湖北省黄冈市2023-2024学年高三年级上册9月调研考试数学（解析版）

黄冈市2023年高三年级9月调研考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个是符合题目要求的）

1.已知全集为U,集合N满足MuNuU,则下列运算结果为°的是（）

A.MuNB.（疫N）U（/）C.根（Q,N）D.N&M）

【答案】D

【解析】

【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可

【详解】全集U,集合N满足MuNuU,绘制Venn图，如下：

对于B：(瘵V)(uM)=%M，B错误；

对于C：M_(^,N)uU,C错误；

对于D：Nu⑹M)=U,D正确.

故选：D.

2.若复数z=l—i+i2—i?++严2—12023,则忖=()

A.0B.72C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列的求和公式以及i的周期性即可求解.

l-f-iV024170244f06

2

【详解】Z=l-i+i-p++[2*2023J-0)=0,

l-(-i)1+i1+i

故选：A

3.已知数列｛为｝是正项等比数列，数列｛〃,｝满足〃=log2%.若%。5a8=22bt+b2+b3++b9=

()

A.24B.32C.36D.40

【答案】C

【解析】

【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.

【详解】因为｛%｝是正项等比数列，444=212,

所以@=2口=(24丫，则。$=2",

所以4+仇+4++bg=log2a,+log2a2+log2a3++log2a9

436

=log2。]。2a3/=log2«5=log2(2了=log22=36.

故选：C.

4.柯西不等式(Cauchy—SchwarzLnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，

它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(/+〃)(02+"2)23。+从/)2,当且仅

当加=历时即乌=2时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3j4—3x+y/3x-2的最大值为

ca

()

A.2逐B.2百C.VlOD.V13

【答案】A

【解析】

【分析】运用柯西不等式直接求解即可.

24

【详解】该函数的定义域为勺,字，由柯西不等式可得：

f(x)=3y/4-3x+\3x-2<J(32+12)(4-3X+3X-2)=2^5,

3111

当且仅当r——=f-——-时取等号，即当X=77时取等号，

>]4-3x<3x—215

故选：A

5.已知sin（6+看］=|,则sin126—1卜()

11「4>/5

A.---Rn

9999

【答案】A

【解析】

JT7T7T

【分析】由二+26—2=2（6+”），结合诱导公式、二倍角余弦公式可得

266

sin(26>--)=2sin2(6»+-)-l,即可求值.

66

7T'］!TT

【详解】由题意有：一+2。——=2（。+—）,

266

/.cos(2+2。一工)=-sin(2。一工)=cos2(^+—)=l-2sin2(^+—),又"e+Jg,

26666

/.sin(28_^)=_g.

故选：A.

6.已知函数/（幻=$抽（@》+夕）（一:＜夕＜:］在［=,?］内单调递减，％=枣是函数f（x）的一条对称

（x+方）为奇函数，则.'（富

轴，且函数y=j=()

AK

B.-1D

20T

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.

（37、3

【详解】因为函数“X）在E，J内单调递减，尤=三是函数/5）的一条对称轴,

188J8

7兀3兀，1丁7兀3兀，12兀

所以有T一百"57=勺一9"2.向=闷42,

37rjr

所以0——+0=2E+—(&eZ)(l),

82

因为y=/[x+*j=sin]«yx+望am+9)是奇函数，

8

所以"+W=〃讥（〃Z£Z）（2）,由⑴一（2）可得：口=4（2%—相）+2,

8

而网＜2,所以同=±2,

27r71

当口=2时，—+(p=nnt^meZ)=＞^?=nm--(^Z),

.、1兀兀r-L.।兀

因为——〈夕＜一，所以夕=——，

224

TT

即fM-sin(2x----),

4

（3兀7兀、兀，兀3兀、

当时，2x--eII»显然此时函数单调递减，符合题意,

所以磴）=sin（2x导2呜邛;

27r兀/

当6y=-2时，-----\-(p-mn(m&Z)=＞夕=nm+—(zneZ),

8、

因为一]＜夕＜],所以夕=:,

7T

即/(x)=sin(2x+—),

4

当xe（称,?］时，2x+^e（兀,2兀），显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意,

故选：D

7.在4ABe中，ZA=2ZB，AC=4,BC=6,贝LABC的面积为（）

A.2币B.9C.377D.

74

【答案】D

【解析】

31

【分析】由正弦定理求出853=二，进而得到cosA=-,sinB,sinA,从而求出

48

577

sinC=sin(A+B)利用三角形面积公式求出答案.

