2024年中考数学总复习第三章《函数》第六节：二次函数综合题（附答案解析）

2024年中考数学总复习第三章《函数》第六节：二次函数综

合题

★解读课标★-------------熟悉课标要求，精准把握考点

1.结合具体情况体会二次函数的意义，能根据已知条件确定二次函数的表达式：

2.会利用待定系数法确定二次函数的表达式.

3.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；

4.会求二次函数的顶点坐标，并能解决实际问题.

5.能运用二次函数的知识解决综合型问题.

★中考预测★-------------统计考题频次，把握中考方向

二次函数是非常重要的函数，年年都会考查，总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会

考，它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要

是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。

★聚焦考点★-------------直击中考考点，落实核心素养

考点讲解

运动产生的线1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：先在图中找出对应

段问题线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的

坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标

轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先

转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数

或相似确定）.

2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满

足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）

3.线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值

问题，首先联想到“对称性质”，并进行解决。

运动产生的面探究面积问题的备考方法如下：

积问题1.设动点或图形运动的时间并表示出点的坐标；

2.用含有未知数的代数式表示出图形的面积；

3.用二次函数的知识来求最大值或最小值时，常采用配方法求解；

4.特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状

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进行分类讨论，注意分析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨

论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.求面积最值时，分别求

出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值.

5.面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求

得参数的值即可求得点坐标.

运动产生的等法一：分别表示出三点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解

腰三角形、菱形出坐标.

问题法二：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系

运动产生的直法一：分别表示出三点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解

角三角形、矩形出坐标.

问题法二：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系.

运动产生的平法一：分别表示出四点坐标，再利用中点公式，分类讨论，列方程解出坐

行四边形问题标.

法二：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系.

二次函数其它解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最

综合问题后汇总成最终答案.

★方法导引★总结思想方法，提升解题效率

函数存在性问解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或

题抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关

的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该

点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，

否则该点不存在.

函数动点问题1.函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题：二是与动点、存

在点、相似等有关的二次函数综合题.

2.解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不

同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；

3.解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，

运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与

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动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点01二次函数综合问题

1.(2022•广东)如图，抛物线＞(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,

B两点，A(1,O),A3=4,点P为线段48上的动点，过P作PQ〃8。交AC于点Q.

(1)求该抛物线的解析式；(2)求-CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.

【答案】(1)y=x2+2x-3

(2)2；P(-1,0)

【分析】(D用待定系数法将A,B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；

(2)分别求出C点坐标，直线AC,BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n,进而求出P,Q

的坐标以及n的取值范围，由SMPQ=列出函数式求解即可.

(1)解:•:点A(1,0),AB=4,

.•.点B的坐标为(-3,0),

将点A(1,0),B(-3,0)代入函数解析式中得：

fO=l+/?+c

jo=9-3b+c'

解得:b=2,c=-3,

抛物线的解析式为y=r+2x-3；

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(2)解：由(1)得抛物线的解析式为y=V+2x-3,

顶点式为：y=(x+l)2-4,

则C点坐标为：(-1,-4),

由B(-3,0),C(-1,-4)可求直线BC的解析式为：y=-2x-6,

由A(1,0),C(-1,-4)可求直线AC的解析式为：y=2x-2,

VPQ/7BC,

设直线PQ的解析式为：y=-2x+n,与x轴交点

y=-2x+n〃+2〃-2]

由解得：Q

y=2x-2~T~

TP在线段AB上,

An的取值范围为-6<n<2,

贝!JS&CPQ=S^CPA-S/\"Q

=」（〃+2y+2

8V'

...当n=-2时,即P(-1,0)时，So最大,最大值为2.

【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数

的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键.

2.(2022•四川内江)如图，抛物线y=ax、bx+c与x轴交于A(-4,0),B⑵0),与

y轴交于点C(0,2).

备用图

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(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线

AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，

连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标.

【答案】(1)y=Y-4x+2

42

(2)半，点D的坐标为(-2,2)；

(3)点P的坐标为(6,-10)或(-与,-y).

【分析】(1)运用待定系数法即可解决问题；

(2)过点D作DIUAB于H,交直线AC于点G,过点D作DELAC于E,可用待定系数法求

出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m,则点G的横坐标也为m,从而可以用ni的代数式

表示出DG,然后利用cosNE£)G=cosNC4O得到DE=^DG,可得出关于m的二次函数，

5

运用二次函数的最值即可解决问题；

(3)根据SAPCB：SAPCA=(E8x(yc-yp)：：AEx(yc—%)=8E:AE,即可求解.

