2023-2024学年岳阳市13中高一数学上学期入学检测卷附答案解析

2023-2024学年岳阳市13中高一数学上学期入学检测卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列运算正确的是（）

A（26-石）（26+石）=1B.危-巫=26

^\/28}=sin260。+2百=5f

2.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则N1的度数为（）

a--=\/1〃+'=

3.已知。，贝IJ。（）

A.±GB.±3C.土而D.±11

4.世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶

数都可写成两个奇素数之和•这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景

润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另

一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”•我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然

数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数•请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中

任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（）

A.6B.10C.12D.16

5.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

△△XX

A.可回收物B.其他垃圾C.行害垃圾D,厨余垃圾

6.二"C中，若NA：NB：ZC=1.2：3,G为uABC的重心，则面积：G8C面积：△G4C

面积=（）

A.1：2：GB.1：G：2C.2:1：x/3D.1:1:1

7.如图，在平行四边形ABC。中，AD=2,AB=4,NA=30。，以点A为圆心，A。的长为半径画弧

交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是（）

2--3」32

A.3B.3c.3D.3

8.在某种浓度的盐水中加入“一杯水''后，得到新的盐水，它的浓度为20%,又在新盐水中加入与前述“一

33-%

杯水'’的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为3,那么原来盐水的浓度为（）

A.23%B.25%c.30%D.32%

9.一条抛物线丫=以2+云+,的顶点为（4,-11）,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则。、b、c

中为正数的（）

A.只有。B.只有6C.只有。D.只有。和匕

k-\

io.反比例函数,一二与一次函数在同一坐标系中的图象只能是（）

11.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木

棒，拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第〃个图形需要2022根小木棒，则”的值

为（）

第1个图形第2个图形第3个图形

A.252B,253c.336D.337

12.如图所示，己知三角形母为直角三角形，乙8c为圆°切线，C为切点，CA=CD,则

川C和8E面积之比为（）

A.1:3B.1:2C.拒：2D.

2

第II卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知实系数一元二次方程/+如一加=()的两根分别为占应,且旧-切=2,则实数m的值

为.

14.对于实数。，b,定义符号其意义为：当时，而彳力}=。；当"匕时，rmn{a,b}^a.

例如：而11{-2/}=-2,若关于x的函数，=min{3x-1,-x+2},则该函数的最大值为.

15.火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒,

求这列火车的长度为.

16.如图，至。是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋

转60。得到CF.连接AF,EF,DF,则「周长的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.计算：

(K-1)°-^+2cos450+(-)-'

(1)5;

(2)解方程：段-2|="+2.

18.某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A绘画；B.

唱歌；心演讲；D十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了

部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图♦请结合统计图中的信

息，解决下列问题：

课程选择情况的条形统计图课程选择情况的扇形统计图

(1)这次学校抽查的学生人数是;

(2)将条形统计图补充完整；

(3)求扇形统计图中，B课程部分的圆心角的度数；

(4)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报。的学生约有多少人?

3

19.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，

讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散•学生注意

力指标数V随时间N分钟）变化的函数图象如图所示越大表示学生注意力越集中）•当时，图

象是抛物线的一部分，当10^x420和204x440时，图象是线段.

⑴当04x410时，求注意力指标数》与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数

都不低于36.

20.阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示）,

它揭示了（.+与为非负数）展开式的各项系数的规律.

1

I1(a+b)i=a+b

叶

121(a+b)2=aZab+b?

(a+b)3=a，+3a巧+%为+方

133144

14641(a+b)=a+4a'b+6a%?+4ab'+b，

根据上述规律，完成下列问题：

⑴直接写出（"+”=.

（2）9+1）*的展开式中4项的系数是.

（3）利用上述规律求1广的值，写出过程.

21.如图，内接于（°,BD为。的直径，与AC相交于点”，AC的延长线与过点B的直线

相交于点E,且NA=@C.

⑴求证：BE是。的切线;

4

(2)已知CG〃E8,且CG与80,54分别相交于点F,G,若8GBA=48,FG=正,DF=2BF,求

AH的值.

22.在平面直角坐标系中，抛物线kx、2x-3与x轴相交于点A,8(点A在点8的左侧)，与V轴相交

于点C,连接AC.

