2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县九年级（上）第一次调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省宿迁市沐阳县九年级第一学期第一次调研

数学试卷

一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分.）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x(x+1)=NB.(.r-1)(x+2)=1

X

2

C.X2+/?JV+C=0D./-2xy+y=0

2.己知3a=2b(aNO,bWO),下列变形错误的是（)

Aa2BP.一b2C「.一b3D“.­a=—b

b3a3a223

3.已知XI、X2是一元二次方程N+4x+3=0的两根，则X1+X2+1VIX2的值为（）

A.-2B.-1c.1D.2

4.能判定△ABCs△QEF的条件是（)

A.组=AC

B.—,ZA=ZF

DEDFDEDF

U胆=

—,NB=NED.

DEDFDEDF

5.若6是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程以2-2fev+c=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

6.如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和△EQF,贝UNABC+/ACB

的度数为（）

A.135°B.90°C.60°D.45°

7.已知关于x方程x2+bx+c=0的两个实数根是用=2,X2=-3,贝|J方程(X-4)2+6(x-4)

+c=0的两个实数根是()

A.x\="2,X2=-1B.xi=2,X2=1

C.xi=6,X2=-1D.xi=6；%2=1

8.如图，已知在Rt/XABC中，ZC=90°,点G是△ABC的重心，GE_LACf垂足为E,

如果CB=8,则线段GE的长为（)

二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题纸相应位置上）

9.关于x的一元二次方程N=3x的解为.

10.已知三=2,则也的值为

y3y

11.已知关于X的一元二次方程2x2-3x-k=0的一个根为1,则另一个根

为.

12.已知点C是线段A8的黄金分割点（AOBC）,若线段AB的长10cm,则线段AC的

长为.

13.已知〃是关于x的方程N-2%-2021=0的根，则代数式加2--2”+2023的值

为.

14.在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿

平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植

蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为米.

15.若关于x的一元二次方程依2-6X+9=0有实数根，则k的取值范围是

16.如图，过原点o的直线与反比例函数%=_La>o）和）2=-2（%>o）的图象分别

x

0Aioki

交于点4,4,若马=1，则丁

0A22k2

17.如图，在平面直角坐标系中，点A、8的坐标分别为（-4,0）、（0,4）,点C（3,

〃）在第一象限内，连接AC、BC.已知NBC4=2NCAO,则”=

AB=\\,尸是AC上一点，过点尸沿直线剪

下一个与AABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围

三.解答题：（本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.解下列方程

(1)x2-2x-1=0；

(2)N-6X+9=(2x-1)2.

20.如图，在正方形网格中，△O8C的顶点分别为O（0,0）,8（3,-1）>C（2,1）.

（1）以点。（0,0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△

OB'C,放大后点3、C两点的对应点分别为夕、C,画出△OB'C,并写出点

B'、C的坐标：B'（),C'();

（2）在（1）中，若点M（尤，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点例'

22.小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长

为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长

8C为6米，留在墙上的影高为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度.

□□

□□

□□

□□

□□

23.已知关于尤的方程2仪-2）尤+炉=0有两个实数根xi,孙

（1）求4的取值范围；

（2）若Xl+X2=1-X1X2,求女的值.

24.新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平

均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价

每降低1元时，平均每天就能多售出2件.

（1）若降价2元，则平均每天销售数量为件；

（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？

25.已知：如图，矩形。EFG的一边DE在△4BC的边BC上，顶点G、尸分别在边AB、

AC上，A”是边BC上的高，A”与GF相交于点K,己知8C=12,AH=6,EF：GF=1：

2,求矩形。EFG的周长.

26.如图：在矩形ABC。中，AB=6m,BC=8m,动点P以2宿s的速度从A点出发，沿4C

向C点移动，同时动点。以lm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、。两点

移动的时间为/秒(0<r<5).

(1)/为多少时，以P、。、C为顶点的三角形与△ABC相似？

(2)在P、。两点移动过程中，四边形ABQ尸与aCP。的面积能否相等？若能，求出此

时，的值；若不能，请说明理由.

27.若一元二次方程公2+bx+c=0(aWO)的两实数根为xi、X2,则两根与方程系数之间有

如下关系：x,+x=-->X!X2=-.这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用

2aa

很多，请完成下列各题：

(1)已知人是方程N+15x+5=0的二根，求三十旦的值.

ba

X=Xi(x=x2

(2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x,y

y=y1y=y2

的方程组［xZy+k=o的两个不相等的实数解.问：是否存在实数女,使得

,x-y=l

X1x2

=2?若存在，求出该式的々值，若不存在，请说明理由.

