重庆市江津区2023年数学九年级上册期末考试试题含解析

重庆市江津区2023年数学九上期末考试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列各式计算正确的是（）

A.6+乖＞=亚B.4百一36=1C.273x3^=673D.炳十月=3

2.《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学著作，标志着中国古代数学形成了完整的体系.“圆

材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几

何？”朱老师根据原文题意，画出了圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道PQ=1尺（1尺=10寸），则该

C.13寸D.—寸

2

3.菱形的两条对角线长分别为6,8,则它的周长是（）

A.5B.10C.20D.24

4.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将AABC绕点C顺时针旋转60。，则顶点

A所经过的路径长为（）

5.如图，ZkABC内接于AB=BC,ZABC=120°,。。的直径AD=6,则BD的长为（）

A.2B.3C.273D.

6.“泱泱华夏，浩浩千秋.于以求之？场谷之东.山其何辉，镉卞和之美玉……”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文

写70周年阅兵的观后感.小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式

传播.他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请"个好友转发，每个好友转发之后，又邀请〃

个互不相同的好友转发，依此类推.已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则〃的值为（）

A.9B.10C.11D.12

7.如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指

颜色相同的概率为（）

8.用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x,根据题意可列出关于x

的方程为（）

A.x（x+8）=9B.x（8-x）=9c.x（16-x）=9D.x（16-2x）=9

AE1

9.如图，已知在A48C中，DE//BC,——=一，DE=2,则的长是（）

AC3

10.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.如图，RtZkABC中，NAC5=90。，AC=BC,在以48的中点。为坐标原点，48所在直线为x轴建立的平面直

角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点⑷处，若4。=。3=2,则图中阴影部

分面积为.

12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20,顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线

y=A(x>0)的图象上，边CD交y轴于点E,若CE=ED,则k的值为.

X

13.如图，在边长为4的正方形A5C。中，点E为靠近点O的四等分点，点F为A3中点，将AEF沿EF翻折得

到一A'EF,连接4C,则点。到A'C所在直线距离为.

14.用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1,高为2后，则这个圆锥的侧面积为

15.抛物线yucF+^+c经过点（2,5）,（4,5）,则这条抛物线的对称轴是直线.

16.如图，一次函数yi=or+Z＞和反比例函数刃=上的图象相交于A,3两点，则使yi＞）2成立的x取值范围是

x

18.如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草

坪的面积为540m2,则道路的宽为.

19.（10分）锐角A4BC中，BC=6,为8C边上的高线，5^=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑

动，且MNBC,以MN为边向下作正方形MPQN（如图1）,设其边长为X.

（1）当PQ恰好落在边8C上（如图2）时，求x；

（2）正方形A/PQN与AABC公共部分的面积为，时，求x的值.

20.（6分）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y=-50x+2600,去年的月销量p（万台）

与月份x之间成一次函数关系，其中1-6月份的销售情况如下表：

月份（X）1月2月3月4月5月6月

4.0万

销售量（p）3.9万台4.1万台4.2万台4.3万台4.4万台

台

(1)求p关于X的函数关系式；

(2)求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？

(3)今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%,而销售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月

份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台.若今年2

月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值.

21.(6分)如图，已知48为。。的直径，。是弦，且4B_LC£＞于点E.连接AC、OC.BC.

(1)求证：ZACO=ZBCD.

(2)若EB=8cm,CD=24cm,求。。的直径.

22.(8分)如图，一次函数%=匕尤+2与反比例函数%=殳的图象交于点A(4,m)和B(-8,-2),与y轴交于点C.

X

(1)&]=,k2=；

(2)根据函数图象可知，当%＞当时，*的取值范围是；

(3)过点A作轴于点。，点尸是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线。尸与线段AO交于点E,当

S四边彩0rMe:SOOE=3：1时，求点P的坐标•

23.(8分)(2016湖南省永州市)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价

的百分率相同.

(1)求该种商品每次降价的百分率；

(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问

第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

24.(8分)已知，在A5c中，ZA=90°,AB=AC,点。为BC的中点.

(1)若点E、尸分别是43、AC的中点，则线段。石与。尸的数量关系是；线段。石与OE的位置关系

是;

(2)如图①，若点E、尸分别是AB、AC上的点，且BE=AF,上述结论是否依然成立，若成立，请证明；若不

成立，请说明理由；

(3)如图②，若点E、口分别为A3、C4延长线上的点，且6E=AE=gA6=2,直接写出.DE尸的面积.