16

【详解】由正弦定理得二一,

sinBsinA

因为ZA=2N6，AC=4,BC=6,

s-466,,3

所以-----=------=------------,故cosBo=一,

sin3sin232sin3cos34

贝ijcosA=cos28=2cos25-1=-,

8

因为A,B£(0,7l),

所以sin8=A/1-COS2B=，sinA-Vl-cos2A=

48

故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin8=£^xW^=£^,

')848416

故选：D

8.已知函数及其导函数/'(x)定义域均为R,记g(x)=/'(x+l),且

f(2+x)-f(2-x)=4x,g(3+x)为偶函数，则g'(7)+g(17)=()

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】对/(2+x)-/(2-x)=4x两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.

【详解】因为g(3+x)为偶函数，g(x)=/'(x+l),

所以/'(x+4)=/'(-x+4),

对/(2+x)-/(2-x)=4x两边同时求导，得/'(2+x)+/'(2—x)=4,所以有

/'(4+x)+x)=4=/'(4—x)+f\-x)=4n/'(4+x)+f'(x)=4=/'(8+x)=/'(x),所以函

数f'(x)的周期为8,

在/'(2+x)+/'(2-x)=4中，令x=0,所以八2)=2,

因此g(i7)=r(i8)=r(2)=2,

因为g(3+x)为偶函数，

所以有g(3+x)=g(3-x)=>g，(3+x)=-g<3-x)=>g<7)=-g，(-lXl),

/'(8+x)=f(x)ng(7+x)=g(x-1)ng<7+x)=g'(x-1)ng'")=g'(-l)⑵，

由(1),(2)可得：g'⑺=0,

所以g'(7)+g(17)=2,

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是对/(2+x)-/(2-x)=4x两边同时求导，再利用赋值法进行求解.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.以下说法正确的有()

人.“_2<%<4”是“/一2'-15<0"的必要不充分条件

B.命题'勺维,>1,ln(/-1)20”的否定是"VxWI,ln(x—1)<0"

C."Ina>1昉”是“a2>b2”的充分不必要条件

D.设“，beR,则“。。0”是"彷。0”的必要不充分条件

【答案】CD

【解析】

【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.

【详解】A选项，X2-2X-15=(X-5)(X+3)<0,解得一3<X<5,

所以“—2<x<4”是“丁-2》-15<0”的充分不必要条件，A选项错误.

B选项，因为由ln(x—1)20,得即X22,

命题“三飞〉1,ln(%—1)20”的否定是“Vx>l,x<2",所以B选项错误.

C选项，ln6z>h\b<^>a>b>0；

Ina>InZ?=^a2>b2

所以《22/,所以"1恒>1昉”是“标>〃2，，的充分不必要条件，

cr>b~^^\na>\nb

所以C选项正确.

an0幺ab丰0

D选项，由于〈—，所以“aHO”是“而HO”的必要不充分条件，

ab工0naw0

所以D选项正确.

故选：CD

10.已知3"=4"=12,则下列选项正确的是()

A.a+b=abB.a+4b>9C.a2+b2>8D.(a-1)2<2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据对数运算、基本不等式等知识确定正确答案.

【详解】依题意，3"=4〃=12,则a=log-312力=1(^12,a>b>0,

所以—y=log,,3+logp4=logp12=1,

ab

所以"2=1,。+8=出,，所以A选项正确.

ab

a+4/?=(a+4/?)]—F—=5H----F—>5+竺./=9,所以B选项正确.

a+b=+一4(a+Z?)=(a+/?)(a+/7-4)>0,

则a+人一4>0,a+8>4,所以“+/>("+")>£=8,所以C选项正确.

22

a=log312=log33+log34=1+log34,b=log412=log44+log43=1+log43,

222

所以(a-1)2+(/7-l)=(log34)+(log43)

>2xlog34xlog43=2,所以D选项错误.

故选：ABC

11.设数列｛a.｝前〃项和为S“，满足&-1)2=4(100—S“)，且4〉0,外〉0,则下列选项正确

的是()

A.。〃=一2〃+21

B.数列为等差数列

C.当〃=11时s,有最大值

D.设a=a,4+M,+2，则当"=8或〃=10时数列｛4｝的前w项和取最大值

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据［.求出｛q｝为等差数列，公差为—2,首项为q=19,得到通

sVS

项公式；B选项，计算出j=-/+20〃，得到=L=f+20,从而得到1一一口二一1,得到B正确；

nnn-\

C选项，根据j=-"2+20〃及二次函数的最值得到c错误；D选项，先得到时，

b"=>0，4<。，%>0,当/J211时，<0,且仇=—3,4o=3,得到结论.