Y1iYo2---x--2-----X---1

28.在四边形ABC。中，E尸分别是AB、边上的点，DE与CF交于点,G.

(1)如图1,若四边形ABCO是正方形，且QELCF,求证：DE=CF；

(2)如图2,若四边形A8C。是矩形，且。E_LCF,求证：坐我；

CFCD

(3)如图3,若四边形ABCZ)是平行四边形，试探究：当NB与NEGC满足什么关系时,

空俘■成立？并证明你的结论.

CFCD

参考答案

一.选择题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题纸相应位置上)

1.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.x(x+1)—X2B.(x-1)(x+2)=—

x

C.x2+bx+c—OD.x2-2xy+y2—0

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

解：A.x(%+1)=N整理可得x=0,是一元一次方程，故本选项不合题意；

B.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；

C./+法+°=0,是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；

D.x2-2xy+)2=0是二元二次方程，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键,

注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二

次方程.

2.已知3。=28(。/0,匕#0),下列变形错误的是()

人a2r,b2cb3ab

b3a3a223

【分析】根据比例的性质进行变形，再判断即可.

解：A、-：3a=2h,

两边都除以泌得：且=?,故本选项不符合题意；

b3

B、\*3a=2b,

两边都除以2a得：月•=/■,故本选项符合题意；

a2

。、3a=2b,

两边都除以2a得：包=热，故本选项不符合题意；

a2

D.・：3a=2b,

两边都除以6得：卷=£,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了比例的性质，能熟练地运用比例的性质进行变形是解此题的关键.

3.已知XI、X2是一元二次方程必+4工+3=0的两根，则X1+X2+2X1X2的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】利用根与系数的关系得到%l+X2=-4,X1X2=3,然后利用整体代入的方法计算

X\+X2+2XIX2的值.

解：根据题意得：X\+X2--4,X|X2=3,

所以xi+x2+2xix2—-4+2X3=2.

故选：D.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若M、X2是一元二次方程or2+bx+c=0

=

（aWO）的两根时，xI+x9^~＞二

1za/2

4.能判定△ABCS^OEF的条件是（)

A处空ABAC

B.,乙4=/尸

,DEDFDEDF

D.

【分析】根据相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形

的相似，进行判断即可.

解：A、当祟/时，不能判定△ABCS^OEF,故A不符合题意；

DEDF

B、当里■事，时，可判定△4BCSZ\Z）EF,故B不符合题意；

DEDF

C、当强■塔，NA=N£＞时，可判定故C不符合题意；

DEDF

D、当强■塔，N4=N£＞时，可判定△ABCS^DEF,故。符合题意；

DEDF

故选：D.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：

两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似.

5.若匕是〃和c的比例中项，则关于x的一元二次方程以2-2加+0=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【分析】由b是。和C的比例中项，得出按=",再进一步由一元二次方程以2+2W+C

=0根的判别式探讨得出答案即可.

解：•.》是〃和C的比例中项，

.'.b2=ac,

——元二次方程ax2-2bx+c=0根的判另ij式：（-2b）2-4ac=4Z?2-4ac=0,

一元二次方程ax2+2bx+c^0有两个相等的实数根.

故选：B.

【点评】此题考查根的判别式的运用，以及比例中项的意义，注意整体代入思想的渗透.

6.如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△£：£（F，贝IJNA8C+NAC8

的度数为（）

A.135°B.90°C.60°D.45°

【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出.

解：-：AB=yfS'AC=y/~1Q,BC=5,DE=M、EF=2,£>F=/1Q,

.AB_AC_BC_再

•,瓦一而一而--2-）

...AABCSADEF,

：.ZBAC^ZDEF^180°-45°=135°,

AZABC+ZACB=180°-ZBAC=45°.

故选：D.

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等.

7.已知关于x方程/+饭+c=0的两个实数根是》=2,X2=-3,则方程（X-4）2+6（x-4）

+c=0的两个实数根是（）

A.xi=-2,X2=-1B.xi=2,%2=1

C.xi=6,X2=_1D.xi=6；X2~~1

【分析】设E=x-4,则方程（x-4）2+》（％-4）+c=0变为P+0f+c=0,根据方程d+bx+c

=0的两个实数根是》=2,及=-3,得x-4=2或-3,即可求出方程（龙-4）2+h（x

-4)+c=0的两个实数根.

解：设f=x-4,则方程(x-4)2+b(x-4)+c=0变为卢+以+c=0,

,方程N+bx+c=O的两个实数根是xi=2,X2—-3,

,,.t=2或-3,

".X-4=2或-3,

.'.x—6或1,

二方程(%-4)2+h(x-4)+c=0的两个实数根是©=6,X2=l.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键.

