人教版七年级数学下册同步精讲精练专题期中复习压轴题训练(第五、六、七章)(原卷版+解析)

专题七年级下册数学期中复习压轴题训练（第五、六、七章）第五章相交线与平行线第五章相交线与平行线1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．2．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．3．（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）5．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．6．【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝°；【变式拓展】小明继续探究：（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．7．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．8．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，所以AM∥（）．所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（）．所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．求证：∠DEB＝∠DBE；（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．9．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．10．（2022春•定远县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．11．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．12．（2021春•梁溪区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．13．（2022春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．第六章实数第六章实数1．（2022春•平舆县期中）一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（）A．a+1 B．a2+1 C．﹣a+1 D．a2．如图，在数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是（）A．2−2 B．2−1 C．2−23．（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③4．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③a|a|+b|b|+c|c|=−1；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|A．1 B．2 C．3 D．45．（2022秋•天元区校级期末）实所示，则化简(b−a)2−|c﹣a|+|b﹣c|＝6．（2022春•聊城期末）观察下列三个等式：①2−25=225；②3−310=337．设x、y是有理数，且x，y满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，求x﹣y8．（2021春•濮阳县期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；（2）若38−y和32y−5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+9．（2021秋•虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．10．（2022春•寻乌县期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．11．（2021春•荔湾区校级期中）（1）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．12．小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？13．（2022春•广信区期末）阅读理解．∵4＜5＜∴1＜5∴5−∴5−1的小数部分为5解决问题：已知a是17−3的整数部分，b是17（1）求a，b的值；（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（17）2＝17．14．（2022春•恩施市期末）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−2|+|3﹣a（1）求b的值；（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．15．（2022春•青山区校级月考）我们知道2≈1.414，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则可记为2（1）2+1的整数部分是，小数部分可以表示为（2）已知3+2的小数部分是a，7−3的小数部分为b，那a+b＝（3）已知11的在整数部分为x，11的小数部分为y，求（y−11）x﹣116．（2021春•江津区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[2]＝1．而大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即＜2＞=2−1．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵22＜（7）2＜32；即2＜请解答（1）[11]＝，＜11＞=（2）如果＜5＞=a，[41]＝b，求a+b（3）求[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]的值．17．（2021春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：（1）仿照以上方法计算：[4]=；[26]=（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．第七章平面直角坐标系第七章平面直角坐标系1．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝2．（1）求点B的坐标，并画出△ABC；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知点A（a，0）、B（b，0），且a+4+|b（1）求a、b的值．（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的12？若存在，求出点D3．（2021春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．（1）求点A、B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（4，5）、C（﹣2，﹣1）．（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C，求△ABC的面积；（2）x轴上是否存在点P，使△ACP的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由．y轴上存在点Q，使△ACQ的面积为4吗？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由；（3）如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为y′轴，向上的方向为y′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．5．（2021春•芙蓉区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+b−3=0，|（1）求a，b，c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022春•石嘴山校级期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足4−a+（b﹣3）2（1）填空：①直接写出点C的坐标：C（）；②直接写出三角形AOH的面积．（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上．①用含m，n的式子表示三角形AOH的面积；②求证：4m＝n．（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．7．（2021春•崆峒区期末）在B的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD=23（S△8．如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式a−3+（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（，）、D（，）．