解：(1)•.•抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,

2).

16。-4b+c=0

<4。+2Z?+c=0,

c=2

1

a=—

4

解得：人=-；，

c=2

，抛物线的解析式为―/T+2；

(2)过点D作DH_LAB于H,交直线AC于点G,过点D作DELAC于E,如图.

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设直线AC的解析式为y=kx+t,

则ITKT4-r=u，

\k=-

解得：2,

f=2

...直线AC的解析式为y=；x+2.

设点D的横坐标为m,则点G的横坐标也为m,

DH——■-w2—■-m+2,GH——m+2

422

DG=一--n?2--n?+2--/w-2=--/n2-/??,

4224

VDE±AC,DH1AB,

AZEDG+ZDGE=ZAGH+ZCA0=90°,

VZDGE=ZAGH,

AZEDG=ZCAO,

QA42X/5

・・・cosZ£ZX?=cosZC4O=—=f===—,

ACV42+225

.DE275

•・-----=-------，

DG5

.八02石八八2x/5.1、⑸j、石/s工2加

.•DE=------DG=------(——m2-m)=--------(〃?+4，%)=-------(m+2)+------,

55410105

.•・当m=-2时，点D到直线AC的距离取得最大值平.

此时为=-；x(-2)2-；x(-2)+2=2,

即点D的坐标为(-2,2)；

(3)如图，设直线CP交x轴于点E,

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直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分,

又SAPCB：SAPCA=gE8x()号一%)：：AE*(凡一yP}=EB:AE,

则EB：AE=1：5或5：1

则AE=5或1,

即点E的坐标为（1,0）或（-3,0）,

将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=nx+2,

解得：n=-2或？2

2

故直线CP的表达式为：y=-2x+2或y=§x+2,

2

y=—2x+2y=一冗+2

3

联立方程组121。或“

y=——x~——x+2101。

-42y=——X"——x+2

42

解得：x=6或（不合题意值已舍去），

故点P的坐标为（6,-10）或（-丁，-y）.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐

角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比.

3.（2022•湖南娄底）如图，抛物线y=g--2x-6与x轴相交于点A、点B,与V轴相交

于点C.

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⑴请直接写出点A,B,C的坐标；⑵点P（见〃）（0＜加＜6）在抛物线上，当"?取何值时，

P8C的面积最大？并求出面积的最大值.（3）点尸是抛物线上的动点，作在〃AC

交x轴于点E,是否存在点F，使得以A、C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

77

【答案】⑴A（-2,0）,8（6,0）,C（0,-6）；（2）加=3,.依C面积的最大值色；

⑶存在，（2+25,6）或（2-25,6）或（4,-6）.

【分析】（1）令，=0得到-2X-6=0,求出x即可求得点A和点B的坐标，令x=0,

则y=-6即可求点C的坐标；

（2）过P作PQ〃y轴交BC于Q,先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于

直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，P8C的面积最大,

利用三角形面积公式求解；（3）根据点F是抛物线上的动点，作正〃AC交x轴于点E得

到AECF,设尸当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点

OC=6,利用平行四边形的性质来列出方程求解.

⑴解：令y=o,贝ijgx2-2x-6=0,

解得工=-2,々=6,A（—2,0）,3（6,0）,

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令x=0,则y=-6,C（0,-6）；

(2)解：过P作PQ〃y轴交BC于Q,如下图.

设直线BC为旷=辰+匕(％力0),将3(6,0)、C(0,-6)代入得

0=6k+hk=1

I，解得-6'...直线BC为一一6,

根据三角形的面积,当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大,

此时，PBC的面积最大,

P（?n,n）（0<m<6）,/.P\m,—m2-2m-6,。的m-6),

I2

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PQ=（相一6）一（；勿，2-2/W-6j=一；（机一3『,

1Q

*/--<0,.,・/%=3时，PQ最大为5，

iio27?7

ffiSPfiC=-P2-|xc-xfl|=-x|x6=y,PBC的面积最大为奇；

（3）解：存在•点?是抛物线上的动点，作正〃AC交x轴于点E,如下图.

AECF,设尸.

当点F在x轴下方时，♦.•<?（（）,-6）,即OC=6,.-2a-6=-6,

解得4=0（舍去），4=4,.•.*4,-6）.

当点F在x轴的上方时，令y=6,则#-2a-6=6,

解得q=2+2股,4=2-2币,•••网2+2。,6）或（2-2疗,6）.

