5.相交线与平行线知识点总结及例题解析人教版数学七年级下册

相交线与平行线知识点总结、例题解析知识点1【相交线】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：平行和相交1、相交线相交线的定义：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．

知识点2【对顶角和邻补角】两条相交线在形成的角中有对顶角和邻补角两类，它们具有特殊的数量关系和位置关系。1、邻补角（1）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，∠1与∠2有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则∠1与∠2互为邻补角（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°。例如：若∠1与∠2互为邻补角，则∠1+∠2=180°注意：①互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角；②相交的两条直线会产生4对邻补角。2、对顶角（1）对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．

如图，∠3与∠4有一个公共顶点O，并且∠3的两边OB、OC分别是∠4的两边OA、OD的反向延长线，则∠1与∠2互为对顶角．对顶角的性质：对顶角相等．注意：两条相交的直线，会产生2对对顶角。3、邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角对顶角只有一个，但邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．注意：如果多条直线相交于同一点，那么产生的邻补角的数量是对顶角的2倍。【例题1】如图所示,∠1的邻补角是()A、∠BOCB、∠BOE和∠AOFC、∠AOFD、∠BOC和∠AOF【解析】】据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断，∠1是直线AB、EF相交于点O形成的角,所以它的邻补角与直线CD无关,即它的邻补角是∠BOE和∠AOF，故选B【答案】B【例题2】下面四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是()【答案】D【例题3】如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有(

)

A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】考察对顶角的概念【答案】A【例题4】下列说法中:①因为∠1与∠2是对顶角,所以∠1=∠2;②因为∠1与∠2是邻补角,所以∠1=∠2;③因为∠1与∠2不是对顶角,所以∠1≠∠2;④因为∠1与∠2不是邻补角,所以∠1+∠2≠180，其中正确的有________(填序号)【解析】对顶角、邻补角【答案】①【例题5】如图1，直线AB、CD、EF都经过点O，图中有几对对顶角？

几对邻补角？【解析】考察对顶角的概念。AB和CD可以形成2对对顶角，CD和EF可以形成2对对顶角，AB和EF可以形成2对对顶角，共6对对顶角，邻补角的个数是对顶角的2倍，邻补角为12对【答案】6对；12对【例题6】（1）已知∠1与∠2是对顶角,∠1与∠3是邻补角,则∠2+∠3=______（2）若∠α与∠β是对顶角，∠α的补角是35°,则∠β的度数为_____（3）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3=45°，则∠1的度数为___【解析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解。【答案】（1）180（2）135°（3）135°【例题7】如图,直线AB、CD相交于点O，∠BOD分成两部分(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为______,∠BOE的邻补角为________(2)若∠AOC=70°,且∠BOE:∠EOD=2:3,求∠AOE的度数。【答案】(1)∠BOD;∠AOE(2)152°【例题8】如图12，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，

OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，

并且∠BOE=12∠COE，∠DOE=72°。

求∠COE的度数【解析】设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法。设∠EOB=x，则∠EOC=2x，根据∠AOB+∠BOC=180°（等量关系），∠AOB=2∠BOD=2（72x），∠BOC=∠BOE+∠EOC=3x，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．

【答案】72°．【例题9】回答下列问题：

（1）三条直线AB，CD，EF相交于一点O（如图1），图形中共有几对对顶角（平角除外）？几对邻补角？

（2）四条直线AB，CD，EF，GH相交于点O（如图2），图形中共有几对对顶角（平角除外）？几对邻补角？

（3）m条直线a1，a2，a3，…am1，am相交于点O，则图中一共有几对对顶角（平角除外）？几对邻补角？【解析】本题考查了对顶角、邻补角的定义。（1）根据对顶角、邻补角的定义得到3×2=6对对项角，12对邻补角；

（2）根据对顶角、邻补角的定义得到4×3=12对对项角，24对邻补角；

（3）根据前面的规律得到：有n条不同直线相交于一点，可以得到n（n1）对对顶角，2n（n1）对邻补角．【答案】（1）有6对对顶角，12对邻补角；

（2）有12对对顶角，24对邻补角；

（3）由m条直线时，有m（m1）对对顶角，2n（n1）对邻补角；知识点3【垂线】1、垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图：AB⊥CD，垂足为O。垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．2、垂线的画法(工具:三角板或量角器)步骤：(1)一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上(2)二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上(3)三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线2、垂线的性质

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

注意：“过一点”的点在直线上或直线外都可以．

3、垂线段

（1）垂线段：从直线l外一点P向直线l作垂线,垂足记为O,则线段PO叫做点P到直线l的垂线段。ll（2）垂线段的性质：垂线段最短．

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。注意：实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。4、点到直线的距离

（1）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．

【例题10】①两点之间,直线最短；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;③连接两点的线段,叫做两点的距离；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;⑤若AC=BC，则点C必定是线段AB的中点。其中正确的序号是_________【解析】①两点之间,直线最短,说法错误,应是线段最短;③连接两点的线段,叫做两点的距离,说法错误,应是连接两点的线段的长度,叫做两点的距离。【答案】②④【例题11】下列判断正确的是（）.