图1图2

(1)求点3,点°的坐标；

⑵如图1,点“(皿°)在线段08上(点E不与点8重合)，点F在V轴负半轴上，OE=OF,连接转，BF,

EF,设△ACV的面积为耳，厂的面积为邑，S=$+S2,当S取最大值时，求加的值；

⑶如图2,抛物线的顶点为。，连接CD,8C,点P在第一象限的抛物线上，尸。与BC相交于点2,

是否存在点尸，使/PQCnNAC。，若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

1.B

【分析】根据已知条件，结合二次根式的运算法则，以及三角函数的特殊角的取值，即可求解.

【详解】对于A,Q6叫(2』+向=(2折-诉、7,人错误；

对于B,^25-745=575-3x/5=2x/5(B正确；

,28+(----yfl|=—4

对于C,<2>,C错误；

sin2600+2x/3=-+2V3

对于D,4D错误.

故选：B

2.C

【分析】根据平行线的性质，结合三角板的特征进行求解即可.

【详解】如图所示：

因为

所以NFAB=ZFDE=30°

所以4=45。-30。=15。,

故选：C.

5

1

B

3.C

【分析】根据完全平方公式求解即可.

(a+—)2=a2+2+—7=(a——)2+4=7+4=11a+—=±5/n

【详解】因为a矿"，所以“

故选：C

4.A

【分析】根据题意，分析可得有4个符合题意的素数，由列举法可得答案.

【详解】根据题意，在不大于8的自然数中，素数有2、3、5、7,共4个，

则取出2个数都是素数的取法有(2,3),⑵5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)共6种，

故选：A.

5.C

【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义，结合选项即可得解.

【详解】由中心对称图形，轴对称图形的定义可知，选项C符合题意，

其他选项均不符合.

故选：C

6.D

【分析】由重心的性质判断.

【详解】如图所示，延长三条线分别交三角形三边于“，瓦尸三点，由重心的概念知其为各边的中点,

则ZVIB的面积=ABCF的面积，-AG77的面积==8G/的面积，

所以S.ACG=SBCG,同理可证明5GAH=SGBC.

所以△GAB面积：.G3C面积：△G4C面积=1：1：1.

故选：D

7.B

6

【分析】过点。作DFLAB,求出。E,再结合扇形面积公式，即可求解.

【详解】解：过点。作。如图所示：

rip_J_40——1

ZA=30°,贝ij~2-2-,AE=AD=2CD=AB=4

C1八八，Cn30TCx2271

S.=­x(2+4)xl=3S2=-------=—

则梯形AECD的面积2,扇形ADE的面积3603

兀

5=S,-S,=3——

所以阴影部分面积为-3

故选：B.

8.B

【分析】根据溶液x浓度=溶质，可得到两个方程，解方程组即可.

【详解】解：设原盐水溶液为。克，其中含纯盐〃2克，后加入“一杯水”为X克,

(〃+x)x20%=m

.1

(a+x+x)x33-%=m+x

依题意得：I3

解得a=4"?,

—X100%=—xl(X)%=25%

故原盐水的浓度为«4机

故选：B.

9.A

【分析】根据有两根和顶点坐标的符号确定〃，方的符号，再根据韦达定理确定。的符号.

【详解】解：因为与X轴有两个交点所以62+法+c=°时，A>0,即"一4ac>0,

设两根为士仔,

-A=4>0

2a

^£^=-ii<o

因为顶点为（4一11）,所以4〃,所以。>0,b<°.

XX,=—<0e-

又因为与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，所以一a,因为“〉0,所以c,<0.

故选：A

10.B

7

【分析】利用反比例函数与一次函数的性质，对k分类讨论，判断符合的选项.

k-l

【详解】当%>1时，％T>O,反比例函数）—一丁在9+8）上应有y>0,且单调递减，

而一次函数，=&（x+l泌的斜率大于1,故此时，A、B、C、D都不可能.

A-1

当0<女<1时，a-1<0,反比例函数）'一三在（°，+8）上应有"°,且单调递增，

而一次函数y=&（x+D（火ho#h1）的斜率&满足o<%<1,故只有B成立.

k-\

当A<0时:反比例函数."丁在（°-8）上应有丫<°,且单调递增，

而一次函数y=M"+l口的斜率&满足々<T,故此时，A、B、C、D都不可能，

故选：B.