（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，∠MCN∠AQC9．（2022春•随县期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0（1）求a，b的值．（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=1②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使S△COM=1（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，∠OPD∠DOE10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=3−b+b−3−1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO11．（2022春•仓山区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（0，a），B（b，a）．且a、b满足（a+b﹣6）2+b−a−2=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接AC，BD，AB，（1）求点C，D的坐标及三角形BCD面积；（2）若点E在y轴负半轴上，连接BE、DE，如图2，请判断∠1、∠2，∠3的数量关系？并说明理由；（3）在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形BMD的面积是三角形BCD面积的54？若存在，请求出点M12．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究∠OCM∠ACN专题七年级下册数学期中复习压轴题训练（第五、六、七章）第五章相交线与平行线第五章相交线与平行线1．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．（1）请写出图中∠EOC的所有的补角；（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数．（3）在（2）的条件下，经过点O在∠EOD内部作射线OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度数．【分析】（1）首先根据垂直定义可得∠AOE＝∠DOF＝90°，然后再证明∠EOD＝∠AOF，根据补角定义可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；（2）根据角平分线定义可得∠POC＝∠POB，再根据条件∠POC：∠EOC＝2：5，可得∠COP的度数，然后即可算出∠BOF的度数；（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，分两种情况：①当OM在AB的上方时，如图1，②当OM在AB的下方时，如图2，根据∠COM，∠AOC和∠AOM的关系列方程可解答．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，∴∠EOA+∠AOD＝∠DOF+∠AOD，即：∠EOD＝∠AOF，∵∠EOC+∠EOD＝180°，∴∠AOF+∠EOC＝180°，∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；（2）∵OP是∠BOC的平分线，∴∠POC＝∠POB，∵∠POC：∠EOC＝2：5，∴∠POC＝90°×2∴∠POB＝20°，∵∠COF＝90°，∴∠BOF＝90°﹣20°﹣20°＝50°；（3）设∠AOM的度数为x，则∠COM＝6x，分两种情况：①当OM在AB的上方时，如图1，∵∠AOC＝∠AOM+∠COM，∴x+6x＝180﹣40，x＝20°，∴∠AOM＝20°，②当OM在AB的下方时，如图2，∠COM﹣∠AOM＝∠AOC，∴6x﹣x＝180﹣40，x＝28°，∴∠AOM＝20°，综上，∠AOM的度数为20°或28°．【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．2．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC的度数，设∠AOE＝2x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）①根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可得结论；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，根据α＝∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE可得结论；当OF在∠BOD的内部时，如图3，根据周角与∠AOF和∠AOE的差可得结论．【解答】解：（1）∵∠AOE=23∠EOC，即∠AOE：∠∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，∴∠AOC＝5x，∵∠AOC＝∠BOD＝75°，∴5x＝75°，解得：x＝15°，则2x＝30°，∴∠AOE＝30°；（2）①∵∠AOE＝30°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，∵OF平分∠BOE，∴∠BOF＝75°，∵∠BOD＝75°，∴∠DOF＝75°+75°＝150°；②分两种情况：当OF在∠BOC的内部时，如图2，∵∠AOF＝120°，∠AOE＝30°，∴α＝∠EOF＝120°﹣30°＝90°，当OF在∠BOD的内部时，如图3，∴α＝360°﹣∠AOF﹣∠AOE＝360°﹣120°﹣30°＝210°，综上所述，α的度数为90°或210°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键，并注意分类讨论的思想．3．（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．【分析】（1）根据互补线解答即可；（2）根据射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，得到∠BOC+∠BOE＝180°，再有等量代换得出∠AOC＝∠BOE，求出∠DOA的度数，再由∠DOE＝180°﹣∠COE求得即可；（3）根据角平分线的定义和补角的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵射线OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵∠AOC+∠COD＝180°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∴射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；（2）∵射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，∴∠BOC+∠BOE＝180°，又∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝∠BOE，∵∠AOC+∠DOA＝180°，且∠DOA＝136°，∴∠AOC＝180°﹣∠DOA＝180°﹣136°＝44°，∴∠BOC＝44°，∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝180°﹣44°﹣44°＝92°，∴∠DOE＝180°﹣∠COE，＝180°﹣92°，＝88°；（3）∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°∵射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，∴∠AOE＝∠EOC，∠BOF＝∠FOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOF+∠FOC+∠AOE+∠EOC＝180°，∵2∠BOF+2∠EOC＝180°，∴∠BOF+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠EOB+∠BOF+∠FOC，∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠FOC＝90°，∴2∠BOF+∠EOB+∠FOC＝90°，∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠BOF＝90°，∴2∠BOF＝∠BOC，∠EOB+∠BOF＝∠EOF，∴∠BOC+∠EOF＝90°，∴∠BOC+∠EOF的度数是为定值，等于90°．【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，正确的找出个角之间的关系是解题的关键．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）【分析】（1）根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE求解．（2）利用角平分线定义得出∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，进而表示出各角求出答案．