2024届湖南省新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试题及答案

2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试卷注意专项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如简改动，用橡皮擦干静后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的11．设复数z1i，则复数z（其中z表示z的共轭复数）表示的点在（）上zA．x轴B．y轴C．yxD．yx2．已知角和，则“”是“tantan”的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（）4πA．12πB．9πC．πD．3x2y22π4．已知双曲线1b0的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为6b6（）A．2B．2C．6D．325．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（A．6B．12C．18D．36）6．已知递增的等比数列a，10，公比为q，且a，a，a成等差数列，则q的值为（）．B．C．D．2222137．已知平面内的三个单位向量a，b，c，且ab，ac，则bc（）221233A．0B．C．D．或0228．设方程2xx1的两根为x1，xxx，则（）22121A．0x1，x2B．112x2C．0xx1D．xx31212二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．下列说法正确的是（A．若事件A和事件B互斥，PABB．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8）PAPBC．若随机变量服从N17,2，P17180.4，则P180.1D．已知y关于x的回归直线方程为ˆ0.30.7x，则样本点3的残差为1.910．设函数fx，gx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论正确的是（）A．fxgx是奇函数B．fxgx是偶函数fxx3x21，则fg1C．若gx上单调递减且f1D．若函数fx在,1，则满足1fx21的x的取值范围是1,311．已知体积为2的四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，AB2，PA3，则下列说法正确的是（）πA．若PA平面ABCD，则BAD为6B．过点P作PO平面ABCD，若AOBD，则BDPCC．PA与底面ABCD所成角的最小值为6D．若点P仅在平面ABCD的一侧，且ABAD，则P点轨迹长度为3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分12．已知关于x的不等式ax10的解集为M，2M且1M，则实数a的取值范围是______．13．已知抛物线y2x的弦AB的中点的横坐标为2，则弦AB的最大值为______．2sin114．已知cos，cos1，则coscos______，______．322sinsin四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1513分）cosB1在如图所示的△ABC中，有（1）求B的大小；sinB0．2π（2）直线BC绕点C顺时针旋转与AB的延长线交于点D，若△ABC为锐角三角形，AB2，求6长度的取值范围．1615分）x22y22已知椭圆W:1ab0的右顶点为A，左焦点为F，椭圆W上的点到F的最大距离是短半轴长ab3的3倍，且椭圆W过点．记坐标原点为O，圆E过O、A两点且与直线x6相交于两个不同的点2P，Q（P，Q在第一象限，且P在QPQOA，直线QA与椭圆W相交于另一个点B．（1）求椭圆W的方程；（2）求QOB的面积．1715分）如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB4，CD2，BC2，PCPD3，平面PCD平面ABCD，PDBC．（1）证明：BC平面PCD；（2）若点Q是线段PC的中点，M是直线AQ上的一点，N是直线PD上的一点，是否存在点M，N使得259MN?请说明理由．1817分）已知函数fxxlnx的导数为fx．（1）若fxkx1恒成立，求实数k的取值范围；3（2）函数fx的图象上是否存在三个不同的点Ax,y，Bx,y，Cx,y（其中1x23且11223x，x，xAC的斜率等于fx?请说明理由．12321917分）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0，上旋表示“1，粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X．1（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且p，求两个粒子通过第一道逻辑门后3上旋粒子个数为2的概率；nnnN*种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为p，1（2）若一条信息有p，…，p，则称Hfp（其中fxxx）为这条信息的信息熵．试fpfp2n12n2求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y（Y1，2，3，⋯，n，⋯n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数．参考公式：0q1时，qn，nq0．0nnn2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案题号答案1234567891011CDCABADCBCDACDBCD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分111i331ii，所以对应的点,在直线yx上．2233221．C【解析】zz2．D【解析】当时，tan，tan没有意义，所以由推不出tantan，2当tantan时，kπkZ，所以由tantan推不出，故“”是“tantan”的既不充分也不必要条件．3．C【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2rπ，所以l2r，2r2r，所以圆锥的高圆锥的体积为hl112Vr2hπ333π．33x2y22ππ34．A【解析】因为双曲线所以该渐近线的方程为y1b0的一条渐近线的倾斜角为，tan，6b66323b23x，所以，363解得b2或2c22，此双曲线的右焦点坐标为22,0，3220到一条渐近线3x3y0的距离为2．2233A33A2212．5．B【解析】6．A【解析】由题意知aa2a，即3aaq2q2，又数列an递增，10，所以q1，且14311151q32q2，解得q．27．D【解析】如图，aOA，cOC，bOB（或bOD33π由ac得cosCOA，所以COA，又COAπ，22611π由ab得cosBOA，又BOAπ，所以BOA，2231π（或cosDOA，又DOAπ，所以DOA）23，所以bcππ3所以b，c夹角为或或0．622x128．C【解析】由题意得，0xx，由2x1得log2x2x0，121x21211312令fx0，f10，log2xx0，则f10，f212441212由ff10，ff20得1,1，x1,2，故A错；21x21x212x212121由xx0得xx，22212221121x21x1由x,1，x1,2得xx0，所以0xx1，故C对，B错，122212222211由x,1，x1,2，所以xx3，D错误．