8.如图，已知在RlZ\ABC中，ZC=90°,点G是△ABC的重心，GELAC,垂足为E,

如果CB=8,则线段GE的长为()

【分析】延长AG交BC于£),如图，利用三角形重心的性质得到CD=BD=4,AG=2GD,

再证明GE〃CD,则可判断△AEGs/VJCZ),然后利用相似比可求出EG的长.

解：延长4G交8c于。，如图，

•.•点G是△ABC的重心，

：.CD=BD^—BC^4,AG=2G。，

2

VGEVAC,

：.ZAEG=90°,

而NC=90°,

J.GE//CD,

：./\AEG^/\ACD,

•EG_AG_AG_2

••而'一而一菽而一百，

；.EG=2CQ=2X4=&.

333

故选：c.

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶

点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质.

二、填空题：(本大题共1()小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题纸相应位置上)

9.关于x的一元二次方程N=3X的解为xi=0,及=3.

【分析】利用因式分解法解方程.

解：x2=3x,

X2-3x=0,

x(x-3)=0,

解得：尤i=0,X2—3.

故答案为：第=0,X2—3.

【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,

配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

10.已知二=3，则*■的值为g.

y3y一

【分析】根据合比性质，可得答案.

故答案为：

【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键.

11.已知关于X的一元二次方程2x2-3x-%=0的一个根为1,则另一个根为《.

一2一

【分析】根据两根之和等于-2,结合方程的一个根是1,即可求出方程的另一个根.

a

解：♦.•关于x的一元二次方程2N-3x-Z=0的一个根为1,设方程的另一根为3

••1•*I-^―,

2

即另一个根为

故答案为：4-

2

【点评】本题考查了根与系数的关系：X”X2是一元二次方程以2+公+,=0(aWO)的两

be

根时，X\+X2=-----，XI9X2=—.

aa

12.已知点。是线段AB的黄金分割点(AOBC),若线段A8的长105?，则线段AC的

长为(5.西-5)cm.

【分析】根据黄金分割的定义得4C=返」AB,代入AB的长计算即可.

2

解：；点C是线段A8的黄金分割点(AOBC),AB^Wcm,

5_15

：.AC=^Ag=y—X10cm=(5J5-5)cm,

22、

故答案为：(575-5)cm.

【点评】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键.

13.已知根、〃是关于x的方程N-2X-2021=0的根，则代数式机2-4〃?-2/+2023的值为

4040.

【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出w2-2^=2021,m+n=2,

将原式化简求值即可.

解：：〃?、”是关于x的方程N-2x-2021=0的根，

.'.m2-2m=2021,m+n=2,

m2-4m-2n+2023

—in2-2m-2(m+n)+2023

=2021-2X2+2023

=4040,

故答案为：4040.

【点评】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握

一元二次方程根与系数的关系是解题关键.

14.在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿

平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道(如图中阴影部分所示)，剩下部分种植

蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为1米.

【分析】设小道的宽为X米，则剩下部分可合成长为（20-X）米，宽为（10-尤）米的

长方形，根据“剩下部分种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于x的

一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

解：设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20-x）米，宽为（10-x）米的长方

形，

根据题意得：（20-x）（10-x）—171,

整理得：x2-30x+29=0,

解得：xi—1,X2—29（不符合题意，舍去），

小道的宽为1米.

故答案为：1.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关健.

15.若关于x的一元二次方程依2-6x+9=o有实数根,则k的取值范围是代1且&W0.

【分析】根据一元二次方程有实数根，可得从-4ac=（-6）2-4如9=36-36A20,再

根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可.

解：•关于x的一元二次方程依2-6x+9=0有实数根，

；.△=（-6）2-4A・9=36-36栏0,

解得0,

又；依2-6x4-9=0是关于x的一元二次方程,

“W0,

：.kWl且y0,

故答案为：ZW1且kWO.

【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别

式和一元二次方程的定义是解题的关键.

16.如图，过原点。的直线与反比例函数yi=2L（x>0）和）z=±2（x>0）的图象分别

xX

OAj319

交于点Ai,A2,若'叫

22—1—

【分析】△04NSA0A2例，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解.

解：分别过点4、A2作x轴的垂线，垂足分别为M、N,

则

△O4NSZ^OA2M,

0A[

即两个三角形的相似比为3：2,

则△OA2M和△04N的面积比为：9：4,

k.2s△OA.MQ

而—-----,

k22SA0A.N4

故答案为：4-

4

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，利用三角形相似比的平方等

于面积比是解题的关键.

17.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-4,0)、(0,4),点C(3,

»)在第一象限内，连接4C、BC.已知NBCA=2/C4。，则〃=—.

