2025届新高考数学精准冲刺复习基本初等函数

2025届新高考数学精准冲刺复习基本初等函数

考点梳理考情回顾高考预测函数的奇偶性2023新高考Ⅱ卷第4题2021新高考Ⅰ卷第13题1.基本初等函数：重点考查

函数的图象和性质（单调

性、奇偶性、最值等）.2.抽象函数：重点考查抽象

函数的图象和性质（对称

性、周期性等）.函数的单调性

与最值2023新高考Ⅰ卷第4题2022新高考Ⅰ卷第7题2021新高考Ⅰ卷第15题抽象函数的性

质2023新高考Ⅰ卷第11题2022新高考Ⅰ卷第12题2022新高考Ⅱ卷第8题2021新高考Ⅱ卷第8题

1.（2023·新高考Ⅰ卷）设函数

f

（

x

）＝2

x

（

x

－

a

）在区间（0，1）上单调

递减，则实数

a

的取值范围是（

D

）A.（－∞，－2]B.[－2，0）C.（0，2]D.[2，＋∞）D2.（2023·天津卷）函数

f

（

x

）的图象如图所示，则函数

f

（

x

）的解析

式可能为（

D

）D3.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数

f

（

x

）的定义域为R，且

f

（

xy

）＝

y

2

f

（

x

）＋

x

2

f

（

y

），则下列结论正确的是（

ABC

）A.f（0）＝0B.f（1）＝0C.函数f（x）是偶函数D.x＝0为函数f（x）的极小值点ABC

1.函数的奇偶性（1）

定义：若函数的定义域关于原点对称，则有①

f

（

x

）是偶函数⇔

f

（－

x

）＝

f

（

x

）＝

f

（｜

x

｜）；②

f

（

x

）是奇函数⇔

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.（2）

判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法（如“奇函数×奇

函数”是偶函数）.2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

4.函数的周期性（1）

若函数

f

（

x

）满足

f

（

x

＋

a

）＝

f

（

x

－

a

）或

f

（

x

＋2

a

）＝

f

（

x

），则函数

y

＝

f

（

x

）的周期为2｜

a

｜.（2）

双对称出周期：若函数

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝

a

和直线

x

＝

b

对称，或函数

f

（

x

）的图象关于点（

a

，0）和点（

b

，0）对称，则

2｜

b

－

a

｜是函数

f

（

x

）的一个周期；若函数

f

（

x

）的图象关于点

（

a

，0）和直线

x

＝

b

对称，则4｜

b

－

a

｜是函数

f

（

x

）的一个周期.

AABCD

ABCDD解：令

f

（

x

）＝2

x

2－e｜

x

｜，

x

∈[－2，2]，则易知函数

f

（

x

）是偶函

数.又

f

（2）＝8－e2∈（0，1），所以可排除A，B.当

x

＞0时，

f

（

x

）

＝2

x

2－e

x

，则f'（

x

）＝4

x

－e

x

.因为f'（0）＝－1＜0，f'（1）＝4－e＞

0，所以存在

x

0∈（0，1）使f'（

x

）＝0.所以函数

f

（

x

）在区间（0，

1）上一定不单调.故排除C.故选D.总结提炼

（1）

根据函数解析式判断函数的图象，一般要依据函数的性质，如奇

偶性、单调性、对称性等，并结合特殊的点排除一些错误选项，对于

一些较复杂的函数，有时还得通过求导等判断函数的图象规律；根据

函数的图象选择函数解析式，由函数图象的特征结合函数的性质逐项

排除即可得解.（2）

排除法常与特例法、数形结合法联合使用，在选择题的求解中更

有效；极限法（极端值法）是一种基本而重要的数学方法，通过考查

问题的极端状态，灵活借助极限思想解题，往往可以避开抽象复杂的

运算，优化解题过程，降低解题难度.[对点训练]（2022·全国乙卷）如图所示为下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]上的大致图象，则该函数是（

A

）A123456789101112131415161718192021222324

A.－2B.－1C.0D.1B

A.（1，＋∞）D.（－∞，1）B

总结提炼

函数性质的内容丰富，联系密切，既有整体性质，如函数的奇偶

性、周期性，也有局部性质，如函数的单调性.函数的性质应用广泛，

方程、不等式、最值等高考热点内容都与函数性质相关，求解时要研

究函数各性质间的相互联系，对性质进行整合应用，常常需要利用数

形结合、分类讨论等思想方法.

B

A.函数f（x）的图象关于点（0，1）对称B.函数g（x）的图象没有对称中心C.对任意的x∈[－a，a]（a＞0），函数F（x）的最大值与最小值之和

为4ACD解：根据题意，得函数

f

（

x

）的定义域为R.因为

f

（

x

）＋

f

（－

x

）

＝lg100＝2，所以函数

f

（

x

）的图象关于点（0，1）对称.故A正确.根

据题意，得函数

g

（

x

）的定义域为R.因为

g

（

x

）＋

g

（－

x

）＝2，

所以函数

g

（

x

）的图象关于点（0，1）对称.故B错误.因为

F

（

x

）＝

f

（

x

）＋

g

（

x

），所以函数

F

（

x

）的定义域为R.

