2-4曲线与方程-2022-2023学年高二数学上学期知识梳理考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)(解析版)

第二章平面解析几何几何2.4曲线与方程知识梳理一曲线方程的定义在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程上的解为坐标的点都在曲线上；那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。二求轨迹方程的基本流程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1．五种轨迹方程求法：（1）直接法：当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；（2）定义法：当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；（3）代入法（相关点法）：当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法；（4）消参法：求动点轨迹方程时借助中间参量得到横纵坐标关系，进一步得到方程；（5）交轨法：求两条动曲线交点轨迹方程时可由方程直接消去参数，得到轨迹方程。2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．常见考点考点一曲线与方程的概念、点与曲线的位置关系典例1．已知命题“方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题，则下列命题正确的是（

）.A．曲线C上的点的坐标都是方程的解；B．坐标不满足方程的点不在曲线上；C．曲线C是方程的曲线；D．不是曲线C上的点的坐标，一定不满方程.【答案】D【解析】【分析】根据曲线与方程的定义来解题即可.【详解】因为方程的解为坐标的点都是曲线C上的点，不妨取方程，曲线取双曲线对应的曲线，则，双曲线的左支上的点的坐标不满足方程，故A错误；双曲线的左支上的点的坐标不满足方程，但该点在双曲线上，故B错误；由曲线与方程的定义可知，C选项错误；因为以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以D选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查曲线与方程的定义，属于概念辨析题.变式1-1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（）A．曲线上的点的坐标都适合方程B．不在上的点的坐标必不适合C．凡坐标不适合的点都不在上D．不在上的点的坐标有些适合，有些不适合【答案】B【解析】【分析】根据曲线与方程的概念，可以举具体函数来说明选项的正确与错误，进而可得答案．【详解】根据题意可以举例方程为，曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分，结合选项知A，C，D都不正确，只有B正确．故选B．【点睛】本题主要考查了曲线与方程的概念，对于选择题可以举例说明，属基础题．变式1-2．设曲线和的交点为P，那么曲线必定（

）A．经过P点 B．经过原点C．不一定经过P点 D．经过P点和原点【答案】A【解析】【分析】根据交点的性质，运用代入法进行判断即可.【详解】设曲线和的交点为P的坐标为，因此有且，因此，所以曲线必定经过P点，故选：A变式1-3．若点在曲线上，则实数a的值等于（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【解析】【分析】将点的坐标代入到方程可得选项．【详解】由已知得，解得．故选：A．【点睛】本题考查曲线上的点与方程的解的关系，属于基础题．考点二由方程求曲线的图形典例2．方程所表示的曲线为（

）A．射线 B．直线C．射线或直线 D．无法确定【答案】C【解析】【分析】将方程化为或，由此可得所求曲线.【详解】由得：或，即或，方程所表示的曲线为射线或直线.故选：C.变式2-1．方程表示的曲线是（

）A．圆 B．半圆与一条直线 C．一条直线 D．两条直线【答案】D【解析】【分析】由等价于或，进而可以判断表示的曲线.【详解】因为，即，所以或，因此表示的曲线是两条直线，故选：D.变式2-2．方程y＝表示的曲线是（

）A．一个圆 B．两条射线C．半个圆 D．一条射线【答案】C【解析】【分析】把方程两边平方，注意变量的取值范围，可得选项．【详解】由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．故选：C.【点睛】易错点睛：把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，如本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关．变式2-3．方程表示的曲线是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由题设判断方程对应曲线所在的象限即可.【详解】由可知，对应的曲线在一、三象限.故选:B考点三由方程研究曲线的性质典例3．方程所表示的曲线（

）．A．关于y轴对称 B．关于直线对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】C【解析】【分析】将代入方程，若方程不变，则方程所表示的曲线分别关于y轴，直线y=-x原点及y=x对称，即可得出结论.【详解】将代原方程，故A错误；将代入方程，即，故B错误；将代入原方程，即，故C正确；将代入原方程，故D错误.故选：C变式3-1．方程表示的曲线关于（

