湖南省衡阳市福田第一中学2022年高二数学文模拟试题含解析

湖南省衡阳市福田第一中学2022年高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=x+elnx的单调递增区间为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）和（0，+∞） D．R参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=x+elnx的定义域为（0，+∞），对其球导后判断导数在（0，+∞）的正负即可【解答】解：∵f（x）=x+elnx，定义域为（0，+∞）∴f′（x）=1+＞0，∴函数f（x）=x+elnx的单调递增区间为（0，+∞）故选A2.要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动 B．向右平行移动C．向左平行移动 D．向右平行移动参考答案：D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．【解答】解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位故选D．3.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中袋中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个红球，至少有一个绿球

B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球

D．至少有一个红球，都是绿球参考答案：B略4.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（

）A

B

C

和

D

和参考答案：D略5.函数在区间上的最小值是(

)

A.

B.0

C.1

D.2参考答案：B6.已知函数有两个不同的零点，方程有两个不同的实根,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为（

）

参考答案：D略7.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（

）A、y=x+

B、y=lgx+

C、y=D、y=x2－2x+3参考答案：D略8.设长方体的体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱，与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A．8

B．8

C.

D．16参考答案：A略9.已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质直接求解．【解答】解：∵数列1，a，5是等差数列，∴2a=1+5，解得a=3．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．10.设不等式组所表示的平面区域为S,若A,B为区域S内的两个动点，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数若，则实数a的值是__________．参考答案：－1或略12.已知，那么cos2θ的值为．参考答案：【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过已知表达式的平方，求出sinθ，利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．【解答】解：∵，∴，∴sinθ=，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为：．13.球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积是．参考答案：【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由球的正方体的表面积求出球的半径，然后求体积．【解答】解：因为球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则正方体的棱长为4，正方体的体对角线为4，所以球O的半径是2，体积是=32．故答案为：32π；【点评】本题考查了球的内接正方体的与球的几何关系；关键是求出球的半径，利用公式求体积．14.椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为．参考答案：2【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程转化成标准方程，则焦点在y轴上，a2=7，b2=3，由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2．【解答】解：由题意可知：椭圆的标准方程：，焦点在y轴上，a2=7，b2=3，∴由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2，故答案为：2．15.已知a＝(4,－3),b＝(0,1),则a在b方向上的投影为

.参考答案：－316.已知,a,b均为正实数，由以上规律可推测出a．b的值，则a+b=

▲

．

参考答案：4117.设、、是空间不同的直线或平面，对下列五种情形：①、、均为直线；②、是直线，是平面；

③是直线，、是平面；④是直线，、是平面；⑤、、均为平面．其中使“⊥且⊥∥”为真命题的情形是

(正确序号都填上)．参考答案：②④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是抛物线上一点，F为M的焦点．（1）若，是M上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与交于，两点，且，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．参考答案：（1）见解析；（2）4【分析】（1）由B在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去x，根据韦达定理求解出k，从而可得PQ中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点

根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，

设PQ的中点，线段PQ的垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.19.已知命题p：方程a2x2+ax﹣2=0在区间[0，1]上有解，命题q：对于?x∈R，不等式sinx+cosx＞a恒成立．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围．结合命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得答案．【解答】（本题满分10分）解：方程a2x2+ax﹣2=0的两根为，…（2分）由题意知，解得a≤﹣2或a≥1，即命题p为真命题时a的取值集合为A=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（4分）∵sinx+cosx＞a恒成立，所以即命题q为真命题时a的取值集合为．…（7分）又∵命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以a的取值范围为（（?RA）∩B）∪（（?RB）∩A）=（﹣2，﹣）∪[1，+∞）．…（10分）【点评】本题考查的知识点是复合命题，方程根的个数及判断，函数恒成立问题，难度中档．20.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.又三棱柱为直三棱柱，∴面面，∴面，.设，则.∴，∴.又，∴平面.（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，，.由（Ⅰ）知，平面，∴可取平面的法向量.设平面的法向量为，由∴可取.设锐二面角的大小为，则.∴所求锐二面角的余弦值为.21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．参考答案：【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据函数成立的条件进行求解即可．（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明．（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行证明．【解答】解：（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}…；（Ⅱ）f（x）为偶函数．∵f（x）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x）∴f（x）为偶函数；…（III）证明：f（x）===﹣1，设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=2（），∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．22.（13分）在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数：f（n）=100[Acos（ωn＋2）＋k]来刻画。其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数，ω＞0，cos（＋2）≈1，cos（＋2）≈－1。统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服