【详解】A选项，当〃=1时，(％—1)2=4(100-4),

又4>0,解得q=19,

当“22时，(氏-1>=4(1()0-5“)①，

1)2=4(100-5„_,)0,①-②得，

(4-1)2—(*-1>=4(100-S„)-4(100-S„_l),

即比+2ab<i+2%=0，故(。+«„.))(«„-%+2)=0,

因为q>0,a2>0,所以%+a,i=0不能对任意的“22恒成立，

故4,-%+2=0，

所以。“一%=-2，

故｛4｝为等差数列，公差为—2,首项为4=19,

所以通项公式为q=19-2(〃-1)=-2〃+21,A正确；

B选项，§^lfj=〃(19+21-2〃)=_/+2。〃,

〃22

qQV

故口=—〃+20,则当〃22时，——-^二一〃+20—(一〃+21)=—1,

nnn-l

故为等差数列，B正确；

C选项，S„=-fT2+20/1=-(/i-io)2+100,

故当〃=10时，s“取得最大值，c错误;

D选项，令勺>0得1W〃W1O,令凡<0得

则当〃e[1,8]时,bn=anan+lan+2>0,

当“=9时，仇<0,当〃=10时，%>0,

当〃211时，b“<0,

a

又4=o940li=3xlx(-l)=-3,bw=4O4I42=1X(T)X(-3)=3,

则当〃=8或〃=10时数列｛4｝的前〃项和取最大值，D正确.

故选：ABD

12.点O,“分别是,ABC的外心、垂心，则下列选项正确的是()

BABC1

A若4-----------1-----------且3O=〃BA+(1-A)8C,贝=

\BA\\BC\)

B.若2BO=BA+BC，且AB=2,则AC43=4

兀

C.若/B=—,OB-mOA+nOC»则机+〃的取值范围为卜2,1)

若27M+3〃B+4HC=O，则cosN8〃C=—典

D.

5

【答案】BCD

【解析】

【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点。的位置，即可判断A；B.根据条件，确定ABC

的形状，即可判断B；C.建立坐标系，将利用三角函数表示〃?+〃，根据三角函数的性质，即可判断C；根

据垂心的性质，得HAHC=HAHB=HBHC，再结合数量积公式，即可求解.

【详解】A.由=〃区4+(l-〃)3C,(%〃GR)可知，点A。,。共线,

又乌-+空^可知，点。在/C84的角平分线上，

[\BA\\BC\)

所以80为乙ABC的角平分线，A£＞与。。不一定相等，故A错误；

B.若2BO=B4+BC，则点。是AC的中点，点。又是&ABC的外心，

cosNBHC=cos(HB,HC\=半产j

HB\\HC\x<0,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选

项的关键是转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式

HAHC=HAHB=HBHC的应用.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

rrr

13.若向量q,。满足a=(I,l),忖=1,且0+可为=0,则a与b的夹角为.

,,,.371

【答案】—

4

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.

【详解】由"(1,1)=>忖="+12=日

由+=+=On卜川4cos+l=0ncos(a,石)—~~~，

因为<a@€［0,7t］,所以=与

故答案为：?3兀

4

14.若目1,4］使片一"+4〉0"为假命题，则实数。的取值范围为.

【答案】［5,+℃)

【解析】

【分析】将问题转化为“a2尤+：在口，4］上恒成立“，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.

【详解】因为'勺面e［1,4］使片一叫+4>0”为假命题,

所以“VXG［1,4］,—依+4<0”为真命题，

其等价于a2x+?［1,4］上恒成立，

又因对勾函数/(x)=x+t在［1,2］上单调递减，在［2,4］上单调递增，

而川)=〃4)=5,所以〃X)3=5,

所以。25,即实数”的取值范围为［5,+8).

故答案为：［5,+8).

15.设矩形的周长为12,把JRC沿4c向AADC折叠，AB折后交0c于点

M,则△ADM的面积最大值为.

【答案】27-18夜

【解析】

【分析】作图，令_A8C折叠后对应为△AEC，且AB=x(3<x<6),易得ADM三CEM,再设

1Q

且2a>x>a,勾股定理列方程得a=x+—-6,最后应用三角形面积公式、基本

x

不等式求面积最大值，注意取值条件.

