湖北省鄂东新领先协作体2023-2024学年高二下学期3月联考试题数学

高二数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.2.函数的图象在点处的切线方程是（）A. B. C. D.3.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4.已知函数，则最大值为（）A. B. C. D.5.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（）A.B.C.D.6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7.若数列的前n项和满足，则（）A.数列为等差数列B.数列为递增数列C.，，不为等差数列D.的最小值为8.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（）A.2 B. C.3 D.二、多选题9.下列函数的导数计算正确的是（）A.若函数，则B若函数（且），则C.若函数，则（e是自然对数的底数）D.若函数，则10.数列中，，，若，都有恒成立，则（）A.为等差数列 B.为等比数列C. D.实数的最小值为11.已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C D.三、填空题12.函数在区间上的平均变化率为______．13.设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________．14.设，定义为的导数，即，，若的内角A满足，则______四、解答题15.已知点和圆．（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程．16如图，直三棱柱中，，且．（1）证明：平面；（2），分别为棱，的中点，点在线段上，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．17.各项均不为0的数列对任意正整数满足：．（1）若为等差数列，求；（2）若，求的前项和．18.欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.（1）求方程;（2）设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.19.函数.（1）若函数在上存在极值，求实数的取值范围；（2）若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.

高二数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接求导，再令，解出不等式即可.【详解】，令，解得，所以的单调递减区间为，故选：A.2.函数的图象在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为，所以，所以切点为，又，由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．故选：B3.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.【详解】依题意知，有两个不相等的零点，故，解得且.故选：D.4.已知函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，求解最值即可.【详解】，令，得，当，，为减函数，当，，增函数，又，则.故选：C5.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（）A.BC.D.【答案】B【解析】【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案.【详解】由函数的图象可知为单调递增函数，故函数在每一处的导数值，即得，设，则连线的斜率为，由于曲线是上升的，故，作出曲线在处的切线，设为，连线为，结合图象可得的斜率满足，即，故选：B6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由在上恒成立，再转化为求函数的最值得参数范围．【详解】由题意，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以的最小值为，所以，即的取值范围为.故选：D.7.若数列的前n项和满足，则（）A.数列为等差数列B.数列为递增数列C.，，不为等差数列D.的最小值为【答案】D【解析】【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值即可判断C，利用对勾函数的性质即可判断D.【详解】当时，，当时，，∴，对于A：不满足，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，,故C不正确；对于D：当时，，当时，，根据对勾函数的性质知在时单调递增，则当时，有最小值，故的最小值为．故D正确.故选：D．8.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解.【详解】由题意得，，即，令，因为，，所以函数在上单调递增，则不等式转化为，所以，则.令，则，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即，则的最大值为.故选：B二、多选题9.下列函数的导数计算正确的是（）A.若函数，则B.若函数（且），则C.若函数，则（e是自然对数的底数）D.若函数，则【答案】BCD【解析】【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.【详解】对于A，，所以，A错误，对于B，，故B正确，对于C，，C正确，对于D，，D正确，故选：BCD10.数列中，，，若，都有恒成立，则（）A.为等差数列 B.为等比数列C. D.实数的最小值为【答案】AC【解析】【分析】根据数列的递推公式以及可证明是公差为2的等差数列，即可得，可判断A正确，B错误，C正确；由不等式恒成立可得的最大值，再由数列的单调性即可判断D错误.【详解】对于AB，根据题意可得，即可得，所以是公差为2的等差数列，即A正确，B错误；对于C，易知，所以，此时可得，即，所以C正确；对于D，由不等式可得，即；不妨设数列，则，，所以当时，，可得；当时，，可得；即可得，，即第8项最大为，所以的最大值即可，即，即实数的最小值为，D错误；故选：AC11.已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，对于AB选项，，即，可得，A错B对；对于CD选项，，即，D对，C无法判断.故选：BD.三、填空题12.函数在区间上的平均变化率为______．【答案】【解析】【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.【详解】在区间上的平均变化率为.故答案为：.13.设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程确定，，的值，结合已知条件及椭圆定义求出，在中，求出，由诱导公式求出，设，则，在中由余弦定理构造方程，解出值即可.【详解】设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知，，，；由已知有：，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，所以，，在中，，，，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，设，则，，在中由余弦定理有：,解得，即.故答案为：14.设，定义为的导数，即，，若的内角A满足，则______【答案】【解析】【分析】根据导数公式直接进行求导，得到函数具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．【详解】因为，，所以，，，，，，所以具有周期性，且周期为，由，，得，因为，所以，所以，因为，所以，可得.故答案为：.四、解答题15.已知点和圆．（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出相应的参数值，综合可得出直线的方程；（2）设点，利用中点坐标公式可得出点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程.【小问1详解】解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径，因为直线过点，且被圆截得的弦长为，所以，圆心到直线的距离为，①当直线的斜率存在时，设其方程为，即，则，解得，故直线的方程为，即；②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意.综上所述，直线的方程为或．【小问2详解】解：设点，因为，则点为线段的中点，设点，由中点坐标公式可得，可得，即点，因为点在圆上运动，则，可得，故点的轨迹方程为．16.如图，直三棱柱中，，且．（1）证明：平面；（2），分别为棱，的中点，点在线段上，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．【答案】16.证明见解析17.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明可得平面.（2）设，求出平面与平面的法向量，根据条件求值.【小问1详解】设，如图，以为轴正半轴建立空间直角坐标系，则，所以所以又平面，所以平面.【小问2详解】设，∴，，设平面的一个法向量为，，即，令，得，又平面的一个法向量为，解得或（舍），即.17.各项均不为0的数列对任意正整数满足：．（1）若为等差数列，求；（2）若，求的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由递推关系首先得，进一步结合已知为等差数列，并在已知式子中令，即可得解.（2）由（1）得时，数列是等差数列，故首先求得的值，进一步分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意，当时，，两式相减得，因为为等差数列，在式子：中令，得，所以，所以或，若，则，但这与矛盾，舍去，所以.【小问2详解】因为，所以，而当时，，所以此时，所以此时，而也满足上式，综上所述，的前项和.18.欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.（1）求的方程;（2）设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先由题意，结合椭圆的性质，求得点的坐标，代入椭圆方程，即可求解；（2）首先设直线的方程为,与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求解直线的定点，并根据几何关系，求点到直线距离的最大值.【小问1详解】不妨设是的右焦点,则轴,又,,不妨设点,则,又,的方程为.【小问2详解】设,直线的方程为,由，整理得,则故,点在以MN为直径的圆上,，，,,即,整理得:,,或,当时,直线,过定点,易知点椭圆内,当时,直线,过定点,此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去,直线方程:,且直线恒过定点点到距离最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求得直线所过的定点.19.函数.（1）若函数在上存在极值，求实数的取值范围；（2）若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得函数在区间上存在极值，即在上有实数解，利用导数解得即可；（2）由（1）可得在上单调递减，故时，恒有，等价于，在上恒成立．令，则上述问题等价于函数在上单调递减，利用导数解得即可；（3）由（1）知，在时，，．结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明在内有一解，即在内有一解，令，利用判断函数的单调性，证明函数在上有零点，即可得出结论．【小问1详解】由得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，，，解得，即实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知在上单调递减，，由得，即，恒成立.令，则上述问题等价于函数在上单调递减