）A．直线对称 B．坐标原点对称 C．轴对称 D．轴对称【答案】B【解析】【分析】由点，点都在曲线上得出答案.【详解】设点在曲线上，则点也在曲线上因为点与点关于原点对称，所以方程表示的曲线关于坐标原点对称.故选：B变式3-2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（）对称A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x【答案】B【解析】【分析】将x换为﹣x，y不变，将y换为﹣y，x不变，将x换为﹣x，y换为﹣y，将x换为y，y换为x，判断变化后的方程与原方程的关系，从而得到结论.【详解】曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，将x换为﹣x，y不变，原方程化为x2+y2+|x|y＝2020，所以曲线C关于y轴对称；将y换为﹣y，x不变，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于x轴对称；将x换为﹣x，y换为﹣y，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于原点对称；将x换为y，y换为x，原方程化为x2+y2+|y|x＝2020，所以曲线C不关于直线y＝x对称．故选：B．变式3-3．方程所表示的曲线（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】C【解析】【分析】将代入方程，若方程不变，则方程所表示的曲线分别关于轴，原点及对称，即可得出结论.【详解】代入方程得，即，与原方程不相同，故选项A不正确；代入方程得，即，与原方程不相同，故选项B不正确；代入方程得，即，与原方程相同，故选项C正确；代入方程得，即与原方程不相同，故选项D不正确.故选：C.考点四求轨迹方程-直接法典例4．已知点，，动点满足，则动点轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据两点间的距离公式求出，，利用求出轨迹方程.【详解】，，，又动点满足两边平方后可得整理后可得：故选：A变式4-1．在平面直角坐标系中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由向量的数量积的坐标运算可得选项．【详解】由已知得，由于，所以，即点P的轨迹方程为．故选：A．【点睛】本题考查直接法求点的轨迹方程和向量的数量积的坐标运算，属于基础题．变式4-2．在平面内，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，则动点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设动点，根据条件得出，化简，求出轨迹方程.【详解】设动点，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，，即，两边平方得，当时，；当时，.故选:A.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，要注意分类讨论，属于基础题.变式4-3．已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为2，则圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】设圆心（x,y），根据圆过定点，求得半径，再根据圆被轴截得的弦长为2，利用弦长公式求解.【详解】解：设圆心（x,y），因为圆过定点，所以，又动圆被轴截得的弦长为2，所以，化简得，故选：D考点五求轨迹方程-代入法（相关点法）典例5．已知是椭圆上任一点.是坐标原点，则中点的轨迹方程为A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】设的中点为，则，又在椭圆上，故，化简得，选C.点睛：在轨迹问题中，如果所求动点的轨迹与已知曲线上的动点相关，我们可设出动点的坐标，再用的坐标去表示的坐标，把它代入已知曲线得到的轨迹方程（也就是常说的动点转移法），轨迹方程求出后注意检验.变式5-1．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】设圆上点为，所求点为，利用表示，代入圆的方程即可得所求轨迹方程.【详解】设圆上点为，所求点为，则，，，即所求轨迹方程为.故选：C.变式5-2．已知点，直线，点是直线上的一个动点，若是RA的中点，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，，，由中点坐标公式把用表示，再把代入已知直线方程可得．【详解】设，，，已知，由是的中点，，则①.点是直线上的一个动点，②.把①代入②得：，即.点的轨迹方程为.故选：C.变式5-3．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为(

)A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4【答案】B【解析】【分析】用相关点法即可求解，设P为(x,y)，通过将R点坐标表示出来，R坐标满足l方程，代入即可得到答案﹒【详解】设P(x,y)，，由知，点A是线段RP的中点，∴，即，∵点在直线y＝2x－4上，∴，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．故选：B﹒巩固练习练习一曲线与方程的概念、点与曲线的位置关系1．已知曲线C的方程是，则下列命题中错误的是（

）A．不在曲线C上的点的坐标可以满足方程B．曲线C上的点的坐标都满足方程C．坐标不满足方程的点都不在曲线C上D．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程【答案】A【解析】【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.【详解】满足方程是的解对应点都在曲线上,曲线上的点的坐标都满足方程，则曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则不在曲线上的点的坐标不可能满足方程，故A错误.故选：A.2．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为A．方程表示的曲线是C B．方程是曲线C的方程C．方程的曲线不一定是C D．以方程的解为坐标的点都在曲线C上【答案】C【解析】【分析】根据命题与其逆否命题真假一致求解.【详解】因为命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”的逆否命题是:方程的曲线不一定是C命题,又“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题，所以命题“方程的曲线不一定是C”是真命题，故选：C【点睛】本题主要考查命题及命题的关系，属于基础题.3．下列各点中，在曲线上的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将各点坐标代入曲线方程中验证，选择满足曲线方程的项.【详解】将各点代入验证：，在曲线上；：，不在曲线上；：，不在曲线上；：，不在曲线上故选：【点睛】本题考查点在曲线上的问题求解，只需把点的坐标代入曲线方程，满足曲线方程即为在曲线上.4．已知曲线的方程为，则下列各点中在曲线上的点是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接把给出选项中点的横坐标代入曲线方程验证得答案.【详解】由,得,取,得;取,得;取,得.所以点在曲线上.故选：A练习二由方程求曲线的图形5．如图，方程表示的曲线是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】分和，去掉绝对值，得到相应的曲线.【详解】，当时，，当时，，画出符合题意的曲线，为B选项，故选：B6．方程表示的图形是（

