1.1 认识三角形（解析版）

1.1认识三角形学习目标：1．认识三角形的边、内角、顶点，能用几何语言表示三角形；2．掌握三角形的三边关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明；3．了解三角形分类的原则和结论．重点：理解三角形三边之间的不等关系．难点：运用三角形三边之间的不等关系解题．知识点一三角形的有关概念三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.有关概念（1）边:组成三角形的线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.三角形ABC的三条边有时也用a，b，c表示.图SEQ图\*ARABIC1（2）顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图1，点A，B，C是三角形ABC的三个顶点.（3）角:相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图1，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个角.如图1，∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，AC，AB;反过来，三条边AB，BC，AC所对的角分别是∠C，∠A，∠B.三角形的表示三角形用符号“△”表示，如图1，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.1.用a,b,c表示△ABC的三边时，顶点A所时的边一般用a表示，顶点B所对的边一般用b表示，顶点C所时的边一般用c表示.2.三角形三个顶点的字母的次序可任意调整，△ABC也可写或“△BAC”“△BCA”"△CAB"等.3.用a,b,c表示△ABC的三边时，顶点A所时的边一般用a表示，顶点B所对的边一般用b表示，顶点C所时的边一般用c表示.即学即练（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形【答案】C【分析】根据三角形的定义解答即可．【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．知识点二三角形的分类1.等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.2.等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。【3.三角形的分类(1)按边的相等关系分类：按内角的大小分类：(1)在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角.(2)在一个三角形中，最多有一个直角，最多有一个钝角，(3)三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别.如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形.即学即练（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形．故选B．判断三角形形状的方法首先确定其分类标准，是按角分类还是按边分类，若按角分类，则看这个三角形的最大角是哪一类角，最大角是哪一类角，则这个三角形就是哪一类三角形.若按边分类，则看是否有等边，有等边，则这个三角形就是等腰三角形.知识点三三角形的三边关系三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.【注意】这里说的两边，是指任意的两边。三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系，一般会与不等式联系起来考虑。图形文字语言符号语言三角形两边的和两点之间，线段最短三角形三边关系的应用(1)判断三条线段能否构成三角形，(2)确定第三边长(或周长)的取值范围(3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式).即学即练1（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）下列各条线段的长能组成三角形的是（

）A．5，7，12 B．5，12，16 C．2，3，6 D．5，5，12【答案】B【分析】根据三角形的三边关系逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：A、5+7=12，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；B、5，12，16满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确；C、2+3=5<6，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；D、5+5=10<12，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误，故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即学即练2（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足a-3+b-2【答案】1＜c【分析】由a-3+b-【详解】解：∵a-∴a-3=0，∴a=3，b=2，∵a，b，c为三角形的三边长，∴1＜故答案为：1【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的理解，利用非负数的性质求解a=3,b=2是解本题的关键．知识点四三角形的高1.三角形的高的概念从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。2.三角形的高的几何语言表达形式如图所示，AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°.【注意】三角形的高与垂线的区别：三角形的高是一条垂线段，垂线是一条直线。3.三角形三条高的位置高及高的交点的位置图示锐角三角形三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部直角直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点钝角钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点1.作三角形高的步骤作三角形的高的步骤就是“过直线外一点作该直线的垂线段”的步骤：一靠：三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点，三画：画垂线段.2.三角形的三条高的特性锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量311高之间是否相交相交相交不相交高所在的直线是否相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部即学即练1（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，△ADC中DC边上的高是（

