第27讲 圆锥曲线上四点共圆问题-2023届新高考数学大一轮复习讲义

第27讲圆锥曲线上四点共圆问题

一、问题综述

四点共圆问题本属于平面几何内容，是数学竞赛中的高频考点，近年来，圆锥曲线中的四点共圆问题也频繁

出现在高考试题中.这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起，重点考查数学运算能力和推理论证能

力，由于问题综合性强，运算量打，大多考生望而生畏，或者在计算时半途而废.

解决四点共圆问题，主要涉及的知识有（1）由圆的定义，利用圆心到圆上各点的距离相等；（2）利用相交

弦定理（3）利用圆的弦心距d,半弦长和和半径构成直角三角形（4）利用直径所对的圆周角为直角，既可

以用勾股定理，也可以用斜率方法。当然，如果利用曲线系方程或者参数方程，则可减少计算量，甚至起到事

半功倍的效果.

下面先用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明：

圆锥曲线上四点共圆定理1：

若两条直线y=+&（;=1,2）与圆锥曲线ax?+6），+cx+"y+c=O卜/工6）有四个交点，则四个交点共圆的充要

条件是匕+&=0

证明：两直线组成的曲线方程为化x-y+4）（&x-y+d）=0,则过四个交点的曲线方程可设为

2

（kyX-y+b^iji^x-y+b2）+A,{cvC+by+cx+dy+e^=G①

必要性：若四点共圆，则方程①表示圆，那么①式左边展开式中盯项的系数为零，即有人+为=（）.

充分性：当勺+&=0时，令①式左边展开式中Vy2项的系数相等，得"[+助=1+劝，联立解得&=—%,

兀=皿，将其代入①式，整理得f+y2+c%+小y+e，=o②

a-b

下面参数方程给出圆锥曲线上四点共圆的另一个充要条件的统一证明：

圆锥曲线上四点共圆定理2：

若A、B、C,。为有心圆锥曲线，加2+〃丁=1（，"#"）上四个不同的点，且直线赫与CD交于点E,与CD的

倾斜角分别为外尸，则A、B、C、。四点共圆的充要条件是

证明：设£（%,%）,则直线4?参数方程为F=%+'c°sa（f为参数），代入加+江=1

[y=yQ+Esina

2

整理得（/ncos?a+nsina^r+2（/nr0cosa+nyQsina）t+{nvQ+ny^-1）=0

则|刚阳=*=叫+加二,同理得因|E*叫：极二

mcos~a+nsin-amcos~p+p

因为A、B、a。四点共圆的充要条件是|£4|怛3|=但。花胃

所以"2cos2a+nsin2a=zncos2（3+nsin20

即加+（及一/H）sin2a=m+^n-/w）sin2P

因为所以sin?a=sin",又。，/《。，乃），所以sina=sin/?

而直线A8与CZ）相交，所以aw力，由sina=sin万得a+£=i

综上所述，A、B、C、。四点共圆的充要条件是夕+/=乃，

当直线A8与8斜率均存在时，即直线AB与CD斜率互为相反数.

利用上述定理，则在选填中可以“秒杀”圆锥曲线上四点共圆的高考难题.下面不加证明地给出以下结论：

结论1已知抛物线C：V=2内（p>0）的焦点为点F,过点F的直线/与C相交于A5两点，若的垂直平

分线/'与C相交于M,N两点，贝IJA、/、B、N四点在同一圆上，则/的方程为x-y-5=O或x+y-^=O

结论2若A8是标准圆锥曲线上的两点，线段的垂直平分线与该圆锥曲线相交于C、O两点，则

A、B、C、。两点，则A、B、C,£>四点共圆的充要条件是砥0=1或砥&=-1

结论3若A、C、B、。是标准圆锥曲线上的顺次四点，则A、C、B、。四点共圆的充要条件是四边形AC8D的

两组对边、两条对角线所在的三对直线中直线中一对直线的倾斜角互补.

二、典例精析

例1.（2014全国大纲卷文数22理数21）已知抛物线。：丫2=22*（0>0）的焦点为尸，直线y=4与y轴的交点

为P,与C的交点为Q,且|QF|=jpQ|.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过尸的直线/与C相交于A,8两点，若的垂直平分线/'与C相交于M,N两点，且四点在

同一个圆上，求直线/的方程.

Q

解析：⑴设Q（%,4）,代入丁=2px（p>0）中得/=—,

P

所以=\QF\=P+Xo=P+l,由题设得“+§=解得p=-2（舍去）或p=2

p22p2P4P

所以C的方程为V=4x.