）A．直线 B．直线C．点 D．直线和直线【答案】D【解析】【分析】将原方程因式分解得出，可得选项．【详解】方程可化为，即，故或，即方程表示的图形是直线和直线．故选：D．【点睛】本题考查曲线与方程的关系，属于基础题．7．方程表示的图形是A．圆 B．两条直线C．一个点 D．两个点【答案】C【解析】【分析】由题意可知，进而求得x、y的值，可知为一个点的坐标．【详解】由已知得即所以方程表示点．故选C．【点睛】本题考查了曲线方程的定义，属于基础题．8．方程表示的曲线为（

）A．两条线段 B．一条线段和一个圆C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆【答案】C【解析】【分析】由条件可得或，分别整理即可得答案.【详解】解：，则或，又其表示线段其表示半圆，故选：C.练习三由方程研究曲线的性质9．方程表示的曲线满足（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．以上说法都不对【答案】C【解析】【分析】根据对称的性质，将方程中的用替换，用替换，看方程是否与原方程相同．【详解】依题意得，在方程中，用替换，用替换得：，即方程不变，而点与点关于原点对称，所以方程表示的曲线关于原点对称.故选：C.【点睛】本题考查点关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；关于原点的对称点为；关于的对称点为．10．方程所表示的曲线的对称性是（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于直线对称 D．关于原点对称【答案】C【解析】【分析】用代换，方程不变，则曲线关于轴对称；用代换，方程不变，则曲线关于轴对称；用，分别代换，，方程不变，则曲线关于直线对称；用，代换，，方程不变，则曲线关于原点对称.【详解】对于A选项，用代换可得：，故A错误；对于B选项，用代换可得：即，故B错误；对于C选项，用，分别代换，可得：即，故C正确对于D选项，用，代换，，可得即，故D错误故选：C.11．方程所表示的曲线（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】D【解析】【分析】分别将方程中的y换为，将方程中的x换为，将方程中的x换为且将方程中的y换为，将方程中的y换为x，x换为y，对比方程与原方程是否相同即可.【详解】将方程中的y换为，方程与原方程不同；将方程中的x换为，方程与原方程不同；将方程中的x换为且将方程中的y换为，方程与原方程不同；所以曲线不关于x轴对称，不关于y轴对称，不关于原点对称，同时将方程中的y换为x，x换为y，方程不发生变化，所以方程所表示的曲线关于直线对称．故选：D.【点睛】本题主要考查方程的曲线的对称性，属于基础题.12．关于曲线有如下四个结论：①图像关于轴对称；

②图像关于轴对称；③图像上任意一点到原点的距离不超过4；

④当时，是的函数.其中正确的序号是（

）A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④【答案】C【解析】【分析】对于①②，设为曲线上的点，求出关于轴、轴的对称点，进而代入方程检验即可；对于③，当时，结合基本不等式求解，再根据对称性即可判断；对于④，给一个自变量得，该方程有两个实数根，进而判断.【详解】解：对于①②，设为曲线上的点，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，将代入方程，显然满足，故关于轴对称，将代入方程，得，不满足方程，不关于轴对称；故①正确，②错误；对于③，当时，，解得，即到原点的距离小于等于，再根据图像关于轴对称，可得图像上任意一点到原点的距离不超过4，故正确；对于④，当时，，给一个自变量得，该方程有两个实数根，不满足函数定义，故错误.故正确的序号是①③故选：C练习四求轨迹方程-直接法13．点，，动点满足，则满足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设动点，直接利用已知条件列关系，化简即得结果.【详解】设动点，满足，即，又由，得，，化简整理可得，.故选：A.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法：（1）直接法：设动点，直接利用已知条件构建关系，再化简整理即得轨迹方程；（2）相关点法：先设所求曲线上一点坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果；（3）定义法：根据动点满足的关系判断其轨迹是熟知的圆、椭圆、双曲线等，利用定义写方程即可；（4）参数法：需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果.14．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，点是动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可知点坐标，设将代入中并化简即可得到的轨迹方程.【详解】点与点关于原点对称设，且的轨迹方程为故选：C15．在平面直角坐标系中，动点关于轴对称的点为，且，则点轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设，则，进而得出答案．【详解】设，则．故选：B．【点睛】本题考查轨迹方程，向量的数量积运算，属于基础题．16．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（

）A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0【答案】D【解析】【分析】根据题意得到等量关系，整理后即可得到点P的轨迹方程.【详解】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图.因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.故选：D练习五求轨迹方程-代入法（相关点法）17．当点P