）A．线段AB B．线段AD C．线段AC D．线段BC【答案】A【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断．【详解】解：△ADC中DC边上的高是线段AB故选：A．【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键．即学即练2如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知，AD·BC＝BP·AC.代入数值，可解得BP＝.面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.知识点五三角形的中线1.三角形的中线的概念CABD在三角形中，连接一个顶点和CABD2.三角形中线的几何语言表达形式如图，AD是△ABC的边BC上的中线，或AD是△ABC的中线。3.三角形中线的数量和位置任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线相交于一点，这点在三角形的内部.CACABDE三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.5.三角形的中线分成的两个三角形的面积及周长的关系(1)面积关系：如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高，则S∆ABD=因为BD=CD,所以12BD∙AE=所以S∆ABD=S∆ACD.（(2)周长关系：因为△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD,所以△ABD的周长-△ACD的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性质在几何推理中也是常用方法！）（1）三角形的中线可将三角形分成面识相等的两部分;（2）△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的长度之差.即学即练（2023春·浙江温州·八年级统考期中）如图，已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为15，则△ABC的面积为（A．20 B．24 C．26 D．30【答案】B【分析】连接DE，设S△【详解】解：连接DE，设S△∵D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF∴S△∴S△∴S△∴S△∴四边形AFEC的面积=2x+3x=5x=15，∴x=3，∴△ABC的面积=8x=24故选B．【点睛】本题考查了中线的定义，三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等和中线平分三角形面积是解题的关键．知识点六三角形的角平分线1.三角形的角平分线的概念CACABD边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.2.三角形的角平分线的几何语言表达形式如图所示，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD=12∠BAC且点D在边BC上.3.三角形的角平分线的位置三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.即学即练如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD=12∠又DE∥BC，∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.知识点七三角形内角和1.定理(1)文字叙述：三角形三个内角的和等于180°(2)数学语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.2.定理的实践探索的示意图如图所示，把△ABC的三个内角拼在一起，组成一个平角，即三个内角的和为180°。多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.三角形内角和定理的两点应用：(1)在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第三个角的度数；(2)已知三角形中三个内角的关系，可利用三角形内角和等于180°,列方程求出各内角的度数。3.利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理的典例推理过程方法1过点A作l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.延长BC到D，过点C作CE∥BA，则∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.过D作DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(两直线平行，同旁内角相补).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C+∠A+∠B=180°.即学即练如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=12∠BAC在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.三角形的内角和常用二级结论：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D知识点八三角形的外角1.三角形外角的定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角。(1)三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角.(2)三角形的每一个顶点处都有且只有两个外角，这两个外角是对顶角，一个三角形共有六个外角，一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角.2.外角的性质(三角形内角和定理的推论)（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B.(2)三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和定理在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和为360°.即学即练1如图①，试比较∠2、∠1的大小；如图②，试比较∠3、∠2、∠1的大小.图①图②图①:解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.图②:解：∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.即学即练2如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.题型一三角形的识别与有关概念例1（2020秋·浙江宁波·八年级校考期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。举一反三1（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定【答案】B【分析】根据外角是锐角，可得相邻的内角是钝角，即可判断．【详解】∵一个外角是锐角，∴相邻的内角是钝角，∴这是一个钝角三角形，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的形状举一反三2（2020秋·浙江宁波·八年级校考期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【答案】C【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．题型二三角形的分类例2（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）一个三角形三个内角的度数之比是3:4:5，则这个三角形一定是（

）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】A【分析】由三角形三个内角的度数之比是3:4:5，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可．【详解】解：∵三角形的三个内角之比是3:4:5，∴三角形的三个内角依次为：180°×312=45°∴该三角形一定是锐角三角形．故选A．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键．举一反三1（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判定三角形类型的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类．举一反三2（2022秋·浙江·八年级期中）若一个三角形三个内角的度数之比是2:3:7，则这个三角形一定是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】先利用三角形的内角和定理求出该三角形三个内角的度数，进而可得答案．【详解】解：因为一个三角形三个内角的度数之比是2:3:7，所以这个三角形的三个内角分别是30°，45°，105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，属于基础题目，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．题型三构成三角形的条件例3（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．3，5，9【答案】B【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可．【详解】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故不符合题意；B、3+4=7>5，能组成三角形，故符合题意；C、2+3=5，不能组成三角形，故不符合题意；D、3+5=8<9，不能组成三角形，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边这一关系是解答本题的关键．举一反三1（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）两根木棒的长度分别为5cm，8A．2cm B．3cm C．6cm【答案】C【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后选择答案即可．【详解】解：∵8-5=3，∴5cm<第三边<13cm，纵观各选项，能组成三角形的第三根木棒的长度是6cm．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出第三边的取值范围是解题的关键．举一反三2（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（