—5―

【分析】作CD_Lr轴于£),CE_Ly轴于E,则BE=4-”，CE=3,CD=〃,A£)=7,根

据平行线的性质得出NECA=/CAO,根据题意得出/BCE=/CA。，通过解直角三角

形得到tan/CA0=22_=tan/BCE=里，即可得到一0-上1,解得即可.

ADCE3+43

解：作C£>J_x轴于£>,CEJ_y轴于E,

•.,点A、8的坐标分别为（-4,0）、（0,4）,点C（3,〃）在第一象限内，则E（0,

〃)，D(3,0),

：.BE=4-n,CE=3,CD=n,AZ)=7,

\'CE//OA,

.\ZECA=ZCAO,

'：ZBCA^2ZCAO,

：.ZBCE^ZCAO,

在RtZ^CAO中，tan/CAO=型，在Rtz^CBE中，tanZBC£=—,

ADCE

.CDBE日口n4-n

ADCE3+43

解得〃=4，

故答案为善.

5

【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，解直角三角形等，证明/BCE

=NCA。，得出f=言•是解题的关键.

AU

18.如图，在AABC纸板中，AC=8,8c=4,AB=11,P是AC上一点，过点尸沿直线剪

下一个与aABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围

【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范

围.

解：如图所示，过P作PZ)〃AB交BC于。或PE〃BC交AB于E,则△PCQsaACB

或△APEs/viCB,

此时0<AP<8；

如图所示，过P作NAPf=NB交AB于尸，则△APFsaABC,

此时0VAPW8；

A

如图所示，过P作NCPG=NCS4交BC于G,则△CPGs/\C8A,

此时，△CPGS^CBA,

当点G与点B重合时，C8』CPXCA,即42=CPX8,

:.CP=2,AP=6,

此时，6WA尸V8；

综上所述，AP长的取值范围是6WAPV8.

故答案为：6<AP<8.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相

等.

三.解答题：(本大题共10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

19.解下列方程

⑴N-2x-1=0；

(2)/-6x+9=(2x-1)2.

【分析】Q)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

解：(1)N-ix-1=0,

X2-lx—1,

x2-2x+\—2,即(x-1)2=2,

.♦.X-1=±也，

=1+&，X2=l-&；

(2)X2_6X+9=(2x-1)2,

(x-3)2-(2x-1)2=0,

[(x-3)+(2x-1)][(x-3)-(2,r-1)]=0,

3x-4=0或-x-2=0,

.4、

..X\=­，X2=-2.

3

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属

于基础题型.

20.如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O(0,0),B(3,-1)、C(2,1).

(1)以点0(0,0)为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△

OB'C,放大后点8、C两点的对应点分别为夕、C,画出△OB'C,并写出点

B'、C的坐标：B1(-6,2),C(-4,-2)；

(2)在(1)中，若点M(x,y)为线段上任一点，写出变化后点M的对应点

的坐标(-2x,-2y).

y

【分析】(1)延长20,CO,根据相似比，在延长线上分别截取A。，BO,C。的2倍,

确定所作的位似图形的关键点A,B',C再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似

图形△0SC；再根据点的位置写出点的坐标即可；

(2)M'的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数.

解：(1)如图

B'(-6,2),C'(-4,-2)

【点评】本题考查了画位似图形.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别

连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图

形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

21.已知如图，直线,DE=6,求EF的长.

AC3

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到黑=黑，求出DF,再根据EF=DF-DE

ACDF

即可得出结果.

解：'：AD//BE//CF,

.AB=DE

"AC-DF

：.DF=9,

；.EF=DF-DE=9-6=3.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

22.小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长

为0.8米，同时测量旗杆48的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长

BC为6米，留在墙上的影高CQ为3米，请利用以上信息，求旗杆A8的高度.

□□

□□

□□

□□

□□

【分析】过。作。于E,首先证明四边形CD3E为矩形，可得8c=OE=6,CD

=BE=3,设AE=x,则工=工，求出x即可解决问题.

0.86

解：过。作。ELAB于E,

:DC_LBC,ABA.BC,

：.NEBC=NDCB=NDEB=90°,

，四边形OCBE为矩形，

：.BC=DE=6,CD=BE=3,

设AE—x,

•1x

解得：x=75,

・••旗杆的高A8=AE+3E=7.5+3=10.5米.

【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型.

23.已知关于x的方程N-2仪-2)x+R=O有两个实数根如

(1)求女的取值范围；

(2)若Xl+X2=1-X1X2,求女的值.

