人教A数学必修二教案4.2.3 直线与圆的方程的应用

4、2、3直线与圆的方程的应用(一)

【教学目标】

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

【教学重难点】

教学重点：直线的知识以及圆的知识

教学难点：用坐标法解决平面几何.

【教学过程】

一'复习准备：

(1)直线方程有几种形式？分别为什么？

(2)圆的方程有几种形式?分别是哪些？

(3)求圆的方程时，什么条件下，用标准方程?什么条件下用一般方程？

(4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

⑸如何用直线和圆的方程判断它们之间.的位置关系？

(6)如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？

二、讲授新课：

提出问题、自主探究

例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以.下计算：圆拱跨度AB=84米，拱

高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度(精确到0.01米).

方法一：在RrAA/。中R2=422+(R-15)2可求出半径R,而在册AACO中

P3c2=R2-212,

A’P,=舄。一人。，从而可求得人38长度。

能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？

方法二：先求圆的方程，再把求&々长度看成△的纵坐标。

首先应建立坐标系。

如何建系？四种不同的建系方案：

-2-

分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。

归纳总结、巩固步骤

总结解决应用问题的步骤：

⑴审题--分清条件和结论，将实际问题数学化；

（2）建模--将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数

学模型；

（3）解模--求解数学问题，得出数学结论；

（4）还原--根据实际意义检验结论，还原为实际问题.

流程图：

实际问题学问题结论t^=＞实际问题结论

（审题）（建模）（解模）（还原）

变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米,

水面以上高3米,请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

深入讨论、提炼思想

在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何.中的计

算。这一“新方法”在初等儿何的证明中也非常有用，如证明.“平行四边形四条边的平方和

等于两条对角线的平方和”，再看下例：

例2、己知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，不

。£，4。于七，探求线段PE与8C的数量关系。

⑴附坐卬

-3-

思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时忸目:^忸。.

对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂

直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证

明？

证明：(平面几何法)连接AP并延长交圆P于点F,连接DF,CF,

VZ3=Z4.•.在Rt/ADF和Rt/AHB中/1=N2

•/Z5=Z1+Z7,N6=N2+Z7N5=Z6①

又：/ACF=900且ZCHD=90°Z.CF〃BD②

由①②可得四边形CFDB为等腰梯形|CB|=|FD|又：|FD|=2|PE||BC|=2|PE|

用“建系”这一新工具尝试

证明：(解析几何法)以AC,BD交点为坐标，原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标

系，设&a,0),5(0,6),C(c,0),D(d,O).

用勾股定理，归£|=,其中E为AO中点；

先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆

心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。

设圆方程为(x-m『+(y-n)2=r2,考虑到圆与x轴交于A、C两点，令y=0,得关于x的一元

a+c

二次方程x2-2mx+(m2+n2-/)=0,然后利用韦达定理可得圆心的横坐标〃2=——，同理可得圆

2

心的纵坐标〃=2^。V

应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。/

过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出\NP-A/

,a+cb+d、\\yE/

圆心的P坐标(^-，^―)o

DT^-------J

变式练习：设。为BC的中点，则QH〃尸E,,如何用代数方法

证明这一结论呢？

还能有什么其他发现？

则一组对/

(1)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，

边的平方和等于另一组对边的平方和；

则两条对\1p、//

(2)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直,\\X

-4-

D

角线之积等于两组对边之积的和；

(3)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一

定平分这一条边的对边。

课堂小结：

(1)直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用：

(2)解决实际问题的具体步骤一一审题、建模、解模、还原；

(3)解决几何问题的新方法---解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，

达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转

化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果"翻译"成几何结论；

【板书设计】

一、指数函数

1.定义

2.图像

3.性质

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】

习题4.2B组的2、3、4题

4.2.3直线与圆的方程的应用导学案(一)

课前预习学案

一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

二、预习内容：

-5-

(1)直线方程有几种形式？.分别为什么？

(2)圆的方程有几种形式?分别是哪些？

(3)求圆的方程时，什么条件下，用标准方程?什么条件下用一般方程？

(4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

(5)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

(6)如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？

三、提出疑惑

课内探究学案

一、学习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

学习重难点：直线的知识以及圆的知识

二、讲授新课:

例L、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB=84米，拱

高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度(精确到0.01米).

变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，.装满货过桥，顶部宽4米,

水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

-6-

例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，探求线段PE

与BC的数量关系。

⑴陷=2明.

思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时|P£|=；|Bq.

对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂

直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证

明？

变式练习：设。为的中点，则如何用代数方法证明这一结论呢？

还能有什么其他发现?

当堂检测：

1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：A(0,0,3),B(1,2,3),C(2,0,4),

D(—1,2,—2)..

2.已知：长方体ABCD-A'B'C'D'的边长AB=12,AD=8,AAZ=7,以这个长方体

的顶点B为坐标原点，射线AB,BC,BB'分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角

坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标.

3.写出坐标平面yOz上N.yOz平分线上的点的坐标满足的条件.

课后练习与提高

1.圆/+,2一28一2,+1=0上的点到直线1-丁=2的距"离最大值是()

A2B1+V2C1H----D1+2V2

2

2.将直线2x—y+/l=0,沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆

f+/+2x—4)=0相切