25.(10分)今年，我市某中学响应“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球

供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.

(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案：

B商场全场九折

A商场买.

四.'。.建

切3.上

试问去哪个商场购买足球更优惠？

26.(10分)先阅读下列材料，然后解后面的问题.

材料：一个三位自然数诙(百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c),若满足a+c=b,则称这个

三位数为“欢喜数”，并规定F(次)=ac.如374,因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位

上的数字7,所以374是“欢喜数”，，F(374)=3x4=1.

(1)对于“欢喜数赤%若满足b能被9整除，求证：“欢喜数次”能被99整除；

(2)已知有两个十位数字相同的"欢喜数"m,n(m>n),若F(m)-F(n)=3,求m-n的值.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法

则对D进行判断.

【详解】A.&与百不能合并，所以A选项错误；

B.原式=石，所以B选项错误；

C.原式=6x3=18,所以C选项错误；

D.原式=J不与=血=3,所以D选正确.

故选D.

【点睛】

考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式加减乘除的运算法则是解题的关键.

2、A

【分析】取圆心O,连接OP,过O作OH_LPQ于H,根据垂径定理求出PH的长，再根据勾股定理求出OP的值，

即可求出直径.

【详解】解：取圆心O,连接OP,过。作OH_LPQ于H,

由题意可知MH=1寸，PQ=1O寸，

，PH=5寸，

在RtZiOPH中，OP2=OH2+PH2,设半径为x,

则x2=(x-1)2+52,

解得：x=13,

故圆的直径为26寸，

故选：A.

【点睛】

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.

3、C

【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.

【详解】解：•••菱形的对角线互相垂直且平分，

，勾股定理求出菱形的边长=5,

二菱形的周长=20,

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形对角线的性质，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

4、C

【详解】如图所示：

在RtAACD中，AD=3,DC=1,

根据勾股定理得：AC=VAD2+CD2

又将△ABC绕点C顺时针旋转60°,

则顶点A所经过的路径长为1=也巫=叵兀.

1803

故选C.

5、D

【分析】连接0B,如图，利用弧、弦和圆心角的关系得到A3=8。，则利用垂径定理得到0B_LAC,所

以/配0=；/人8，=60°,则N0AB=60°,再根据圆周角定理得到NABD=90°,然后利用含30度的直角

三角形三边的关系计算BD的长.

【详解】连接0B,如图：

D

o

.4^-T7^c

B

VAB=BC,

AB=BC，

.,.OB±AC,

...OB平分NABC,

/.ZAB0=-ZABC=-X120°=60°,

22

VOA=OB,

.\Z0AB=60°,

TAD为直径，

/.ZABD=90°,

在RtaABD中，AB=-AD=3,

2

.,闻=鬲6=30.

故选D.

【点睛】

考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查

了垂径定理和圆周角定理.

6、B

【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取

其正值即可得出结论.

【详解】解：依题意，得：l+n+n2=UL

解得：ni=10,n2=-11（不合题意，舍去）.

故选：B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

7、A

【解析】列表得：

红黄蓝

红（红，红）（黄，红）（蓝，红）

黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）

蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）

由表格可知，所有等可能的情况数有9种，其中颜色相同的情况有3种，则任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针

31

所指颜色相同的概率为:；=；.故选A.

93

8、B

【分析】一边长为x米，则另外一边长为：8-x,根据它的面积为9平方米，即可列出方程式.

【详解】一边长为x米，则另外一边长为：8-x,

由题意得：x（8-x）=9,

故选：B.

【点睛】

此题考查由实际问题抽相出一元二次方程，解题的关键读懂题意列出方程式.

9、D

【分析】由。E〃8c可证得到——=——,即可求8c的长.

ACBC

【详解】,：DE//BC,

:AADEsAABC,

•AEDE

••一9

ACBC

AE1

,:—=-,DE=2,

AC3

：.BC=\.

故选。.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.

10、D

【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断.

【详解】A、是轴对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，

这样的图形叫做轴对称图形；

中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形.