）A．2，5，7 B．9，3，5 C．4，5，6 D．4，5，10【答案】C【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．A、2+5=7，不能构成三角形，此项不符题意；B、3+5=8<9，不能构成三角形，此项不符题意；C、4+5>6，能构成三角形，此项符合题意；D、4+5<10，不能构成三角形，此项不符题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．题型四确定第三边的取值范围例4（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）三角形的两边长分别为4cm和7A．2cm B．3cm C．6cm D．【答案】C【分析】根据三角形三条边的关系判断即可．【详解】解：设第三边为xcm，由三角形三条边的关系可得：7-即3<x<11，此三角形第三边长可能是6cm，只有C符合．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三1（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）已知两根直木条的长分别为6dm和12dm，要再选择一根木条，使得它们首尾顺次相接能围成一个三角形，则下列长度的木条中，符合要求的是（A．5dm B．6dm C．11dm D．20dm【答案】C【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围即可得到答案．【详解】解：由三角形三边的关系可知，12-6<选取的木条长度<12+6，即6dm<选取的木条长度∴四个选项中只有选项C符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．举一反三2（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）若三角形的两边长分别为2，6，则此三角形第三边的长可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围：第三边的范围为大于两边差且小于两边和．【详解】解：设第三边为x，则6-2＜x＜6+2，故4＜x＜8，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．题型五三角形的高有关计算例5（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=80°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（

）A．10° B．12° C．15° D．18°【答案】A【分析】利用角平分线的定义可求出∠ABE的度数，在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出∠ABD的度数，再结合∠【详解】解：∵BE是△ABC∴∠ABE=∵BD是△ABC∴∠ADB=90在△ABD中，∠∴∠ABD=180∴∠DBE=∴∠DBE的度数为故选A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°举一反三1（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若△ABE的面积为S1，△AFC的面积为S2，△EDC的面积为A．S1+S2 B．S1+【答案】C【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF【详解】证明：∵AD∥∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF∴S∴S△即S△∵S即S即S△故选：C．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，三角形面积，根据等底等高的三角形面积进行转化是解题的关键．举一反三2（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=40°，BE、AD分别是△ABC的角平分线和高线，求∠BEC、∠AFE的度数．【答案】125°，75【分析】根据BE、AD分别是△ABC的角平分线和高线，推出∠ABE=∠EBD，∠BAD【详解】∵BE、AD分别是△ABC∴∠∴∠∴∠BEC=180∴∠AFE=【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义、对顶角相等的知识，解题的关键是熟知三角形内角和是180°．题型六三角形中线的计算问题例6（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD，②BC边上的角平分线AE，③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A点和BC中点的连线折叠，其折痕即为BC边上的中线，故①符合题意；折叠后使B点在AC边上，且折痕通过A点，则其折痕即为BC边上的角平分线，故②符合题意；折叠后使B点在BC边上，且折痕通过A点，则其折痕即为BC边上的高，故③符合题意；故选D．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．举一反三1（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，则BC边的中线AD的取值范围为.