1122二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分9．BCD【解析】对于A，若事件A和事件B互斥，PAB0，未必有PABPAPB，A错；对于B，对数据从小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8个数字，由870%5.6，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，B正确；对于C，因为变量服从N17,2，且P17180.4，则18P18P17P170.50.40.1，故C正确；对于D，由ˆ0.30.7x，得样本点3的残差为30.30.721.9，故D正确；故选BCD．xgx，因为fx是奇函数，gx是偶10．ACD【解析】令Fxfxgx，则Fxf函数，所以fxfx，gxgx，所以FxfxgxFx，所以Fxfxgx是奇函数，A正确；Fx，所以Fx是奇函同样，令Fxfxgx，则Fxfxgxfxgx数，B错误；令x1代入gxfxx3x21，则g1f113211，又gg，f1，所以g1f11，C正确；f1因为fx为奇函数，又f11，所以f1，上单调递减，要使1fx21成立，则1x21，所以1x3，D正由于fx在,确．11411．BCD【解析】PABCDShABADsinBADhhsinBAD2，则当PA平面3331ππABCD时，hPA3，则sinBAD，即BAD为或，A错误；266如图1，若PO平面ABCD，则POBD，又AOBD，则BD平面PAO，有BDPA，又BDAC，所以BD平面PAC，BDPC，B正确；11设PA与底面ABCD所成角为，又PABCDShSABCDPA2，ABCD33212则，因为SABCDBAD4，则，SABCDπ则PA与底面ABCD所成角的最小值为，C正确；6133如图2，当ABAD，根据PABCDSABCDh2，得h，即P点到底面ABCD的距离为，过A3223233点作底面ABCD的垂线为l，过点P作POl交l于点O，则POAP2AO32，2233点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，轨迹长度为3π，D正确．2三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分2a1112．,11【解析】2M且1M，所以a1所以a1．2213．5【解析】方法一：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x2，代入y2，所以AB4；2y2x得y2或当直线AB的斜率存在时，显然不为零，设直线AB的方程为ykxb，y22x消y并整理得k2x22kb2xb0，2代入2kb2xx,122k4kb0时有设Ax,y，Bx,y，判别式1122b2xx,12k22kb2因为弦AB的中点的横坐标为2，所以4，所以kb12k2，k24kb16k224AB1k2xx1k21k2，212kk1111k2所以AB214145，k2k2k2112314即k2时取到等号，当且仅当k2k2故弦AB的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F，则ABAFBF，112又AFBFxxxx1，12122当弦AB的中点的横坐标为2时，有xx4，所以AB5，12当直线过焦点F时取到等号，故弦AB的最大值为5．122314．（任意填对一空给3分）131313【解析】由cos得2cos21，则cos2，2212由coscos1得2cos1，则，22223所以，222coscoscossin23222．sinsincos222四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤cosB1B1151）方法一：由sinB0得sinB，两边同时平方可得：22B11sin2B，由sin2B2B1整理得2cos2BB10，解得cosB或cosB1，22π又Bπ，则B．3cosB1BBBsinB0，则20，方法二：2222BB12Bππ得0或sin，又Bπ，则，B．22263π2πππ（2）由（1）得ABC，则CBD，由题可知BCD，则D，3366设BCa，则BDBCa，由余弦定理有CD2BC2BD22BCBDcosCBD，所以CDa，BCAB由正弦定理有，sinAsinACB3sinACBACBAsinACBACBsinACBsinACB3所以a1，tanACBπ0ACB,2ππ因为△ABC为锐角三角形，则得ACB，π620A,231所以tanACB,，则3，3tanACB3所以CDa33,43，tanACB即的取值范围为3,43．a2c,161）依题有acb，又a2b2c2，所以，bcx2y2所以椭圆W的方程为1，4c2c232119又点在椭圆W上，所以1，24c2c4解得c1，x2y2所以椭圆W的方程为1．43（2）设PyP，Qy，yPQ0，O0,0，A2,0，Q因为PQOA，所以yy2，①PQyy圆E过点O与A且与直线x6相交于两个不同的点P，Q，则圆心E的坐标为PQ，2yPQ2yPQ2又EOEP，所以解得yy24，②12612，22PQ（另法一：设直线x6与x轴交于点G，则有GAGOGQGP，又GA4，GO6，所以yy24，②PQyPyQ另法二：由OAPQ知，61，yy10，②）PQ2由①②解得y6，y4，PQ401，所以Q6,4，kM62所以直线QA的方程为yx2，与椭圆方程联立消去y得7x216x40，2解得B点的横坐标xB，724027QB112xx26，所以QB7211又O到直线QA的距离d2，211402407所以QOB的面积SQBd2．227171）如图，取的中点O，因为PCPD3，则POCD，因为平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，PO平面PCD，所以PO平面ABCD，又BC平面ABCD，所以POBC，又BCPD，PO平面PCD，PD平面PCD，PDPOP，所以BC平面PCD．（2）因为PCPD3，O为的中点，OC1，所以POPC2OC22，2过点O作OE∥BC交AB于点E，则由BC平面PCD可得BC，则以O为原点，OE，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，12则O0,0,0，A3,0，Q,2，D，P0,0,22，7所以AQ,2，DP22，AD2,0，237xy,nAQ2xy2z2设与AQ，DP都重直的向量为nx,y,z，则2得2nDPy22zzy,4令y4，则n6,4,2，设直线AQ与直线DP的距离为d，ADn1282625则dADcosAD,n，3616299n25则不存在点M和N使得MN．9181）fxkx1恒成立即xlnxkx1恒成立，1又x0，所以lnxk恒成立，x111x12今gxlnxx0，所以gx，xxxx2当0x1时，gx0，函数gx单调递减，当x1时，gx0，函数gx单调递增，所以当x1时，gx取到极小值也是最小值，且g11，所以k1，故实数k的取值范围为,1．（2）x，x，x成等比数列且xxx，设公比为qq1，则x1，3qx，212312321fxxlnx求导得fx1lnx，所以fx21lnx21lnqlnx，12lnqln1y31xxxxq2ln1直线AC的斜率为3311，3131q21若存在不同的三点A，B，C，使直线AC的斜率等于fx2，ln12lnqln1q2则有1lnqlnx1，q21qq211整理成lnq0．2x22xx221114x令hxlnx0，2x1，则hxx2x2xx2