热点2

抽象函数[典例设计]例3（1）

若定义在R上的奇函数

f

（

x

）在区间（－∞，0）上单调递

减，且

f

（2）＝0，则满足（2

x

－1）

f

（

x

＋1）≥0的

x

的取值范围是

（

C

）B.（－∞，－3]∪[1，＋∞）C（2）

已知函数

f

（

x

）的定义域为R，

f

（

x

－1）是偶函数，

f

（

x

＋2）

是奇函数，则

f

（2022）等于（

D

）A.f（1）B.f（2）C.f（3）D.f（4）D[对点训练]4.（多选）（2023·苏北四市一模）设函数

f

（

x

）的定义域为R，

f

（2

x

＋1）是奇函数，

f

（

x

＋2）是偶函数，且当

x

∈[0，1]时，

f

（

x

）＝

ax

＋

b

.若

f

（0）＋

f

（3）＝－1，则下列结论正确的是（

AC

）A.b＝－2B.f（2023）＝－1C.函数f（x）为偶函数AC

5.已知函数

f

（

x

），

g

（

x

）都是定义域为R的函数，函数

g

（

x

－1）

为奇函数，

f

（1＋

x

）－

g

（

x

）＝0，

f

（3－

x

）－

g

（－2－

x

）＝0，

则

f

（2）等于（

B

）A.－1B.0C.1D.2解：因为函数

g

（

x

－1）为奇函数，所以函数

g

（

x

）的图象关于点

（－1，0）对称.所以

g

（

x

）＋

g

（－2－

x

）＝0.又

f

（3－

x

）－

g

（－2－

x

）＝0，所以

f

（3－

x

）＋

g

（

x

）＝0.又

f

（1＋

x

）－

g

（

x

）＝0，所以

f

（1＋

x

）＋

f

（3－

x

）＝0.令

x

＝1，得

f

（2）＋

f

（2）＝0.所以

f

（2）＝0.故选B.B[典例设计]例4（1）

已知定义在R上的函数

f

（

x

）对一切实数

x

，

y

都满足

f

（

x

）≠0，且

f

（

x

＋

y

）＝

f

（

x

）·

f

（

y

）.若函数

f

（

x

）在区间（0，

＋∞）上的值域为（0，1），则函数

f

（

x

）的值域是（

C

）A.RB.（0，1）C.（0，＋∞）D.（0，1）∪（1，＋∞）C解：因为定义在R上的函数

f

（

x

）对一切实数

x

，

y

都满足

f

（

x

）≠0，

且

f

（

x

＋

y

）＝

f

（

x

）·

f

（

y

），所以令

x

＝

y

＝0，可得

f

（0）＝

f

（0）·

f

（0）.又

f

（

x

）≠0，所以

f

（0）＝1.再令

y

＝－

x

，可得

f

（0）

＝

f

（

x

）·

f

（－

x

）＝1.又函数

f

（

x

）在区间（0，＋∞）上的值域为

（0，1），所以函数

f

（

x

）在区间（－∞，0）上的值域为（1，＋

∞）.所以函数

f

（

x

）在R上的值域是（0，＋∞）.故选C.（2）

（2022·新高考Ⅱ卷）若函数

f

（

x

）的定义域为R，且

f

（

x

＋

y

）

＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）

f

（

y

），

f

（1）＝1，则

等于（

A

）A.－3B.－2C.0D.1A

解：因为

f

（

x

＋

y

）＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）

f

（

y

），所以令

x

＝1，

y

＝0，可得2

f

（1）＝

f

（1）

f

（0）.又

f

（1）＝1，所以

f

（0）＝2.令

x

＝0，可得

f

（

y

）＋

f

（－

y

）＝2

f

（

y

），即

f

（

y

）＝

f

（－

y

）.又函

数

f

（

x

）的定义域为R，所以函数

f

（

x

）为偶函数.令

y

＝1，得

f

（

x

＋

1）＋

f

（

x

－1）＝

f

（

x

）

f

（1）＝

f

（

x

）.所以

f

（

x

＋2）＋

f

（

x

）＝

f

（

x

＋1）.所以

f

（

x

＋2）＝－

f

（

x

－1）.所以

f

（

x

－1）＝－

f

（

x

－

4）.所以

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

－4），即

f

（

x

）＝

f

（

x

＋6）.所以函数

f

（

x

）的一个周期为6.因为

f

（2）＝

f

（1）－

f

（0）＝1－2＝－1，

f

（3）＝

f

（2）－

f

（1）＝－1－1＝－2，

f

（4）＝

f

（－2）＝

f

（2）＝－1，

f

（5）＝

f

（－1）＝

f

（1）＝1，

f

（6）＝

f

（0）＝2，所以一个周期内的

f

（1）＋

f

（2）＋…＋

f

（6）＝

0.因为22÷6＝3……4，所以

＝

f

（19）＋

f

（20）＋

f

（21）

＋

f

（22）＝

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）＝1－1－2－1＝－3.故

选A.[对点训练]6.若函数

f

（

x

）的定义域为Z，且

f

（

x

＋

y

）＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）[

f

（

y

）＋

f

（－

y

）]，

f

（－1）＝0，

f

（0）＝

f

（2）＝1，则曲线

y

＝｜

f

（

x

）｜与

y

＝log2｜

x

｜的交点个数为（

B

）A.2B.3C.4D.5B解：因为函数

f

（

x

）的定义域为Z，且

f

（

x

＋

y

）＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）·[

f

（

y

）＋

f

（－

y

）]，

f

（－1）＝0，

f

（0）＝

f

（2）＝1，所

以令

y

＝1，则

f

（

x

＋1）＋

f

（

x

－1）＝

f

（

x

）·[

f

（1）＋

f

（－1）]

＝

f

（

x

）

f

（1）.令

x

＝1