【答案】1<AD<4【分析】把AD延长到DE使DE=AD，构造三角形ABE，根据三角形三边直接的关键建立不等式组求范围.【详解】

如图延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.在三角形ADC与三角形BDE中{AD=DE∴△ADC∴BE=AC在三角形AEB中，有AB+BE>AE，BE即3+5>2AD，5∴1<AD<4【点睛】本题解题关键在于倍长中线，构造三角形，运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质.举一反三2（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连结BE，CE．若△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积为（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6【答案】A【分析】根据AD是△ABC的中线得S△ABD=S△ACD=1【详解】∵AD是△ABC∴S△∵E是AD的中点，∴S△ABE=∴S△∴S阴影故选：A．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．题型七三角形角平分线的计算问题例7（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，高AE与CD相交于点O．若∠BAC=70°，∠ACB=60°．求：(1)∠B的度数；(2)∠AOD的度数．【答案】(1)50(2)60【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出答案．（2）利用角平分线求出∠COE度数，在根据三角形内角和定理即可求出∠EOC的度数，利用对顶角相等可求出【详解】（1）解：∵∠BAC=70°，∴∠B=180（2）解：∵∠ACB=60°，CD是∴∠DCB=∵高AE与CD相交于点O，∴AE∴∠AEC=90∴∠COE=180∵∠AOD=∴∠AOD=【点睛】本题主要考查的知识点有三角形内角和定理、角平分线的定义和对顶角相等，解题过程中是否能熟练运用定理和性质是解题的关键．举一反三1（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B=60°，则∠DAE=【答案】10【分析】由AD⊥BC可得∠BDA=90°，由直角三角形两个锐角互余，得到∠BAD=30°，再由AE平分【详解】∵AD∴∠BDA=90∵∠B=60∴∠BAD=90∵∠BAC=80°，AE平分∴∠BAE=40∴∠DAE=故答案为：10【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．举一反三2（2023春·浙江宁波·八年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）如图，在ΔABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=1∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=1∴∠A1=12∠A=1∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∴∠A=2n∠An，∴∠An=(12)n∠A=64∵∠An的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12题型八三角形的折叠问题例8（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，D，E分别是边AB、AC上的点，将∠A沿DE折叠，使点F落在AB的下方，当△FDE的边EF与BC平行时，∠ADE的度数是．【答案】25°或25【分析】根据三角形内角和，得∠A的角度，根据折叠得，∠A=∠F，∠ADE=∠EDF；又根据EF【详解】∵△ABC中，∠C=90∴∠∵△DEF是△∴∠A=∠∵EF∴∠∴∠∴∠∵∠∴∠∴∠ADE=25故答案为：25°或25【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内角和、外角和定理．举一反三1（2022秋·浙江嘉兴·八年级校联考期中）在△ABC中，∠B=40°，D为边BC上一点，将三角形沿AD折叠，使AC落在边AB上，点C与点E重合，若△BDE为直角三角形，则∠C的度数为．【答案】90°或【分析】分两种情形：∠BED=90°或【详解】解：当∠BED=90°时，当∠BDE=90°时，综上所述，∠C的度数为90°或故答案为：90°或130【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．举一反三2（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B'处，则∠ADB′等于【答案】40°【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD＝∠BCD，∠CDB＝∠CDB'，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC＝∠B【详解】解：∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B'∴∠ACD＝∠BCD，∠CDB＝∠CDB'∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠B＝90°﹣25°＝65°，∴∠BDC＝∠B'∴∠ADB'故答案为：40°．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC和∠B'题型九三角形的内角和定理应用例9（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D=°．

【答案】10【分析】连接DE，在△CDE中，求出∠CDE+∠CED，然后再【详解】解：连接DE，如图所示，

∵∠A=50°，∴∠ACB=180∴∠DCE=∴∠CDE+∵∠EFD=110∴∠FDE+∵∠CED=∠CEF+∵∠CDE+∴∠CDF+∵∠CEF=30∴∠CDF+30∴∠CDF=10故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键．举一反三1（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，点M,N分别在AB,BC上，∠C=80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN∥CD，此时量得∠FMN=50°，则∠B的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．135°【答案】B【分析】根据平行，折叠，可求出∠MNB，∠NMB的度数，在【详解】解：∵FN∥CD，∴∠FNB=∵MN是折痕，∴∠FNM=∠MNB=在△BMN中，∠∴∠B=180故选：B．【点睛】本题主要考查平行线，三角形的内角和定理的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．举一反三2（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的大小为度．【答案】75【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【详解】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°-∠3-∠4=75°．故答案为：75．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角板的内角度数并准确识图是解题的关键．题型十三角形的外角和定理应用例10（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）用一副直角三角板拼出如图所示的图形，则图中∠α的度数为（