（3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，则∠COA＝2x，∠BOF＝90°−32x，根据|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，得到方程|2x﹣（90°−32【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC＝76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=12∠BOD∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣38°＝142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝71°﹣38°＝33°．（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOE，∴设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，故∠COA＝2x，∠EOF＝∠COF＝x+36°，则∠AOC+∠COF+∠BOF＝2x+x+36°+36°＝180°，解得：x＝36°，故∠AOC＝72°．（3）设∠BOE＝x，则∠DOE＝x，则∠COA＝2x，∠BOF＝90°−32∵|∠AOC﹣∠BOF|＝α°，∴|2x﹣（90°−32x）|＝解得：x＝（1807）°+27α°或x＝（1807当x＝（1807）°+2∠AOC＝2x＝（3607）°+4∠BOF＝90°−32x＝（3607）°当x＝（1807）°−2∠AOC＝2x＝（3607）°−4∠BOF＝90°−32x＝（3607）°【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．5．（2022秋•沈河区期末）直线AB、CD相交于点O，∠COF＝∠DOF，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，∴OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；∴∠EOF＝45°．故答案为：45°；②平分，理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB=1∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．6．【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝°；【变式拓展】小明继续探究：（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．【分析】（1）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；（2）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，【解答】解：（1）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−=12（a°+90°）−12（2）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB−=12（a°+m°）−12故答案为：m2（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝a°﹣m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOC−=12a°−12（a°﹣②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，∠BOC＝∠AOC＝m°，∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD=12∠AOC+12∠AOB=1③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，由②得，∠BOC＝m°，∠DOE=12∠AOC+12∠AOB=综上所述，∠DOE=m°2或180°【点评】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC＝a°，然后在计算中消掉a．7．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【分析】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；（3）根据平角等于180°求出即可；（4）分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°；故答案为：40°．（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE=12∠∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴5x＝40，∴x＝8，即∠COD＝8°∴∠BOD＝58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t＝140，t＝28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t＝320，t＝64．所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．8．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，所以AM∥（）．所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（）．所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．求证：∠DEB＝∠DBE；（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AM∥BG，再根据平行线的性质即可得结论；（2）过点B作BG∥NC，根据l1∥l2，可得AM∥BG，所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，结合（1）即可进行证明；（3）根据∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，可得∠EBF＝∠DEB，根据BF平分∠CBE，可得∠CBF＝∠EBF，结合（2）可得∠DBC＝3∠FBC，中根据平行线的性质即可得结论．【解答】（1）解：如图①，过点B作BG∥MC，因为l1∥l2，所以AM∥BG（平行于同一条直线的两条直线平行）．所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（两直线平行，内错角相等）．所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．故答案为：BG，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；（2）证明：如图②，过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，所以AM∥BG，所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，由（1）知：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．又∠DBC＝∠BAM，所以∠ABC＝∠DBC+∠BCN．因为∠ABC＝∠ABD+∠DBC．所以∠ABD＝∠BCN，所以∠ABD＝∠CBG，因为BE平分∠ABC．所以∠ABE＝∠EBC，所以∠DBE＝∠EBG，所以∠DEB＝∠DBE；（3）解：∠BAM＝3∠BCN，理由如下：因为∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，所以∠EBF＝∠DEB，因为BF平分∠CBE，所以∠CBF＝∠EBF，由（2）知：∠DEB＝∠DBE，所以∠DBC＝3∠FBC，因为CN∥l1，所以CN∥BF，所以∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，而∠BAM＝∠DBC，所以∠BAM＝3∠BCN．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．9．（2021春•滁州期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠M，∠A与∠C的数量关系．【解答】解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如图3，过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∵∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠M+∠A+∠C＝360°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．10．（2022春•定远县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．11．