【分析】(1)根据△》()，列出不等式，解不等式即可；

(2)利用根与系数的关系，把问题转化为方程即可解决问题；

解：(1)由题意△》()，

二4(k-2)2-4NNO,

(2)•；XI+X2=2(A-2),XiXi—k1,

：.2(.k-2)=1-F,

解得k=-1+在或-1-VQ,

；AW1,

:.k=-1-娓.

【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

24.新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平

均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价

每降低1元时，平均每天就能多售出2件.

(1)若降价2元，则平均每天销售数量为24件;

(2)当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？

【分析】Q)根据平均每天销售量=20+2X降低的价格，即可求出结论；

(2)设每件商品降价x元，则平均每天可销售(20+Zx)件，根据总利润=每件利润义

销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

解：（1）20+2X2=24（件）.

故答案为:24.

（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，

依题意，得：（40-x）（20+2x）=1200,

整理，得：x2-30x+200=0,

解得：M=10,X2—2Q.

当x=20时，40-x=20<25,

.,.x—20舍去.

定价=80-10=70（元）

答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

25.已知：如图，矩形DEFG的一边DE在AABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB.

AC上，4〃是边BC上的高，A”与G尸相交于点K,已知BC=12,AH=6,EF：GF=1：

2,求矩形OEFG的周长.

得到△AGFS/XABC,然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值,

进而求得矩形的周长.

解：设EF=x,则GF=2x.

VGF//BC,AHLBC,

：.AK±GF.

'JGF//BC,

：./\AGF^/^ABC,

.AK=GF

AH-BC'

'：AH=6,BC=\2,

.6-x_2x

'，-6"―72,

解得x=3.

，矩形力EFG的周长为18.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，难度适

中.

26.如图：在矩形ABC。中，AB=6%,BC=8m,动点P以2,〃/s的速度从A点出发，沿AC

向C点移动，同时动点。以lm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、。两点

移动的时间为f秒(0<r<5).

(1)/为多少时，以P、。、C为顶点的三角形与△ABC相似？

(2)在P、。两点移动过程中，四边形4BQ尸与△CP。的面积能否相等？若能，求出此

时f的值；若不能，请说明理由.

【分析】(1)先利用勾股定理计算出AC=10,由于NPCQ=/ACB,根据三角形相似

的判定，当NPQC=NB时可判断COPs^cBA,利用相似比得到与看1弋；当々QC

=/B4C时可判断△CQPsaCAB,利用相似比得到独产=点，然后分别解方程求

出，的值即可；

(2)作P”,8c于，，如图，先证明△CP”saCAB,利用相似比可得到耽=更3,

再利用四边形ABQP与ACP。的面积相等得到S&ABC=2S&CPQ,利用三角形面积公式得到

2.1./.3^±L=1.6.8,然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否

43匕

相等.

解：(1)在RtZsABC中，AC=yj.2+BC2=d62+82=10(cm),

・・・NPCQ=NAC3,

...当NPQC=NB时，XCQPs/\CBA,则当=黑，即"交=］，解得f=黑；

ACCB10813

当NPQC=NBAC时，△CQPSXCAB,则票=/，即也会=±，解得「=与

CDCA8107

•••，为最或争时，以尸、Q、C为顶点的三角形与aABC相似;

(2)四边形ABQP与ACP。的面积不能相等.理由如下：

作于“，如图,

•?PH//AB,

:.△CPHsACAB,

.•屈=成，即PH10-2t

ABAC610

.•./4=30-6t(C/M),

5

当四边形ABQP与△CP。的面积相等时,

S^ABC-S&CPQ=S4CPQ，即SAABC=2SDCPQ,

.•.2°Lf•竺@1=工6・8,

252

整理得t2-5f+20=0,此时方程无实数解,

四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.熟练应

用相似比计算线段的长.

27.若一元二次方程以2+嬴+c=o(aWo)的两实数根为xi、及，则两根与方程系数之间有

如下关系：Xl+X2=-X!X2=-.这一结论称为一元二次方程根与系数关系，它的应用

aa

很多，请完成下列各题：

(1)已知。、6是方程炉+15犬+5=0的二根，求三法的值.

ba

X=Xi(x=x2

(2)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x,y

y=y〔y-y2

的方程组x-y+k=°的两个不相等的实数解.问：是否存在实数k,使得

.x-y=l

X1x

y.y,--L-2=2?若存在，求出该式的左值，若不存在，请说明理由.

12x2X1

【分析】(1)根据小人是9+15X+5=0的解，求出a+b和必的值，即可求出且+回的

ba

值；

x,x2

(2)运用根与系数的关系求出X1+X2=1,X1，X2=&+1,再解yy-----------2,即可求