二、填空题(每小题3分，共24分)

4万

11>----•

3

【分析】根据等腰三角形的性质求出AB,再根据旋转的性质可得RV=AB,然后求出3=30°,再根据直角

三角形两锐角互余求出NA'5A=60°,即旋转角为60°,再根据S阴影=S南彩ABA，+S.BC-SAABC-S询彩esc”=S南彩

AHA'-SmCHC,然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】解：•.,ZACB=90°,AC=BC,

二△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=2OA=2OB=4,BC=2亚,

•.•△A5C绕点8顺时针旋转点A在A'处，

：.BA'=AB,

:.BA'=2OB,

：.ZOA'8=30°,

.'.NA'8A=60°,

即旋转角为60°,

S用影=SSIKABA'+SA*BC-S^ABC-SCBC'

=S超彩A&T~SmCBC

_60^"x4260万x(20)2

360360

_4万

44

故答案为：

3

【点睛】

本题考查了阴影部分面积的问题，掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解题的关键.

12、4

【分析】过D作DF±x轴并延长FD,过A作AG±DF于点G,利用正方形的性质易证△ADGgADCF,得到AG=DF,

设D点横坐标为m,则OF=AG=DF=m,易得OE为4CDF的中位线，进而得至！JOF=OC,然后利用勾股定理建立方

程求出m2=4,进而求出k.

【详解】如图，过D作DF_Lx轴并延长FD,过A作AGLDF于点G,

•四边形ABCD为正方形，

.*.CD=AD,ZADC=90°

:.ZADG+ZCDF=90°

又；ZDCF+ZCDF=90°

:.ZADG=ZDCF

在4ADG和4DCF中，

VZAGD=ZDFC=90°,ZADG=ZDCF,AD=CD

/.△ADG^ADCF(AAS)

，AG=DF

设D点横坐标为m,则OF=AG=DF=m,

.，•D点坐标为(m,m)

VOE/7DF,CE=ED

，OE为aCDF的中位线，

.,.OF=OC

；・CF=2m

在RtZXCDF中，CF2+DF2=CD2

:.4m2+m2=20

解得m2^

又TD点坐标为(m,m)

k=m?-4

故答案为：4.

【点睛】

本题考查反比例函数与几何的综合问题，需要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性

质以及勾股定理，解题的关键是作出辅助线，利用全等三角形推出点D的横纵坐标相等.

28/-7

13、一V65

65

【分析】延长加交BC于点M,连接FM,延长C4'交DA的延长线于点P,作DN_LCP,先证明A普M△AEF，

利用相似的性质求出,然后证明/\A舒sA加C，利用相似的性质求出EP,从而得到DP的长，再利用勾股

定理求出CP的长，最后利用等面积法计算DN即可.

【详解】如图，延长E4,交BC于点M,连接FM,延长CA交DA的延长线于点P,作DNLCP,

由题可得，ZEAF=ZB=ZE4T=90°,A^F=AF>

：.ZFAM=ZEAF=/B=90°,

为AB中点，

二AF=A'F=BF=-AB=2,

2

又；FM=FM,

ARtM!FMRt\BFM(HL),

AZAFM=ZBFM,A!M=BM,

由折叠可知，ZAFE=ZAFE,

...NEFM=ZA'FE+ZA'FM=-xl80°=90°,

又VZAFM+ZA'MF=90°

:.ZAFE=ZA'MF,

A妒MsAA'EF，

.A'EA'F

**AT-A'M'

VAD=4,E为四等分点，

:.AE=A'E=3,

.3_2

a，2A'M'

4

，A'M=BM=~,

3

Q

...CM=-,

3

•••AD//BC,

：.ZP=ZACM,ZA'EP=ZA'MC,

二AA舒S_A砌c，

3_EP

.A'EEP即耳=可,

~MC

33

EP=6,

，DP=EP+DE=7,

在Rr0cp中，CP=Wlf+D产=，4?+72=而，

VSncp^-CD.DP^-CP,DN,

22

.CD.DP4x728765

CPV6565

故答案沏噜

【点睛】

本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及等面积法等知识，较为

综合，难度较大，重点在于作辅助线构造全等或相似三角形.

14、3兀

【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可得到结果.

【详解】解：根据题意得：S=nxixJ+(20=3兀，

故填：37r.

【点睛】

此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解本题的关键.

15、x=3

【分析】根据抛物线的轴对称性，即可得到答案.

【详解】•••抛物线y=“2+云+c经过点（2,5）,（4,5）,且点（2,5）,点（4,5）关于直线x=l对称，

这条抛物线的对称轴是：直线x=l.

故答案是：x=3.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握抛物线的轴对称性，是解题的关键.

16、x<-2或OVxVl

【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解.

【详解】解：观察函数图象可发现：当x<-2或0<x<l时，一次函数图象在反比例函数图象上方，

,使）1>了2成立的x取值范围是当x<-2或

故答案为当x<-2或0<x<l.