A、从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；

B、过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；

C、画出已知直线外一点到已知直线的距离；

D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.【解析】A垂线段的长度；B垂线无限长；C距离只能测量或求出，不能说画出，画出的是图形，比如线段、直线。【答案】D【例题12】如图所示,在这些图形中,分别过点C画直线AB的垂线,垂足为O【答案】解如图所示【例题13】如图,BC⊥AC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么点A到BC的距离是________，点B到AC的距离是_______,d点A、B两点的距离是________,点C到AB的距离是_________.【解析】点C到AB的距离可以利用等面积法求解【答案】6cm；8cm；10cm；4cm【例题14】如图,已知AB、CD、EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数。【答案】∠COE=28°，∠AOE=118°，∠AOG=59°【例题15】如图,OA是北偏东30方向的一条射线,若射线OB与射线OA垂直,则OB的方向是__________【答案】北偏西50°【例题16】如图,∠AOC与∠BOC是邻补角,OD、OE分别是∠AOC与∠BOC的平分线,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由。【答案】射线OD与OE互相垂直．理由如下：∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线∴∠COD=12∠AOC，∠COE=1∵∠AOC+∠BOC=180°，12∠AOC+1∴∠COD+∠COE=90°，∴∠DOE=90°．∴OD⊥OE．【例题17】如图所示,小刚准备在C处牵牛到河边AB饮水(1)请用三角板作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)(2)如图乙,若小刚在C处牵牛到河边AB饮水,并且必须到河边D处观察河水的水质情况,请作出小刚行走的最短路线(不写作法,保留作图痕迹)【答案】（1）过C作AB的垂线，垂足与C点之间的线段为最短路线，垂线段最短．连结CD得线段CD就是最短线段，两点之间线段最短。【例题18】如图,计划把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是_______________【答案】垂线段最短【例题19】如下图所示,公路1边上有两个工厂B,C,公路外有工厂A,要在公路边上修建货运站P,使P到三个工厂的路程和最短,货运站P应建在何处?请在图中画出来，并说明理由。【答案】由于货运站P修建在公路边上,根据“两点之间,线段最短”这一性质,可知点P应在线段BC上，再根据“垂线段最短”的性质,可知需要过点A作1的垂线,垂足就是点P的位置,如图所示。知识点4【同位角、内错角、同旁内角】1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条直线被第三条直线所截形成八个角（三线八角）,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如下图,直线a,b被直线l所截。（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同侧，则这样一对角叫做同位角．例如：∠1与∠5都在截线l的右侧，且在被截直线a,b的上方，叫做同位角(位置相同)（2）内错角

：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．

例如：∠5与∠3在截线l的两旁(交错),在被截直线a,b之间(内),叫做内错角(位置在内且交错）（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

例如：∠5与∠4在截线l的同侧（同旁）,在被截直线a,b之间(内),叫做同旁内角。2、同位角、内错角、同旁内角的辨别判断两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，应从角的两边入手，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

3、区分截线与被截线“三线八角”中没有公共顶点的两角，共线的一边是截线,两角的另一边即为被截的两条直线。注：(1)同位角,内错角,同旁内角是指具有特殊位置关系的两角,是成对出现的(2)“三线八角”中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角【例题20】如图,描述同位角、内错角、同旁内角关系正确的是（）A、∠1与∠4内错角B、∠2与∠3是同位角C、∠3与∠4是同旁内角D、∠2与∠4是同旁内角【答案】C【例题21】下图中，∠1和∠2是同位角的是（）【答案】D【例题22】如图所示,图中能与∠1构成同位角的角的个数有()个。【答案】3【例题23】如图1，图2中,∠1和∠2,∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的?它们各是什么位置关系的角?【解析】此题考查同位角、内错角、同旁内角以及截线的概念。找到2个角共线的线，此为截线。找到角的两边，通过判断边组成的形状判断是什么角。【答案】图1中:∠1和∠2是直线AB和CD被直线BD所截而成的,是内错角；∠3和∠4是直线AD和BC被直线BD所截而成的,是内错角；图2中:∠1和∠2是直线AB和CD被直线BC所截而成的,是同旁内角;∠3和∠4是直线AD和BC被直线AB所截而成的,是同位角。【例题24】如图所示,有下列五种说法:①∠1和∠4是同位角;②∠3和∠5是内错角;③∠2和∠6是同旁内角;④∠5和∠2是同位角;⑤∠1和∠3是同旁内角;其中正确的序号有_______【答案】①②④⑤【例题25】如图所示,∠1与∠2是(）同位角B、内错角C、互为补角D、同旁内角【答案】D【例题26】如图，在∠1,∠2,∠3.∠4中,哪些角是同位角?哪些角是內错角?哪些角是同旁內角?它们分别是哪两条直线被哪条直线所截形成的?【答案】解:∠1和∠3是DE和BC被AB所截而成的同位角,∠2和∠4是DE和BC被DC所截而成的内错角,∠3和∠4是DB和DC被BC所截而成的同旁