综上所述，满足条件的点F的坐标为（2+2夕,6）或（4,-6）或（2-2万,6）.

【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的

坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等.

4.（2022•贵州黔东南）如图，抛物线y=ax：2+2x+c的对称轴是直线x=l,与x轴交于点

A,«（3,0）,与y轴交于点C,连接AC.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点力作轴，垂足为点M,DM

交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角

形.若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

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(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F,使以点8、C、E、F

为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

⑵存在这样的点N(2,1)或(6-石+3)或(|,£|,使得以A,C,N为顶点的三角形

是等腰三角形

或I"

(3)存在点尸的坐标为(4,1)或(-2,1)或~

2

【分析】(1)根据抛物线的对称轴是直线x=l,可得a=T,再把点3(3,0)代入，即可求

解；

(2)先求出AC?=OT+oc2=10,设点N(m,-m+3),可得AN?=2加_•+]o,CN2=2M,

再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解；

(3)设点E(1,n),点F(s,t),然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线

时，即可求解.

⑴解：..•抛物线y=ov2+2x+c的对称轴是直线x=l,

2

/•——=1>解得:a=T,

2a

•••抛物线过点8(3,0),

—9+6+c=0,解得：c—31

抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)解：存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下：

令y=0,则一J?+2X+3=0,

解得：xt=3,x2=-1,

...点A的坐标为(-1,0),

.*.0A=l,

当x=0时,y=3,

...点C的坐标为(0,3),即0C=3,

，AC2=OA?+OC2=10，

设直线BC的解析式为y=kx+b{k*0),

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把点B(3,0),C(0,3)代入得:

3k+b=Ok=-1

b=3，解得:

b=3

二直线BC的解析式为y=-x+3,

设点N(m,-m+3),

.•.MN=-m+3,AM=m+l,

AN2=(—，"+3)一=2m2—4m+10,CN2-nr？+3—3)-=2m2,

当AC=AN时,2病一4加+10=1。,

解得：m=2或0(舍去)，

.••此时点N(2,1)；

当AC=CN时,2m2=10,

解得：加=石或-石(舍去)，

此时点N(6-石+3}

当AN=CN时，2加2=2M—+10,

解得：加=(,

此时点

综上所述，存在这样的点N(2,1)或(石，-6+3)或使得以A,C,N为顶点

的三角形是等腰三角形；

(3)解：存在，理由如下：

•.,点B(3,0),C(0,3),

.".0B=0C,

*"•BC=3-\/2>

设点E(1,n),点F(s,t),

当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B,同样E(F)向右平移3

个单位向下平移3个单位得到点F(E),且BE=CF(CE=BF),如图，

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1+3=5s+3=l

n-3=t或<t-3=n

(l-3)2+n2=?+(/-3)2(l-0)2+(n-3)2=(.v-3)2+(r-0)2

H=4\n=-2

解得：,s=4或＜s

，=1t

，此时点F的坐标为(4,1)或(-2,1)；

当BC为对角线时，BC=EF,且EF与BC的中点重合，如图,

l+s_33+V173-V17

~~2n=------n=------

22

n+t_3

解得：”5=2或，5=2

22t=咨3+历

J(l-S)+(n-r)=3\/2t=------

22

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3+折或63-V17

综上所述，存在点尸的坐标为（4,1）或（-2,1）或椎,

2

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形

的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键.

5.（2022•黑龙江哈尔滨）在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线丫=以2+6经过

点“弓片）’点与y轴交于点C.

⑴求a,b的值;

（2）如图1,点D在该抛物线上，点D的横坐标为-2,过点D向y轴作垂线，垂足为点E.点

P为y轴负半轴上的一个动点，连接。尸、设点P的纵坐标为t,的面积为S,求S关

于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图2,在（2）的条件下，连接Q4,点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H,

连接DF交y轴于点G,点G为。尸的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的

平行线相交于点N,连接CN,PB,延长户B交AN于点M,点R在PM上，连接RN,若

3cp=5GE,ZPMN+ZPDE=2ZCNR,求直线RN的解析式.

a

2

【答案】（1）,

b

2

3

⑵s=F

311

(3)y=-—x+一

24

【分析】（1）将A3)代入抛物线y=/+6中,进行计算即可得;

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（2）由（1）得。卜2,|）,根据OE'y轴得小=2,E（°，|），根据点P的纵坐标为t,