）

A．95° B．100° C．105° D．120°【答案】C【分析】如图，由题意知，∠ACB=30°，∠CED=45°，∠DCE=90【详解】解：如图，

由题意知，∠ACB=30°，∠CED=45∴∠ACE=∴∠α=故选：C．【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．举一反三1（2021秋·浙江台州·八年级校联考期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（

）A．45° B．60° C．105° D．120°【答案】C【分析】如图，易得∠DAC=45°，利用三角形的外角的性质，得到∠【详解】解：如图，∠C=60∴∠DAC=∴∠1=故选C．【点睛】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若【答案】80°【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=140°，进而可得【详解】解：连接AA∵A'B平分∠ABC，A∴∠A'BC+∴∠ABC+∴∠BAC=180∵∠1=∠DA∴∠1+故答案为80°【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握折叠的性质、得出∠1+单选题1.（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）将下列长度的三条线段首尾顺次相连能构成三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，6 D．4，5，10【答案】C【分析】构成三角形的三边应满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只有同时满足以上的两个条件，才能构成三角形，据此可判断选项正误．【详解】解：A选项：1+2=3，两边之和没有大于第三边，∴无法组成三角形；B选项：2+3=5，两边之和没有大于第三边，∴无法组成三角形；C选项：3+4>6，两边之和大于第三边，且满足两边之差小于第三边，∴可以组成三角形；D选项：4+5<10，两边之和没有大于第三边，∴无法组成三角形，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只有同时满足以上的两个条件，才能构成三角形．2.（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知一个三角形的两边长为1，3，则第三边可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据三角形三边关系即可求解．【详解】解：依题意，设第三边为a，则3-即2<a<4，∴a可以是3，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．3.（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形作高的方法逐项判断即可．【详解】选项A作的是BC边上的高，不符合题意；选项B作的是AB边上的高，符合题意；选项C中三角板未过点C，故作的不是高，不符合题意；选项D作的是AC边上的高，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了三角形高的作法，作边AB边的高，应从顶点C向AB作垂线，垂足落在直线AB上，熟练掌握知识点是解题的关键．4.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）八年级1班学生杨冲家和李锐家到嵊州书城的距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的距离不可能是（）A．3km B．9km C．5km D．4km【答案】B【分析】当三个地点不在同一直线时根据三角形三边关系即可得到2<S<8，当三个地点在同一直线时分书店在中间及李锐家在中间两类讨论即可得到答案；【详解】解：当三个地点不在同一直线时，由三角形三边关系可得，2<S<8，当三个地点在同一直线时，①

书店在中间时：S=5+3=8，②

李锐家在中间时：S=5-综上所述：2≤故选B．【点睛】本题主要考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是分类讨论．5.（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若△ABE的面积为S1，△AFC的面积为S2，△EDC的面积为A．S1+S2 B．S1+【答案】C【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF【详解】证明：∵AD∥∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF∴S∴S△即S△∵S即S即S△故选：C．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，三角形面积，根据等底等高的三角形面积进行转化是解题的关键．二、填空题1．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图所示，图中的∠1=°．【答案】50【分析】根据三角形的外角性质得到∠ACD=∠1+∠B，然后把∠【详解】解：如图，∵∠ACD=而∠ACD=95∴95∴∠1=95故答案为：50．【点睛】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与之不相邻的两内角的和．掌握三角形的外角性质是解答此题的关键．2．（2023秋·浙江金华·八年级