11.B

【分析】拼第1个图形需要6xl+2x0=6根小木棒，拼第2个图形需要6x2+2x1=14根小木棒，拼第3个

图形需要6x3+2x2=22根小木棒，从而拼第"个图形需要6〃+2x（〃-1）=2022根小木棒，由此能求出

【详解】解：拼第1个图形需要6xl+2x0=6根小木棒，

拼第2个图形需要6x2+2xl=14根小木棒，

拼第3个图形需要6x3+2x2=22根小木棒，

则拼第"个图形需要6〃+2、5-1）=2022根小木棒，解得”=253.

故选：B.

12.B

SABC_5M

【分析】连接OC,过点B作于M.利用几何关系证明出得到SgEC,即

可求解.

【详解】如图，连接OC,过点B作及0_LAE于M.

VBC是。O的切线,OC为半径,，即ZDCE=90°=NOCD+NBCD.

丁DE是。O的宜径「•NDCE=90°,ZDC4=180-90°=90°=/BCD+ZBC4,ZOCD=/BCA.

OC=OD、ZOCD=ZODC,?.ZODC=NBCA.

8

ZABE=90°,ZA+ZE=90°=ZE+40DC,ZA=ZODC,/.ZA=ZBCA,BA=BC

AM=MC=-AC

又：BM±AC,2

..ZA=NCDE,ZAMB=ZDCE=90°.DEC

丝1

c-ACBM1

.ABC=2==-

AM1BMs-TZ-ZTE2

------=-=------->ME-CD-EC

・,.DC2EC.・.2

故选：B.

13.±272-2

【分析】利用韦达定理求出X+々，中2，再根据%-止住+%）-4书即可得解.

【详解】由题意可得A="「+4m＞°,解得加＞0或团＜-4,

x]+x2=—m,x]x2=-m

则|占一到=,（百+七）2-452=J〃'+4〃?=2,解得加=±2&-2,

故答案为：及及-2.

g

14.4

【分析】根据符号mi*1.，耳的意义，结合函数图像求解即可.

【详解】在平面直角坐标系中画出^=3》-1和y=-x+2的图像，根据符号min｛。,"的意义可知,

所以函数最大值为4.

5

故答案为：4.

15.94米

【分析】根据速度、时间、路程之间的关系进行求解即可.

【详解】解：火车以原来的速度通过162米长的铁桥，要用16x2=32秒,

火车原来的速度为（162一82）+（32-22）=80+10=8米/秒，

火车的长度为8x22-82=176-82=94米.

故答案为：94米.

16.3+3*7^用+3

【分析】由已知条件可得CBE三VC4F（SAS）1则得ZCAF=/CBE=30,作点C关于四的对称点C,

连接OC',设CC'交所于点°,则当°，EC'三点共线时，尸C+FD取得最小值，再结合已知条件可求

出，CO尸周长的最小值

【详解】点E为高3。上的动点.

将CE绕点C顺时针旋转60得到CF,且一ABC是边长为6的等边三角形,

:.CE=CF,NECF=NBCA=60,BC=AC,:./BCE=ZACF

,CBE合CAF(SAS),ZCAF=ZCBE=30

・・•点/在射线加上运动，

如图，作点C关于质的对称点C',连接。C',

设CC'交.于点。，则ZAOC=90,

”,CO=-AC=3

在Rt认"中，ZC4O=30,则2,

则当EC'三点共线时，FC+FD取得最小值，

即FC+FD=F'C+F'D=C'D,

CC'=AC=6,NACO=ZC'CD,CO=CDf

.ACO=CCD(SAS),/.ZCDC=ZAOC=90

10

在cCQC中，CD=dcC2=3叫

CDF周长的最小值为CD+FC+FD=CD+CD=3+36

故答案为：3+36

17.(1)3+0(2)。或2

【分析】(1)根据零次幕的性质、算术平方根的意义、特殊角的余弦值、负整数幕的运算性质进行求解

即可；

(2)根据绝对值的性质分类讨论进行求解即可.

（7T-1）°-A/9+2cos45°+（-）-'

【详解】（1）5

=l-3+2x—+5

2

=3+5/2.

x>-

(2)当3时，

3x—2=x+2,解得*=2,故x=2,

2

x<一

当3时，

2—3x=x+2,解得x=0,故x=0,

综上所述，原方程的解为。或2.

18.(1)4。人⑵图见解析(3)126°(4)10。人

【分析】由条形统计图和扇形统计图的概念与频率公式求解.