【详解】如下图，_ABC折叠后对应为△AEC，令48=%且3<%<6,则BC=6—x,

由图知：AD=BC=EC,Z£)=NE=90°,ZAMD=NCME,则,AZW=.C£M,

所以DW=£M,AM=CM,而AB=AE=4W+EW=4W+0W,

令AM=a,DM=x-a且2a>x>a,则+=.2,

,,,1818

所以(6-x)~+(%-«)--a'=>a-x-\----6,贝!jDM-6---,

XX

当且仅当x=3夜时等号成立，

所以△ADM的面积最大值为27-1842■

故答案为：27-180

16.若存在两个不等的正实数x,y,使得(x-y)(x+yT)=e"—e’成立，则实数f的取值范围为

【答案】(f⑵n2-2)

【解析】

【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.

［详解］(x_y)(x+yT)=e*_e，v=>ev-x2+xt=ev-y2+yt,

构造函数f(w)-e'"—nT+int［m>0),

所以原问题等价于存在两个不等正实数x,y,使得/(x)=/(y),

显然函数/(租)不是正实数集上的单调函数，

/'(机)=em-2m+f(m>0),

设g(m)-em>0)==e'"-2,

当相>ln2时，g'(m)>0,g(根)单调递增，

当0cm<ln2时,g'(/n)<0,g(m)单调递减，故=g(ln2)=2-ln2,

当2—ln2+ri0时，即f21n2—2时，/'(加)20,/(加)单调递增，所以不符合题意；

当2—ln2+r<0时，即/<ln2—2时，显然存在加0,使得/'(%))=0,

因此一定存在区间(％)—£,2)+£)(£>0),使得/'(加)在(%一£,/%),(人,/+£)上异号，因此函数

/(加)在(%一£,%1(/%,/%+£)上单调性不同，

因此一定存在两个不等的正实数x,九使得(x-y)(x+yT)=e=e、成立，

故答案为：(f,21n2—2)

【点睛】关键点睛：本题的关键是由(x-y)(x+yT)=e'—e'构造函数/(m)=e"'+mt^m>0).

四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设等差数列｛4｝前〃项和S0，％=1,满足2S“+1=〃(风+5)+2,neN--

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记2=不丁，设数列｛2｝的前〃项和为％,求证［<77.

，%+216

【答案】(1)an=2n-l

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据等差数列的通项公式进行求解即可；

(2)利用等差数列前九项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.

【小问1详解】

依题意有2(4+生)=4+5+2,

14=1,a2=3,

又｛4｝为等差数列，设公差为d,

d=a2-at=2,;.an=l+2(n-l)=2n-l.

【小问2详解】

、~口(1+2〃-

由(1)可得--------L=〃72,

“2

•b"=〃2(〃+i2)2S-(〃-+M2)2J

Kt">4=拈斓，4=5侍L'配T言-春),

.r=lfil__!__1_L15=A

"4(+4(n+1)2(n+2)2J4X416,

18.己知函数/(xbd-d+Zzx+Z

(1)若其图象在点(1,7(1))处的切线方程为x-y+l=O,求。，〃的值；

(2)若1是函数/(x)的一个极值点，且函数」?在［2,3］上单调递增，求实数。的取值范围.

【答案】(1)a=\,b=0

⑵(―8,3)小(

【解析】

【分析】(1)由题意/(1)=3—a+A=2,且/'(1)=3—2a+^=l,由此即可得解.

(2)一方面:由题意/'(1)=3—加+b=0,且/'(力=3%2-2比+。至少有两个零点(否则“X)单

调递增没有极值点)；另一方面：由题意(/史］=2%_°_之=2/—d-220在［2,引上恒成立,

分离变量即可；结合两方面即可得解.

【小问1详解】

.点(1,7(1))在切线x-y+i=o上，

.二/⑴=3—Q+Z?=2,①

2r

/'(%)=3x-2ax+hf/(l)=3-2«+/?=l,②

联立①②解得Q=l,h=0.

【小问2详解】

依题意有/'(彳)=3/-20¥+匕，/'(l)=3—2a+h=0,b=2a-3,

且A=4。~-12(2。-3)=4(。~-6。+9)>0,Qw3；

又平一“+’2加3,产J=2~y-广2,

则x«2,3］时，2x3-ax2-2>0,即“4空二，

厂

。3oA

令g(x)=2p,2<X<3,求导得g'(x)=2+F>0,所以g(x)单调递增,

XX

7

•••a〈g(X)min=g(2)=5；

又a丰3,所以。的取值范围为(—8,3)(3,(.

