾#『+（0—0）2=2#,

由题意可知，归耳|-|尸用卜逅比用=半、2近=4<2#，

所以2a=4,2c=2>/6>解得。=2,c=娓,

所以〃=/一/=2,

故双曲线E的方程为片-己=1.

42

（2）因为〃[1,；）不在坐标轴上，所以直线/的斜率存在且不为零，假设存在直线/符合题

后、，

设直线」的方程为j=Ax+”,4（Xi，必）,3（孙％），则

y=kx-\-n

■x2y2，消去V,整理得（1一2公卜2-46X-2〃2-4=0,

---------=1

42

因为直线/与双曲线E相交于48,

所以△=（7也）2+40-2公）（2〃2+4）>0,且公片3，再+当=-^?

4k2fl2〃

所以必+%=何+〃+履2+〃=〃+X升2z=-------7^~2?=-------Y，

21-2k1-2k

因为点是线段48的中点,

+x_2kn

2=1

2\-2k22kn=\-2k2…=1

所以1,即21-十，解得1〃=一5,

n

2l-2k2~2

所以（（））94X2

A=-4h?y+4l-242Q"2+4=16xlx^-2xl2xH-4I=-14<0,

所以不存在这样的直线/.

21.如图，在四棱锥尸一/BCD中，已知平面尸4。,平面Z5C。，ABUCD,ADLCD,

8=246=4,AE是等边的中线.

(1)证明：NE//平面P8C.

⑵若尸4=4应，求二面角E-ZC-。的大小.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)45°

【分析】(1)取PC的中点尸，连接尸，进而证明四边形NBFE是平行四边形，进而证

明AEV/平面P8C；

(2)取的中点O,连接尸。，易知P01平面N8CD,进而以。为坐标原点，。4、。尸的

方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,利用坐标法求解即

可.

【详解】(1)证明：如图1,取PC的中点尸，连接EF,BF.

因为E是棱尸。的中点，所以EF//CD,且EF=；CO.

因为所以EF//AB,EF=AB,

2

所以四边形Z8在是平行四边形，所以NE//8F.

因为ZE<Z平面P8C,8尸u平面P8C,

所以/E//平面P2C.

(2)解：取X。的中点。，连接P。，

因为4。为等边三角形，所以尸O_LN。，

因为平面尸4D_L平面/BCD,平面尸/De平面/88=/。,尸。匚平面尸40,

所以PO工平面Z8CD.

所以，以。为坐标原点，04,OP的方向分别为x,z轴的正方向，建立如图所示的空间宜角

坐标系。-初z.

因为等边的边长为4亚，

所以4（2亚,0,0）,C（-2近,4,0）,E（-V2,0,国,

NC=（-4夜,4,0）,AE=（-372,0,巫）.

设平面ACE的一个法向量为m=(x,y,z)

夕"?=0-4岳+4尸0,

由〈X得〈