（2）解法一：通法

依题意知直线/与坐标轴不垂直，故可设直线I的方程为x=加），+1,0）代入V=4x中得9-4冲-4=0.

-42

设A（X1,y）,B（x2,y2）,则y,+y2=4m,弘必二•故AB的中点为D（2m,

|4叫=Jl+n721yl-%|=川+/+yj-4yM=4（/+i）

又/'的斜率为TH,且『过AB的中点为£>（2病+1,2旭>故直线/'的方程为：x=-—y+2m2+3,

将上式代入y?=4x中，并整理得y?4—y—4（2m2+3）=0

4

设〃（工3，%），可（工4，乂），则以+M=---，y3y4=T（2加2+3）

m

（?.?A,Ii-,,4（疝+1）/+1

故MN的中点为七信+2疗+3,—',|MN|=，1+3为-”|二二----%-------.

由于MN垂直平分X5,故AMB,N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|=g|MN|,从而

如B「+|时=轲时,即4"+1Y+"+£|2+信+2尸（"+弁2+1）

化简得加2一1=0,

解得帆=1或帆=-1,所以所求直线/的方程为x-y-l=O或x+y-l=O.

解法二：曲线系方程

设点A（S）,8（x,,y,）,直线/与「的交点为P（〃?,〃），贝#:='，两式相减整理得

£=也

且二&=」_,即&=2,从而号=一2

"%%+、2〃2

直线/的方程为丫=：（工-1）,直线r的方程为y=-%x-M+〃，从而过AM,民N四点的曲线系方程为

2

y-4x+2|j?--(x-1)||y+^(x-w)-n=0

n

上述方程表示圆，则Y,尸的系数相等且孙的系数为零

1+2=—2

则,助22，得力二一一，〃=±2，所求直线/的方程为x-y-1=0或x+y-l=0.

—=—2

2n

解法三：参数方程

设点尸小,为）,直线/的倾斜角为a,则直线/的参数方程为[x=">+'c°sa（f为参数）

[y=y0+ts\na

2

代入抛物线方程y=4x,整理得卜in?a）/+^2yQsina-4coscr）r+-4x0=0

设A,8两点对应的参数分别为乙名，则\PA\-\PB\=\tttA=某一4玉）

sin**a

由于/'是A3的垂直平分线，则/'的倾斜角为1+a,则点M,N对称的参数分别为如〃，则

|尸叫|叫=也|=

cos2a

/一4%

因为AM,8,N四点共圆，所以由相交弦定理得|尸A"P8|=|尸即

）二?cos2a

解得tana=±l,所以/的方程为y=±（x-l）

即直线I的方程为工-y-1=0或x+y-1=0.

【方法感悟】解法一中，MN的中点E就是A、M.B、N四点所在圆的圆心，故可将四点共圆的条件转化为圆

心E到四点的距离相等，从而得到|A目=忸4=g|MN|,进而把问题转化为先求线段A3的中点。、线段MN的

中点E的坐标以及|AB|和|MN|,这是解析几何中的常规问题，通常是联立方程组后结合韦达定理来处理，但计

算量较大.

解法二利用曲线系，使得计算量大大地简化.利用曲线系方程解决四点共圆问题的步骤如下：①找出两条直

线，则两条直线上的四个点在某条曲线上.②找出过这四个点的曲线构造等式，③通过已知条件对比某些项的系

数，从而求解出未知数.

解法三利用参数方程，并结合相交弦定理，让人耳目一新.

例2（武汉市2016届高中毕业生二月调研测试理数12题）设直线y=3x-2与椭圆-总+，=1交于A3两点,

过点4,8的圆与「交于另外两点C,。，则直线CO的斜率&等于（）

A.--B.-3C.-D.-2

32

解析：由定理知砥8+g。=0,故选B.

例3（2016四川文数21）已知椭圆E：「+5=1（。＞人＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三

ab-

个顶点，点尸（G,；）在椭圆E上.

（1）求椭圆£的方程；

（H）设不过原点O且斜率为1的直线/与椭圆E交于不同的两点A,B,线段4?的中点为M,直线与椭

2

圆E交于C,D,证明：4HM

1

■y2—

解析：（I）由已知，a=2b,又椭圆三+京•=l（a＞b〉0）过点P（6,g）,故白+兴=1,解得82=1.

2

所以椭圆£的方程是J+y2=i.