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE=12（180°﹣∠NQE）=12（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠【解答】解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）如图③，∠NEF=12∠由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣2α，∵∠PQN＝α，∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，∵NE平分∠PNQ，∴∠PNE＝∠QNE，∵QE∥PN，∴∠QEN＝∠PNE，∴∠QNE＝∠QEN，∵∠NQE＝3α，∴∠QNE=12（180°﹣∠NQE）=1∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α−12（180°﹣3＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+3=1=12∠∴∠NEF=12∠【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．12．（2021春•梁溪区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；（2）过点E作EP∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EP，设∠FAB＝α，∠CFH＝β，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）延长DC至点Q，过点M作MN∥AB，结合（2）问可得∠EAF+∠GMH的度数．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠D+∠B＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点E作EP∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EP，∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，∵AF是∠BAE的平分线，∴∠EAF＝∠FAB=12∵FH是∠CFG的平分线，∴∠CFH＝∠HFG=12∵CD∥AB，∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，设∠FAB＝α，∠CFH＝β，∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）解：如图，延长DC至点Q，∵AB∥CD，∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，∴∠ECF＝∠CFG，由（2）问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，∴∠AEC＝2∠AFH，∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，∴∠AFH＝20°，由（2）问知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，∵FH⊥HM，∴∠FHM＝90°，∴∠GHM＝90°﹣β，过点M作MN∥AB，∴MN∥CD，∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，由（2）问知：∠EAF＝∠FAB，∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，∴∠EAF+∠GMH＝70°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．13．（2022春•南山区校级期末）如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论；（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB＝∠CED，∴AC∥DF，∴∠A＝∠DFB，∵∠A＝∠D，∴∠DFB＝∠D，∴AB∥CD；（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥HN∥CD，∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，∵BG平分∠ABE，∴∠ABG=12∵AB∥HN，∴∠2＝∠ABG，∵CF∥HN，∴∠2+∠β＝∠3，∴12∠ABE+∠∵DH平分∠EDF，∴∠3=12∴12∠ABE+∠β=∴∠β=12（∠EDF﹣∠∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，设∠DEB＝∠α，∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，∵∠DEB比∠DHB大60°，∴∠α﹣60°＝∠β，∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）解得∠α＝100°∴∠DEB的度数为100°；（3）∠PBM的度数不变，理由如下：如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠EBM＝∠MBK=12∠CDN＝∠EDN=12∵ES∥CD，AB∥CD，∴ES∥AB∥CD，∴∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，∠G＝∠PBK，由（2）可知：∠DEB＝100°，∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，∵BP∥DN，∴∠CDN＝∠G，∴∠PBK＝∠G＝∠CDN=12∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK=12∠EBK=12（∠EBK﹣∠=1＝40°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．第六章实数第六章实数1．（2022春•平舆县期中）一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（）A．a+1 B．a2+1 C．﹣a+1 D．a【分析】根据乘方运算，可得被开方数，再根据开方运算，可得答案．【解答】解：一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是a2故选：B．【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．2．如图，在数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是（）A．2−2 B．2−1 C．2−2【分析】首先根据数轴上1，2的对应点分别是点A和点B可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．【解答】解：∵数轴上1，2的对应点分别是点A和点B，∴AB=2∵A是线段BC的中点，∴CA＝AB，∴点C的坐标为：1﹣（2−1）＝2−故选：A．【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．3．（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【分析】根据运算规则即可求解．【解答】解：①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4．（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③a|a|+b|b|+c|c|=−1；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③a|a|④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．【点评】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．5．（2022秋•天元区校级期末）实所示，则化简(b−a)2−|c﹣a|+|b﹣c|＝【分析】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可．【解答】解：∵c＜b＜0＜a，∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．故答案为：0．【点评】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数．6．（2022春•聊城期末）观察下列三个等式：①2−25=225；②3−310=33【分析】观察已知的三个等式，找出三个等式中体现的规律，根据规律写出用n表示的等式．【解答】解：观察这三个等式：①2−2∴n为正整数且n≥2时，n−nn2故答案为：n−nn2【点评】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键．7．设x、y是有理数，且x，y满足等式x2+2y+2y＝17﹣42，求x﹣y【分析】根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得x﹣y的值．