【点睛】

本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，根据图象得出一次函数与反比例函数交点横坐标是解题的关键.

360

17、——

71

【分析】设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可.

【详解】设扇形面积为S,半径为r,圆心角为a,则扇形弧长为a-2r,

12

所以S=—（a-2r）r=-（r—）2+—.

2416

n分42

故当r=一时，扇形面积最大为上.

416

•••此时，扇形的弧长为2r,

rijcr

W2r,

,360

••n=-----

it

7通谷*江360

故答案为：----

71

【点睛】

本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题.

18>2m

【解析】试题分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则

的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案.还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍.本题

可设道路宽为X米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32-x)(20-x)

米2,进而即可列出方程，求出答案.

试题解析：

解：设道路宽为x米

(32-x)(20-x)=540

解得：xi=2,X2=50(不合题意，舍去)

x=2

答：设道路宽为2米

考点：1、一元二次方程的应用；2、数形结合的思想.

三、解答题(共66分)

19、(1)—；(2)生叵或1.

53

【解析】(1)根据已知条件，求出AD的值，再由△AMNS/^ABC,确定比例关系求出x的值即可；

(2)当正方形MPQN与AABC公共部分的面积为日时，可分两种情况，一是当PQ在^ABC的内部，二是当PQ

在^ABC的外部，当当PQ在aABC的外部时，根据相似，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x的值即可.

【详解】解：（1）•••BC=6,为边上的高线，SMBC=12,

：,-x6-AD=12

2

.*.AD=1,

设AD交MN于点H,

VMN/7BC,

/.△AMN^AABC,

.AH_MN4—xx12

即----=-＞解得x=u，

'~AD~~BC465

.•.当PQ恰好落在边3C上时，x=w

(2)①当P。在AABC的内部时，正方形MPQN与AABC公共部分的面积即为正方形MPQN的面积,

②当PQ在AABC的外部时，如下图所示，PM交BC于点E,QN交BC于点F,AD交MN于点H,

设HD=a,则AH=l-a,

AHMN4—ax»2

由^~=c—得~———>解得a=—7x+4

ADBC463

22

/.矩形MEFN的面积为MNHD^x(--x+4)=--x2+4x(24<x<6)

即+4x=—

33

解得尤1=4,9=2(舍去),

综上：正方形“QN与公共部分的面积为屿时，》=勺巨或1.

33

本题主要考查了相似三角形的对应高的比等于对应边的比的性质，正方形的四边相等的性质以及方程思想，列出比例

式是解题的关键.

20、(1)p=0.lx+3.8；(2)该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；(3)m的值为1.

【分析】(1)直接利用待定系数法求一次函数解析式即可；

(2)利用销量x售价=销售金额，进而利用二次函数最值求法求出即可；

(3)分别表示出1,2月份的销量以及售价，进而利用今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，得出等式求出

即可.

【详解】(D设p=kx+b,

把p=3.9,x=l；p=4.0,x=2分别代入p=kx+b中，

得：《[k+b=3.9

2k+b=4.Q,

左=0.1

解得：＜

6=3.8

.,.p=0.1x+3.8；

(2)设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，

w=(-50x+2600)(O.lx+3.8)

=-5X2+70X+9880

=-5(x-7)2+10125,

当x=7时，w最大=10125,

答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；

(3)当x=12时，y=100,p=5,

1月份的售价为：100(1-m%)元，则2月份的售价为：0.8x100(1-m%)元；

1月份的销量为：5x(1-1.5m%)万台，则2月份的销量为：[5x(1-1.5m%)+1.5]万台；

.•.0.8x100(1-m%)x[5x(1-1.5m%)+1.5]=6400,

解得：mi%=—(舍去)，m2%=一,

35

m=l,

答：m的值为1.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，根据题意表示出2月份的销量与售价是解题关键.

21、(1)证明见解析；(2)。。的直径为26cm.

【分析】(1)由AB为。。的直径，CD是弦，且ABLCD于E,根据垂径定理的即可求得CE=ED,CB=DB，然

后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：NACO=NBCD.

(2)设。。的半径为痴，得至!JOE=O3-E5=R-8,根据垂径定理得到CE=：CD=；x24=12,利用在Rt/CEO中，

由勾股定理列出方程，故可求解.