【详解】(1)12.30%=40(人)，

这次学校抽查的学生人数是40人；

(2)样本中选择C课程的人数为：40-12-14-4=10(人)，

补全条形统计图如下：

11

360°x—=126°

（3）40,

即B课程部分的圆心角的度数为126。；

4

lOOOx—=100（、

（4）40人），

即该校1000名学生中报。的大约有100人.

124M

y=——x2+—x+20

19.（1）55,04x410；⑵可以.

【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出注意力指标数y与时间》的函数关系式.

（2）根据（1）中的函数解析式，求出学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36的x值，即可得

到结论.

【详解】（1）当04x41。时，设抛物线的函数关系式为＞'=江+法+c,而其图象经过点（°，20）,（5,39）,

（10,48）

c=20

<25〃+58+c=39।24

因此[100a+10"c=48,解得"一口"=c=20；

y=--X2+—X+20

所以注意力指标数与时间X的函数关系式为.55,0＜x＜10.

（2）观察图象知，当1。＜》＜20时，y=48,

当204x440时，设"履+8,显然函数图象过点（20,48）,（40,20）,

[20k+b=4S77

即有储心+6=20,解得"=一丁"=76,则当204x440时，）'="

当OWxWlO时，令y=36,得55,解得x=4,

74

“QU36=——x+76x=28-

当20W40时，令丫=36,得5，解得7,

44

28一一4=24->24

显然有77

所以老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.

5

20.（1）«+5a%+10。方+io//+5^4（2）8（3）答案见解析

【分析】（1）由杨辉三角规律求解，

（2）由二项式定理求解，

（3）转化为（1°+D'展开后求解.

12

【详解】（1）由杨辉三角图可得3+份'=/+5a%+l°a%2+l0a6'+5a//+，'

（2）由杨辉三角的性质可得3+4的展开式二项式系数可知展开式中。项的系数为C：=8；

（3）115=（10+1）5=1O51O+5X1O41,+1OX1O312+1OX1O213+5X1O'14+1O°15

=100000+50000+10000+1000+50+1=161051

8-

21.⑴证明见解析（2）3

【分析】（1）欲证明BE是：。的切线，只需证明/£»£>=90。.

BCAB

⑵由JlBCs—C8G,得BG-BC,根据条件即可求出BC,再由48尸CsABCQ,得BC?=BFBD,

根据条件即可求出所，CF,CG,GB,再通过计算发现CG=AG,进而可以证明C”=C8,求出AC

即可得出答案.

【详解】（1）连接C。，如图所示：

Q8。是直径，

.•.ZBCD=9O。，g[jZ£>+ZCB£>=90°,

Z£）=ZA,NEBC=ZA,

；.ZEBC+/CBD=90。,

:・BE工BD,

二•BE是。的切线.

（2）.CGI!EB,

；,/EBC=NBCG,

・•.ZBCG=ZA9

NABC=NCBG,

ABCs_CBG,

,BCAB

2

~BG~~BC,gpBC=BGBAf

13

又BGBA=48,

/.BC=4x/3,

CG//EB,

:.CFLBDf

4BFCs/\BCD,

..BC?=BF•BD,

DF=2BF,

.,.BF=4,

在RtZJSFC中，CF^^BC--FB1=4^,

.\CG=CF+FG=542,

在RtZ\BFG中，BGVBF+FG/=3及,

8GzM=48,

BA=8及，即AG=5五,

:.CG=AG,

；.ZA=ZACG=NBCG,NCFH=NCFB=90。,

:"CHF=NCBF,

:.CH=CB=46,

_ABCs&CBG,

ACBC11cBCCG20>/3

CGBG,即BG3,

AH=AC-CH=—

3.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质.

22.（1）（二°）,（°，-3）⑵]⑶存在，（4,5）

【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点8,C的坐标；

（2）由点A,B,C的坐标可得出OA,0B,℃的长度，由点E的坐标及OE=0F,可得出。「，BE,

CF的长，利用三角形的面积计算公式，即可找出S关于加的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可

找出当S取最大值时用的值；

（3）存在，设点户的坐标为（"'"一2"一3）,连接B。，过点Q作轴于点加，过点。作DV〃x轴,

过点P作PN〃y轴交DN于点N,通过角的计算，可找出/O