3

得PE=R,即可得；

2

（3）过点C作CKLOV,交NR的延长线于点K,过点K作KT，y轴于点T,根据二次函

数的性质得则℃=；,根据相J_y轴，0£,丫轴得/⑦6="前=90。，

根据点G为。尸的中点得。G=FG,根据AAS得△F"G妾△DEG,得HF=ED=2,

HG=EG=：HE,再运用待定系数法求得直线0A的解析式为y=得出尸（2,记），可

得==再由3cp=5GE得出?（0,1）,N（|,-l）,再运用待定系数法求得直线BP

的解析式为y==5x-l,进而推出PN彳=D芸F，证得APMNsADPE,进而得出

4MNEP

NPMN+NPDE=90°,由ZPMN+NPDE=2NCNR得ZCNR=45°,用AAS可证明

△CKXANCP,求得

K（；,2）,设直线RN的解析式为：y=ex+f,再运用待定系数法即可得.

⑴解:•.•抛物线y=6+b经过41

21=3+卜

~84

3

=­〃+b

84

a=—

2

解得，

b=

I2

⑵解：由（1）得y=g/-g,点D的横坐标为一2

3

.•.点D纵坐标为:

2

DEJLy轴

ADE=2,小。,|）

丁点P的纵坐标为t,

3

・・・PE=——

2

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3

：.S=~DEPE=-x2x卜f+|；

22

(3)解：如图所示，过点C作。KLCN,交NR的延长线于点K,过点K作KT_Ly轴于点T,

lol.1

v--»当％=0时，丁"），

222

OC=—，

2

・.・/Wy轴，OE,y轴,

:.NFHG=NDEG=90。,

•・•点G为。尸的中点，

・•・DG=FG,

在△F7/G和△DEG中，

/FHG=/DEG

<4HGF=Z.DEG

FG=DG

：./XFHG^/XDEG（AAS），

:.HF=ED=2,HG=EG=LHE,

2

521

设直线OA的解析式为：y=kx,将点A（］彳）代入得,

5j21

-K=—,

28

21

解得，k点,

21

・・・直线0A的解析式：y=—x,

2121

当x=2时，产/2=运

,崂，"呜)，

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.诋2133

1025

1133

AGE=-//£=-x-=—

22510

3cp=5GE,

5531

・・・CP=-GE=-x—=A,

33102

：.P(O,D,

・・・4V〃y轴，PN〃1轴,

APN=-

2

・•・哈-(7)=|,

设直线BP的解析式为y=，nr+〃，则

13

—m+n=——

28,

/?=—1

5

"-

得

解=4

7

•・•直线BP的解析式为：尸+7,

当x=■时，y=-x--1=1Z

2428

517

・••点M的坐标为6,?),

28

1725

：.MN=--(-1)=—f

88

9DE24

P7V24—

=5F=7»EPJ5,

MN幺5

T2

.PNDE

••诉一百’

■:乙PNM=ZT>EP=90°,

・・・MMNsADPE,

:.NPMN=/DPE,

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"?ZDPE+ZPDE=90o,

J/PMN+/PDE=90°,

■:4PMN+NPDE=2Z.CNR

：.ZCNR=45°f

:CK工CN,

：.NNCK=90。，

・・・ACNK是等腰直角三角形，

ACK=CN,

ZCTK=ANPC=90°f

：.NKCT+NCKT=90°,

ZNCP+ZKCT=90。,

:.4CKT=NNCP,

在△CKT和，NCP中，

ZCTK=4NPC

<NCKT=NNCP

CK=NC

:,ACKT"4NCP(AAS),

:.CT=PN=',KT=CP=~,

22

OT=CT-OC=2,

吗,2),

设直线RN的解析式为：y=ex+f,将点K(12),得,

22

311

:.直线RN的解析式为：y=~x+^.

24

【点睛】本题考查了二次函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定于性质，等腰

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直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，能够添加辅助线构造相似三角形

或全等三角形.

6.(2022•黑龙江齐齐哈尔)如图，某一次函数与二次函数丫=炉+,»+〃的图象交点为A

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；

(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE，x轴，交线段AB于点E,

求线段DE长度的最大值；

(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内

一点，若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.

【答案】⑴y=x2-2x-3

(2)(1,2)

⑶等

4

J_5

⑷州(1,1)”式-1,2),2(1,4),乂

212

【分析】(1)将A(-1,0),B(4,5)代入y=Y+，加+〃得到关于m,n的二元一次方

程组求解即可;

(2)抛物线的对称轴为x=l,求出直线AB与对称轴的交点即可求解;

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(3)设。(d,/-2d-3),则E(d,d+1),贝lj

OE=3+l)-(建一28-3)=-储+31+4(-1<〃<4),根据二次函数的性质求解即可;

(4)根据题意画出图形，分情况求解即可.