【详解】证明：(1)•••48为。。的直径，C。是弦，且A8J_C。于E,

：.CE=ED,CB=DB，

：./BCD=NBAC

'：OA=OC,

:.NOAC=NOCA,

：.ZACO=ZBCD

(2)设(DO的半径为Kc/〃，贝!|0E=08-E8=R-8,

CE=-CD=—x24=12

22

在Rt/CE。中，由勾股定理可得

OC2=OE2+CE2

R2=(R-8)2+122

解得：R=13,

，2R=2x13=26

答：。。的直径为26cm.

【点睛】

此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想

的应用.

22、(1)J，16；(2)-8VxV0或x>4；(3)点尸的坐标为(4无,20).

上1

【分析】(1)将点B代入yi=kix+2和丫2=上，可求出ki=—,k2=16.

x2

(2)由图象知，-8VxV0和x>4

(3)先求出四边形ODAC的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出

点P的坐标.

【详解】解：(1)把B(-8,-2)代入yi=kix+2得-8ki+2=-2,解得k尸

一次函数解析式为y产;x+2；

L

把B(-8,-2)代入丫2==得k2=-8x(-2)=16,

X

...反比例函数解析式为%=3

X

故答案为：—,16；

(2)•.•当yi>y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围,

.,.-8VxV0或x>4；

故答案为：-8<xV0或x>4；

,.116

(3)由(1)知yi=工"*+2,j2=—，

2x

：,m=4,点C的坐标是(0,2),点A的坐标是(4,4),

：.CO=2,AD=OD=4,

._CO+AD_2+4

S糕彩ODAC=------------------OD=-----------X4=12.

sODAC:SAODK=3:1>

._1_1

S^OI)E=—XS横形ODAC=_X12=4,

33

即LO0.£)E=4,；.OE=2,

2

...点E的坐标为(4,2).

又•.•点E在直线。尸上，

:.直线OP的解析式是y=yx,

•••直线OP与反比例函数以=—的图象在第一象限内的交点P的坐标为(40,20).

X

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形、梯形的面积,

根据图象找出自变量的取值范围.在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一次函数与反比例函数交点坐

标是本题的关键.

23、(1)10%；(2)1.

【解析】试题分析：(D设该种商品每次降价的百分率为X%,根据“两次降价后的售价=原价X(1-降价百分比)2”,

列出方程，解方程即可得出结论；(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总

利润=第一次降价后的单件利润x销售数量+第二次降价后的单件利润x销售数量，，表示出总利润，再根据总利润不少于

3210元，即可的出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.

试题解析：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,

依题意得：400x(1-x%)2=324,

解得：x=10,或x=190(舍去).

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，

第一次降价后的单件利润为：400x(1-10%)-300=60(元/件)；

第二次降价后的单件利润为：324-300=24(元/件).

依题意得：60m+24x(100-m)=36m+2400>3210,

解得：m>22.2.

:.m>l.

答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品1件.

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.

24、(1)DE=DF，DElDFi(2)成立，证明见解析；(3)1.

【分析】(1)点£、尸分别是A3、AC的中点，及AB=AC,可得：3E=AF,根据SAS判定ABDE冬AADF，

即可得出Z)E=DF，ZBDE=ZADF,可得乙4£产+乙4£)£=90°,即可证OE1OF；

(2)根据SAS判定△fiQE乡公4。尸，即可得出。石=。/，ZBDE=ZADF,可得NADF+NAOE=90°,即

可证。回1。尸：

(3)根据SAS判定^BDE^^ADF，即可得出SABDE=5MDF>5^=5,+S2+S5转化为：(S3+S2)+(S4+S5)进

行求解即可.

【详解】解：(1)证明：连接A。，

图①

•:点E、/分别是AB、AC的中点，

BE=^AB,AF=^AC

VAB=AC,

BE=AF

VAB^AC,ABAC=9Q°,。为BC中点，

:.AD=、BC=BD=CD,且AO平分N8AC,ADA.BC.

2

二ZR4D=NG4D=45°

在BDE和尸中，

BD=AD

<ZB=ZDAF=45°,

BE=AF

...ABDE9AA£>F(SAS),

:.DE=DF，ZBDE=ZADF

■:ZBDE+ZADE=90°,

AZADF+ZADE=90°,

即NE。/=90°，即DEIDF

故答案为：DE=DF，DEIDF;

(2)结论成立：DE=DF，DEIDFi

证明：连接A£>,

VAB^AC,ZBAC=90。，D为BC中点,

：.AD=-BC=BD=CD,且AO平分/朋C,ADIBC.

2

:.ZBAD=ZCAD=45°

在.BDE和AO尸