4

（H）解法一：常规方法

设直线I的方程为y=QX+皿加工0),,B(x2,y2)

o

Xi

---b(y2=1

由方程组|4联立得/+23+2/-2=0①

1

V=­X+77?

「2

方程①的判别式为△=4(2->)，由△>(),即2-加>0,解得-^vmv血

2

由①得+x2=-2m,=2m—2

所以M点坐标为,机葭,直线OM方程为y=-;x

222

-x2)+(j(-y2)]=-^[(x,+x2)-4X[X2]

lo

=—(4/n2-4(2w2-2)]=-(2-m2).

164

所以4HM@=|阿•.

解法二：同解法一，求出直线OM方程为y=-gx

则易知直线AB,CD的斜率互为相反数，由定理知A,B,C,D四点共圆,

再由相交弦定理得|加4卜阿8|=四4四£>|

【方法感悟】(I)由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得。=»,椭圆的标准方程中

可减少一个参数，再利用P(6」)在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；(II)解法一：首先

2

设出直线/方程为y=gx+w,同时设交点A&,%),8(%,%)，把/方程与椭圆方程联立后消去y得x的二次方

程，利用根与系数关系，得玉+x2,xxx2,由|A/A|-|A/B|求得(用机表示)，由OM方程y=-gx

具体地得出C,£>坐标，也可计算出|〃。卜|皿|,从而证得相等.解法二：利用圆锥曲线上四点共圆的充要条件,

求出QW方程后，知直线A3,8的斜率互为相反数，于是ARC。四点共圆，再由相交弦定理得

|A//4|-|MB|=|MC|-|M£)|,这样减少了计算量。

例4.(2011全国大纲卷理21)已知O为坐标原点，F为椭圆C：=［在丁轴正半轴上的焦点，过p且

_ULILILU1UUU1

斜率为的直线/与。交与A、3两点，点产满足。4+。3+。尸=0.

(I)证明：点P在C上；

(II)设点尸关于点O的对称点为Q,证明：4、尸、B、。四点在同一圆上.

2

【解析】⑴F(0,1),/的方程为广-后+1,代入f+《=1并化简得

4X2-2A/2X-1=0.

设44凹),3。2，%)，尸(七，%)，则用=与述，*2=乌远，

44

四厂

%+%=3，y+必=一，2(玉+%2)+2=1,

6

由题意得刍=—(%+x2)=..-,必=—()1+%)=-1

所以点p的坐标为

2

经验证点P的坐标满足方程f+二=1,故点P在椭圆C上

k27乙2

(II)解法一：

由尸和题设知，Qpf'1'PQ的垂直平分线4的方程为

啦

V=-----X.①

2

设A3的中点为M,则M,AB的垂直平分线4的方程为

y=JiX+-.②

-24

由①、②得4、，2的交点为.

88

2

1A8|=Jl+(-V2)gx2_玉|=4二，

|NA|=7lAM|2+1MN|2=,

8

故|NP|=|N4|,

又INPRNQI,\NA\=\NB\,

所以|24|=|NP|=|N3h|NQ|,

由此知A、P、B、0四点在以N为圆心，N4为半径的圆上.

>1-（-1）

x「（一专）%一（一争

（II）解法二:tan/APB="像-

1+kk/）1-（-1）%-（-1）

PAPB1+^7F

西一（-彳）々-（一彳）

________3（_一-）_______4（x,-%,）

--372\~9~-3-

3中2---/（XI+x2）+2

同理

（占一々）4（々一%）

3-

+&）+/

所以NAPB,NAQB互补，

因此A、P、B、。四点在同一圆上.

解法三：由（I）知道P-亭，-1］，因为尸、°、。三点共线，易求得直线PQ的方程为y=又直线AB的

方程为》=-。+1,两直线斜率互为相反数，由定理知A、P、B、。四点在同一圆上.

【方法感悟】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度.方程联立利用韦达定理是解决这类

问题的基本思路，注意把。A+。B+。尸=O.用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵

坐标也用A、8两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上：

（II）此问题证明有两种思路；思路一：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂

直平分线的交点找出圆心N,然后证明N到四个点A、P、B、。的距离相等即可.

思路二：关键是证明NAP8,N4Q8互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用到角

公式.

思路三：运用关于圆锥曲线上四点共圆的充要条件的定理.

三.巩固练习

22

1.（2018届武昌5月调研理数12）已知过椭圆£：上+汇=1的左焦点厂的直线/与椭圆交于A、B两点，线

43

段A5的垂直平分线交椭圆于G。两点，若AC_L4D,则直线/的斜率为（）

A.立或-及B.1或-1