,f1—/??+77=0

(1)解：将A(-1,0),B(4,5)代入y=x+3+雇得，\,

[16+4机+〃=5

[m=—2

解这个方程组得，，

[n=-3

•.・抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；

⑵解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+bf

把点A(-1,0),B(4,5)代入尸

得|必+6=5'

[k=\

解得，,,

S=1

・•・直线AB的解析式为：y=x+l,

由(1)知抛物线y=--2x-3的对称轴为》=-三二=1,

2x1

点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC>AB,

•••当点C在AB上时，AC+8C最小，

把x=l代入y=x+l,得y=2,

二点C的坐标为(1,2)；

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⑶解：如图，由(2)知直线AB的解析式为y=x+l

设_24-3),则E(4,d+1),

则0£=3+1)_(12_24_3)=_废+3"+纵_]<[<4),

当d3时，DE有最大值为25夕，

24

(4)解：如图，直线AB的解析式为：y=x+l,

直线与y轴的交点为D(0,1),OD=]

4-1,0),OA=\

OA=OD,ZDAO=ZADO=45°,

若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论:

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①过点C作c%ly轴于点则ADMC为等腰直角三角形，过点C作,则

四边形CMQM为正方形，

依题意，知D与F重合，点M的坐标为（1，1）;

②以Mi为中心分别作点F,点C点的对称点知2，生，连接尸，则四边形

③延长乂％到N,使N，%=%C,作N/LA8于点K，则四边形知2凡片C是正方形，则

M的坐标为（1,4）；

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廿/

④取M2c的中点N4,尸C的中点尸2,则MtF2CN4为正方形，则M的坐标为

4/

]_5

综上所述，点N的坐标为:%(1,1),%(-1,2),华(1,4),刈

2,2

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方

形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键.

★变式训练★深挖数学思想，揭示内涵实质

1.(2022•湖北武汉)抛物线y=V-2x-3交x轴于A,8两点(A在8的左边)，C是第

一象限抛物线上一点，直线AC交丁轴于点P.

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（D直接写出A,5两点的坐标；

（2）如图（1）,当OP=OA时，在抛物线上存在点。（异于点B）,使B,。两点到AC的

距离相等，求出所有满足条件的点。的横坐标；

（3）如图（2）,直线交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为加.求

器的值（用含〃，的式子表示）.

【答案】⑴A（-1,O）,5（3,0）；

⑵0,三叵或土”

22

⑶;〃?.

【分析】（1）令d-2x-3=0求出x的值即可知道A,8两点的坐标；

（2）求出直线AC的解析式为），=x+1,分情况讨论:①若点。在4C下方时，②若点。在AC

上方时；

=kx+b

（3）设点E的横坐标为〃.过点。的直线解析式为y="+联立’y2。,，得

y=x-2x-3

x2-a+k）x-3-b=0.利用A,B点的横坐标求出加=3+6,〃=—1-《，设直线CE的解

析式为丁=川+4,求出〃?〃=-3-4,进一步求出OP=。，尸。=；/+/,即可求出答案.

⑴解:令2x-3=0,解得：玉=-1,X2=3,

/.A(-l,0),8(3,0).

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（2）解：VOP=OA=\,

：.P（O,1）,

直线AC的解析式为y=x+i.

①若点。在4c下方时，

过点B作AC的平行线与抛物线的交点即为R.

,/3(3,0),BD、//AC,

：.BR的解析式为y=x-3.

y=x-3

联立

y-x2-2x-3,

解得，西=0,X2=3（舍）.

.•.点2的横坐标为0.

②若点。在AC上方时，点D、（0,-3）关于点p的对称点为G（O,5）.

过点G作AC的平行线I,则/与抛物线的交点即为符合条件的点D.

直线/的解析式为y=x+5.

y=x+5

联立得X2-3》-8=0,

y=x2-2x-3

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解得，3^,%=豆巫.

122

...点2，2的横坐标分别为主巫，拉曳.

22

...符合条件的点。的横坐标为：0,3-E或3+叵.

22

(3)解：设点E的横坐标为〃.过点P的直线解析式为y=履+》.

fy=kx+h,.

联立｛.),得元2一(2+2)工一3-b=O.

