《三角函数的应用》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

第一章直角三角形的边角关系1.5三角函数的应用教学设计一、教学目标1．经历应用三角函数解决实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．发展数学应用意识和解决问题的能力.二、教学重点及难点重点：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．2．发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。四、相关资源《货轮航行》动画，《测量塔高》动画.五、教学过程【情境引入】如图，海中有一个小岛A，该岛四周10nmile内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续向东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论解决问题的方法．设计意图：通过实际问题引入本课激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】1．请同学们根据题意画出上面问题的示意图，并将相关数据标注在图上．答：2．货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？教师分析：根据题意，小岛四周10nmile内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10nmile，则货轮无触礁的危险，如果小于10nmile，则货轮有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥直线BC，D为垂足，即AD的长度．我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10nmile比较．3．如何求AD呢？解：过A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD·tan55°，CD=AD·tan25°．由BD-CD=BC，BC=20nmile，得AD·tan55°-AD·tan25°=20，AD(tan55°-tan25°)=20，AD=(nmile)．∵AD≈20.79nmile＞10nmile，∴货轮继续向东行驶没有触礁的危险．想一想如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）【教学图片】测量塔高，本资源为《测量塔高》教学图片，可以形象生动的展示本节课相关内容，激发学生的学习兴趣，为教师的教学提供有效的参考素材。师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论解决问题的方法，师生共同完成解题过程．解：在Rt△ACD中，tan30°=，即AC=．在Rt△BCD中，tan60°=，即BC=．∵AC-BC=AB=50m，∴=50．解得CD≈43(m)．答：该塔的高度为43m．教师引申：如果考虑小明的身高呢？如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、尝试画出示意图并完成解答．答：画出示意图如下：由前面的解答过程可知CC'≈43m．所以CD≈43+1.6=44.6(m)，即如果考虑小明的身高，塔的高度约为44.6m．【典例精析】例某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01m）师生活动：教师出示问题，学生思考、尝试画出示意图并完成解题过程．教师点拨：调整前后楼梯的高度是一个不变量．解：画出示意图如下图所示．由题中条件可知，在Rt△ABC中，sin40°=，即AB=4sin40°m，原楼梯占地长BC=4cos40°m．调整后，在Rt△ADB中，sin35°=，即AD=m．楼梯占地长BD=m．所以调整后楼梯加长AD-AC=，楼梯比原来多占DC=DB-BC=-4cos40°≈0.61(m)．设计意图：让学生独立思考、尝试画出示意图，尝试把实际问题中的已知和求解转化为数学问题中的已知和求解，从而更熟练地运用解直角三角形的知识与方法解决实际问题．【课堂练习】1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）．A．海里B．海里C．50海里D．25海里2.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m．在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果精确到0.01m）3．如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD=6m，坡长CD=8m，坡底BC=30m，∠ADC=135°．（1）求∠ABC的度数；（2）如果坝长100m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01m3）师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．D．2．解：在Rt△CBD中，∵BC=DB·tan∠CDB=5tan40°≈4.195(m)，∴EB=EC+CB≈2+4.195=6.195(m)．在Rt△EBD中，ED=．答：钢缆ED的长度约为7.96m．3．（1）17°8′21″；（2）10182.34m3．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出示意图，转化为解直角三角形的问题）；2