【解答】解：∵x、y是有理数，且x，y满足等式x2+2y+2y＝17﹣42∴x2解得，x=5y=−4或x=−5∴当x＝5，y＝﹣4时，x﹣y＝5﹣（﹣4）＝9，当x＝﹣5，y＝﹣4时，原式＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1．【点评】本题考查实数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的x、y的值．8．（2021春•濮阳县期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；（2）若38−y和32y−5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+【分析】（1）任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如32和3−2，35（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．【解答】解：（1）如32所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；（2）∵38−y和3∴38−y∴8﹣y+2y﹣5＝0，解得：y＝﹣3，∵x+5的平方根是它本身，∵x+5＝0，∴x＝﹣5，∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，∴x+y的立方根是﹣2．【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．9．（2021秋•虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．【解答】解：由题意，有2a−1=93a+2b+4=27解得a=5b=4∴±a+b=±故a+b的平方根为±3．【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．10．（2022春•寻乌县期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∵c是13的整数部分，∴c＝3，∴3a﹣b+c＝16，3a﹣b+c的平方根是±4．【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．11．（2021春•荔湾区校级期中）（1）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．【分析】（1）先根据数轴上点的位置确定出a、b、c的符号，再利用绝对值性质和平方根的性质a2（2）根据平方根、立方根的意义求出a、b，即可解决问题．【解答】解：（1）由数轴得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．（2）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，∴2a﹣1＝9，3a+2b+4＝27，∴a＝5，b＝4，∴a+b＝9，∴9的平方根为±3．【点评】本题考查平方根的定义和性质，立方根的定义和性质，绝对值性质和平方根的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．12．小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？【分析】根据长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，可求出长、宽，再根据正方形的面积求出边长，最后比较长方形的长与正方形的边长的大小关系，得出答案．【解答】解：∵正方体的面积为324cm2，∴正方形的边长为324=18cm又∵长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，∴长方形的长为610cm，宽为410cm，∵3＜10∴610＞∴不能裁出来，故不同意小明的说法，这块纸片裁不出符合要求的纸片．【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是解决问题的前提．13．（2022春•广信区期末）阅读理解．∵4＜5＜∴1＜5∴5−∴5−1的小数部分为5解决问题：已知a是17−3的整数部分，b是17（1）求a，b的值；（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（17）2＝17．【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值，（2）根据开平方运算，可得平方根．【解答】解：（1）∴16＜∴4＜17∴1＜17∴a＝1，b=17（2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（17−4+4）2∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±16=【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜1714．（2022春•恩施市期末）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−2|+|3﹣a（1）求b的值；（2）已知b+2的小数部分是m，8﹣b的小数部分是n，求2m+2n+1的平方根．【分析】（1）根据A点在数轴上的位置，可以知道2＜a＜3，根据a的范围去绝对值化简即可；（2）先求出b+2，得到它的整数部分，用b+2减去整数部分就是小数部分，从而求出m；同理可求出n．然后求出2m+2n+1，再求平方根．【解答】解：（1）由图可知：2＜a＜3，∴a−2＞0，3﹣∴b＝a−2+＝3−2（2）∵b+2＝3−2+2＝5∴b+2的整数部分是3，∴m＝5−2−3＝2∵8﹣b＝8﹣（3−2）＝8﹣3+2=∴8﹣b的整数部分是6，∴n＝5+2−6∴2m+2n+1＝2（m+n）+1＝2×（2−2∴2m+2n+1的平方根为±3【点评】本题主要考查了无理数的估算，考核学生的运算能力，解题时注意一个正数的平方根有两个．15．（2022春•青山区校级月考）我们知道2≈1.414，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则可记为2（1）2+1的整数部分是，小数部分可以表示为（2）已知3+2的小数部分是a，7−3的小数部分为b，那a+b＝（3）已知11的在整数部分为x，11的小数部分为y，求（y−11）x﹣1【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数2的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+2，7−3的大小，确定a、（3）根据算术平方根的定义估算无理数11的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）∵1＜2∴2＜1+2∴1+2的整数部分为2，小数部分为1+2−故答案为：2，2−（2）∵1＜3∴3＜3∴3+2的整数部分为3，小数部分为3+2﹣3即a=3∵1＜3∴﹣2＜−3∴5＜7−3∴7−3的整数部分为5，小数部分为7−3−即b＝2−3∴a+b=3−＝1，故答案为：1；（3）∵3＜11∴11的整数部分x＝3，小数部分y=11∴（y−11）x﹣1＝（﹣3）2∴（y−11）x﹣1的平方根为±【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．16．（2021春•江津区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；[2]＝1．而大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，即＜2＞=2−1．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵22＜（7）2＜32；即2＜请解答（1）[11]＝，＜11＞=（2）如果＜5＞=a，[41]＝b，求a+b（3）求[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]的值．【分析】（1）先估算出11的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；（2）先估算出5，41的范围，得出a和b的值；（3）计算出整数部分为1、2、3……的二次根式的个数是关键．【解答】解：（1）∵32∴3＜11∴[11]＝3，＜11故答案为：3，11−3（2）∵＜5∴a=5∵62∴6＜41∴41=6=b∴a+b−5∴4的平方根是±2，∴a+b−5（3）∵32﹣22＝5，42﹣32＝7，52﹣42＝9，62﹣52＝11，∴[1]+[2]+[3]+[4]+…+[49]＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7＝210．【点评】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，能估算出无理数的大小是解本题的关键．17．（2021春•饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：（1）仿照以上方法计算：[4]=；[26]=（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．【分析】（1）先估算4和26的大小，再由并新定义可得结果；（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【解答】解：（1）