19.设a>0,b>0,函数/(x)=a-2Z?+26x-ar2

(1)求关于X的不等式〃可>。解集；

(2)若“X)在［0,2］上的最小值为a-»，求，的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)［1,4W).

【解析】

【分析】(1)由题可得(x—l)［x—)<0,然后分类讨论即得；

/(0)<0

(2)根据二次函数的性质结合条件可得〈b八、°b，进而即得.

-----U22-----

aa

【小问1详解】

因为/'(x)=a-2/?+2/zx—公？=—依又。>(),z>>o,

2b-a

.../(%)>0的解集等价于。-1)x---<--0--的--解集,

a

1

当一匕3<1即6<a时，不等式的解集为

aaJ

c1

当二^=1即方=Q时，不等式的解集为0,

a

2bq、

当2b-a

a[。7

2b口\

综上，当力<。时，不等式的解集为上色』，当人=1时，不等式的解集为。，当g。时，不等式的

a)

解集为11,女二幺

ka

【小问2详解】

因为/(%)=。一%+而一"2，/⑴=。，/(0)=a-2Z?,函数/(x)的对称轴为x=">0,抛物

线开口向下,

又“X)在[0,2]上的最小值为a—处,

7(0)<0(a<2b

•'Jb0,即1b，

——0>2——->1

aa[a

：.->1,即2的取值范围为[1,+8).

aa

20.已知向量。=2cosx-\-----2],b——2cosfx-------------0,1-？<。<0,设

II3JJII6?

/(%)=。心+2,且/(x)的图象关于点,0)对称.

(1)若tanx=#，求/(x)的值;

(2)若函数g(尤)的图象与函数/(x)的图象关于直线尤=9对称，且g(x)在区间-三，/上的值域为

o12

[-1,2],求实数，的取值范围.

【答案】(1)y

(2)

【解析】

【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合正弦的二倍角公式、正弦型函数的对称性、同角

的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可；

(2)根据函数对称性，结合正弦型函数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

/(x)=a-/?+2=-4cosfx+-jcosfx--j-2+2=-4cosfx+-1--0jsinfx+y-^j

=-2sin(2x+1-26)=2sin(2x-W-2e

若的图象关于点心0)对称，则已一三一26=①伏eZ),

:.-20=k7i+^k&Z),6>=-y-j|(A:eZ).

,/(x)=2sinf2%--^j.

什A/3..-2sinxcosx2tan?;4V3EE-T4Hc1

右tan;c=」一，则MIsin2x=---------------=--------=向理可得cos2x=z.

2sinx+cos-x1+tanx77

4V3-V3-lxl11

f(x)=2sin2x--=2sin2xcos--cos2xsin—\=2x

V666147

【小问2详解】

若函数g(x)的图象与/(x)的图象关于直线X=2对称，则

8

((\

g(x)=/(,-x71=—2sin(2x—二,

2sin2——x

14)I(4)6I3j

，兀Tl7171

因为所以一

12633

5jr

而g(x)在~—,t上的值域为[T,2],

则一14—2sin(2%——<2,即一242sin2x——<1,

因为2sin[—=]=2sin?=l,所以一二42f-二42,

V6J6236

一~—<t<—,故/b的取值范围为噫二，二

124胺124

21.在48c中，a,b,。分别为角A,B,C所对的边，8为A5边上的高，设8=〃，且

a+b=c+h.

(1)若c=3h,求tanC的值；

(2)求sinC的取值范围.

84

【答案】(1)—

13

24.

(2)—<sinC<1

25

【解析】

【分析】(1)首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得tang,再代入二倍角的正切公式，即可

2

h1C

求解；(2)首先通过辅助线，构造可得丁《彳，结合(1)的结果可得tan式的范围，再根据二倍角公式，

2c32

求得sinC的取值范围.

【小问1详解】

在.ABC中，a+b=c+h,若c=3/z.

.。2十〃2一。2(a+bY-c1—2ab(c+/z)2-c2,h2+2ch

cosC=--------------=-----------------------=-----------------1=-------------1t

lab2ablablab

1.1ch

又一absinC=—ch,ab=------

22sinC

1+cosCh2+2ch,h7

.・.----------=-----------=JH------=—

sinC2ch2c6

2sin—cos一

C6

22tan—

O2c27

2cos-

2

cC06

2tan—2X7_84

tanC=---------

.36

1-tan2一1—

249

【小问2详解】

1

由（1）知I十五-C.

tan—

2

如图，在，ABC中，过8作AB的垂线£B，且使EB=2〃，则CE=C8=a,

a+b=c+h>\AE\,BP(c+7