[y=x-2x-3

设A，*2是方程—一(2+k)x—3—人=0两根，贝！]%工2=一3—6.(*)

/.X4xc=XRXE=-3-b.

Vx4=-1,

/.xc=3+Z?,

/%=3+Z?.

,•*Xg=3,

••x・E=-\--3，

.•.I上

3

设直线CE的解析式为y=px+%

同(*)得m几=-3-q,

/.q=-mn-3.

・,.OF=-h2+2b.

3

•：OP=b,

1

・・・FP=-b29+b.

3

.FP11c、।1

..----=-h+lt=—(m-3)+\=—m.

OP333

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与X轴交点坐标,

(1)的

关键是令f-2x-3=0进行求解；(2)的关键是分点。在AC下方和在AC上方时两种情况

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讨论：(3)的关键是求出OP,FP.

2.(2022•四川达州)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y="2+区+2的图象经

过点4一1,0),8(3,0),与y轴交于点C.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接BC,在该二次函数图象上是否存在点P,使NPC3=NAfiC?若存在，请求出点P

的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)如图2,直线1为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数

图象上一动点，过点Q作直线AQ,BQ分别交直线1于点M,N,在点Q的运动过程中，

EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)午=亨+料2

⑵/、n/%c4或2%8，-2元86、|

⑶与

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据题意，分情况讨论，①过点C作关于x=l的对称点P,即可求P的坐标，②x轴

上取一点。，使得DC=。8,则/DCB=NABC,设。(d,0),根据勾股定理求得C。,8。，

建列方程，解方程求解即可；

(3)设。1,一|/+++2),过点2作轴于点F,则尸。,0),证明

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.AME^AQF,BNES.BQF,根据相似三角形的性质列出比例式求得EM+硒，即可求

解.

【解析】⑴解：•.,由二次函数〉=加+法+2,令X=O,则y=2,

.•.C(0,2),

过点4(—1,0),8(3,0),

设二次函数的表达式为y=a(x+l)(x-3)=41-2x—3),

将点C(0,2)代入得，

2=-3。，

2

解得。

(2)二次函数>=如2+瓜+2的图象经过点4-1,0),8(3,0),

抛物线的对称轴为x=l,

①如图，过点C作关于x=l的对称点P,

.-.CP//AB,

:.NPCB=ZABC,

C(0,2),

/.P(2,2),

②x轴上取一点。，使得。C=08,则N£)CB=NABC,设。(",0),

则CD=物+/,BD=3—d，

.­.22+J2=(3-J)2,

解得d=：，

o

即限o),

设直线CD的解析式为>=丘+"

-k+b=O

<6,

b=2

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%=_丝

解得，5,

b=2

・•・直线CD的解析式为y=-1(2x+2,

12个

y=---x+2

5

联立2,4/

y=——x~+—x+2

133

(3)9+硒的值是定值了，

设(21,一§/+§/+2),—1</<3,

过点。作QF，x轴于点尸，则F&0),

第29页共158页

A(-1,O),5(3,0),E(l,O),F(r,O),

AE=BE=2,AF=t+],BF=3-t,

:.ME//QF,NE//QF,

・..AMEsAQ厂,BNEs,BQF,

.MEAENE_BE

,~QF~^\F>'QF~~BF'

口「ME2NE2

即---=---,---=----,

QF1+1QF3-t

22

.\ME=—QF,NE=——QF

Z+13-Zf

:.ME+NE=^j^+-^-^QF,

QF=-g产+gr+2=(-|)x(r+i)(r-3),

.■.ME+NE=(y1j+m)x,|)x(r+l)(f-3)

4LI

=-§[("3)-”1)]

——16

3.

即EM+EN的值是定值?

【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与

判定，掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.(2022•广西贺州)如图，抛物线y=-f+bx+c过点A(-l,0),8(3,0),与y轴交于点西

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(1)求抛物线的解析式;

(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当,PC8是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标;

(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得SABCM=SABCP?若存在,

求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-/+2x+3；

(2)点P坐标为(U)；

⑶存在‘〃『当宁

【分析】(1)把4-L0),以3,0)代入y=-丁+法+,即可的得出抛物线解析式;

(2)依题意可得出即P点在NCOB的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性

质，即可得出P点的坐标;

(2)利用铅垂线ME,即可表达出S&BCM，再由S&BCM=S&BO＞即可列出方程求解.

(1)根据题意，得

0=-(-l)2-fe+c

0=-32+3b+c

b=2

解得

c=3

抛物线解析式为：